2021-2022学年黑龙江省绥化市海伦市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省绥化市海伦市八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 爷爷在离家米的公园锻炼后回家，离开公园分钟后，爷爷停下来与朋友聊天分钟，接着又走了分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离米与爷爷离开公园的时间分之间的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形

7. 为庆祝建党周年的校园歌唱比赛中，名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这名同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

8. 已知一次函数和，函数和的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，长方体的底面边长为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形中，，点，分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点，，过点作于点下列结论：；；；；其中结论正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
12. 如图，已知是的角平分线，交于点，请你添加一个条件______，使四边形是菱形．

13. 已知一组数据、、、、的中位数是，那么这组数据的唯一众数是______．
14. 若一次函数的图象过，则的值为______．
15. 如图，在正方形中，是对角线上的点，，，，分别为垂足，连结设，分别是，的中点，，则的长为______．

16. 下列对于一次函数的说法，正确的有______填写序号．
    图象经过一、二、四象限；
    图象与两坐标轴围成的面积是；
    随的增大而增大；
    当时，；
    对于直线上两点，，当时，．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线，分别是函数和的图象，则可以估计关于的不等式的解集为______．

18. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．

19. 已知矩形中，平分交矩形的一条边于点，若，，则______．
20. 如图，放置的，，都是边长为的等边三角形，点在轴上，点、、、都在直线上，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 计算
    ；
    ．
22. 市团委举办以“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为分、分、分、分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表．
    甲校成绩扇形图
    
    甲校成绩条形图
    
    乙校成绩统计表

在图中，“分”所在扇形的圆心角度数为______．
请将图补充完整．
经计算乙校的平均分是分，中位数是分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校的成绩较好？

23. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点不与点重合，延长交的延长线于点，连接，．
    求证：四边形是平行四边形．
    当的值为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

24. 我市某文具店准备购进、两种文具，种文具每件的进价比种文具每件的进价多元，用元购进种文具的数量和用元购进种文具的数量相同．文具店将种文具每件的售价定为元，种文具每件的售价定为元．
    种文具每件的进价和种文具每件的进价各是多少元？
    文具店计划用不超过元的资金购进、两种文具共件，其中种文具的数量不低于件，该文具店有几种进货方案？
    在的条件下，文具店利用销售这件文具获得的最大利润再次购进、两种文具两种文具都买，直接写出再次购进、两种文具获利最大的进货方案．
25. 快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车后，继续按原速驶向乙地两车距甲地的路程与慢车行驶时间之间的函数图象如图所示．请结合图象解答下列问题：
    快车行驶的速度是______，直接在图中的______内填上正确的数；
    求快车从乙地返回甲地的过程中，与的函数解析式；
    快车出发多长时间，两车相距直接写出答案．

26. 已知四边形是正方形，等腰的直角顶点在直线上不与点，重合，，交射线于点．
    当点在边上，点在边的延长线上时，如图，求证：；提示：延长，交边的延长线于点
    当点在边的延长线上，点在边上时，如图；当点在边的延长线上，点在边上时，如图请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
    在、的条件下，若，，则的长为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故选：．
根据方差的定义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键．
由题意，爷爷在公园回家，则当时，；从公园回家一共用了分钟，则当时，．
【解答】
解：由题意，爷爷在公园回家，则当时，；
从公园回家一共用了分钟，则当时，；
结合选项可知答案B．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，点在以为圆心，长为半径的圆上．
在直角中，，，则根据勾股定理知，
，
．
故选：．
点在以为圆心，长为半径的圆上，所以在直角中，根据勾股定理求得圆的半径，然后由实数与数轴的关系可以求得的值．
本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B、四边形是平行四边形，设和交于点，，，，，
，四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：．
由于比赛取前名参加决赛，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
 

8.【答案】 

【解析】解：分情况讨论：
当、时，直线和直线都经过一、二、三象限，只有选项A符合；
当、时，直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，没有符合的选项；
当、时，直线经过一、三、四象限，直线经过一、二、四象限，没有符合的选项；
当、时，直线和直线都经过二、三、四象限，没有符合的选项．
故选：．
分、，、，、，、四种情况讨论，判断出直线经过的象限，找出符合题意的选项，即可做出判断．
本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系，分类讨论思想，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
则，，
根据两点之间线段最短，．
故选：．
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
 

10.【答案】 

【解析】解：把绕点顺时针旋转得，过点作平分，与交于点，连接，如图，

则，，，，
，
、、共线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故正确；
≌，
，
，，
，
，
故正确；
，，，
，
故正确；
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
若不在上，则，
此时，，
，，
此时，，
故不正确；
平分，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故正确；
故选：．
把绕点顺时针旋转得，过点作平分，与交于点，连接，证明≌，得，便可判断的正误；由≌得，再根据等角的余角性质，便可判断的正误；由，，，根据角平分线的性质便可判断的正误；证明≌，得，
若不在上，则，此时，，根据三角形外角性质得，便可判断的正误；证明≌，得，再由勾股定理得，进而得，再证明≌，得，便可判断的正误．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分的性质，勾股定理，关键在于构造与证明全等三角形．图形复杂，涉及的知识点多，综合性强，难度大．
 

11.【答案】且 

【解析】解：且，
且．
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
交于点，交于点，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，
，
，
，
四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
根据交于点，交于点，可以判断四边形是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．
本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用菱形的判定解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为一组数据、、、、的中位数是，
所以，
所以这组数据的唯一众数是．
故答案为：．
根中位数是，可得，再根据众数的定义判断即可．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过，
，
，
．
故答案为：．
先把点代入函数求出，再代入所求代数式进行计算即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，
在正方形中，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
≌，
，
，分别是，的中点，
，
故答案为：．
连接，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据全等三角形的性质得到，由三角形中位线的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
一次函数的图象在一、二、四象限，故正确，符合题意；
当时，，解得，当时，，
一次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，
图象与两坐标轴围成的面积是，故正确，符合题意；
，
一次函数的图象随的增大而减小，故错误，不符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
，
一次函数的图象随的增大而减小，
对于直线上两点，，当时，故正确，符合题意．
故答案为：．
根据一次函数图象的性质进行逐一分析解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，直线在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】

【分析】本题考查了矩形性质和含度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，关键是化成符合条件的所有情况，题目比较典型，是一道比较好的题目．
化成符合条件的两种情况，根据矩形性质求出，，求出和的度数，求出和，即可求出．
【解答】
解：有两种情况：如图

四边形是矩形，
，
平分，
，
图中，，
，
，
即；
图中，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：或．  

20.【答案】 

【解析】解：过点 作 轴，则轴，

，，都是边长为的等边三角形，
，，
 ，轴，
 ， ，
轴，轴，
、、三点共线，
，
的坐标为，
的坐标为，的坐标为，的坐标为，

的坐标是．
故答案为：．
根据题意得出的坐标，进而得出，坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出坐标变化规律是解题关键．
 

21.【答案】解：原式

．
原式




． 

【解析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：人，甲校“分”的所对应的圆心角度数为，
故答案为：；
甲校“分”的人数为人，
补全条形统计图如下：

甲校的平均数为分，中位数为分，
从平均分和中位数的角度看，甲校的成绩较好，理由：甲校成绩的中位数是分比乙校的高．
通过图、图可知，甲校分的有人，占调查人数的，根据频率即可求出调查人数，进而求出“分”的人数、所占的百分比以及相应的圆心角的度数；
求出甲校“分”的人数，即可补全条形统计图；
计算甲校的平均数、中位数，再进行解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数，理解平均数、中位数的意义以及频率是正确解答前提．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
即，
，
，
． 

【解析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，含度角的直角三角形．
根据菱形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，根据中点的定义求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
根据矩形的性质得到，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答．
 

24.【答案】解：设文具每件进价为元，则文具每件进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的根，
文具每件进价为元，文具每件进价为元；
设文具购进件，则文具购进件，
根据题意，得，
解得，
可以取，，，，
有四种进货方案：
文具购进件，文具购进件；
文具购进件，文具购进件；
文具购进件，文具购进件；
文具购进件，文具购进件；
在的条件下，设利润为元，
根据题意，得，
，
随着的增大而增大，
当时，最大，最大利润为元，
文具购进件，文具购进件，获利最大，最大利润为元． 

【解析】设文具每件进价为元，则文具每件进价为元，根据“用元购进种文具的数量和用元购进种文具的数量相同”列出方程，解方程即可；
设文具购进件，则文具购进件，根据“购进、两种文具的资金不超过元，种文具的数量不低于件”列不等式组，求出的取值即可；
设利润为元，表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
本题考查了一次函数的实际应用，根据等量关系建立分式方程，根据不等关系建立不等式组是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：由图象知，快车的速度为，
快车从乙地返回甲地的时间为：，
图中括号内填，
故答案为：，；
设快车从乙地返回过程中与的函数解析式为，
则，
解得：，
快车从乙地返回过程中与的函数解析式为；
由图象知，快车比慢车早出发，
设慢车出发小时时与快车相距千米，
快车从甲地开往乙地时，
由题意得：，
解得：，
此时，；
快车从乙地返回甲地和慢车相遇前，
根据题意得：，
解得：，
此时；
快车从乙地返回甲地和慢车相遇后，
根据题意得：，
解得：，
此时．
综上所述，快车出发或或时，两车相距．
由图象可求出快车速度，再计算出快车从乙地返回甲地时所用时间即可；
设出快车从乙地返回时的函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
分快车从甲地开往乙地时，快车从乙地返回甲地和慢车相遇前和快车从乙地返回甲地和慢车相遇后三种情况，找出等量关系列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
 

26.【答案】或 

【解析】证明：如图，延长，交边的延长线于点，

四边形是正方形，，
，，四边形为矩形，

为等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，即；

解：结论：；
理由：如图，

，，
，
在与中，
，
≌，
；
如图，，
，
在与中，
，
≌，
，
；

解：如图，，，
，
，
在中，
，，
此情况不存在；
如图，，，
，
≌，
，
，
，
，
；
如图，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得，，利用全等三角形的判定定理证明≌，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
同首先证明≌，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
利用分类讨论的思想，首先由，易得，由≌，根据全等三角形的性质易得，利用锐角三角函数易得，利用的结论，易得．
本题属于四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质及判定定理，数形结合，分类讨论，利用前面问题的结论是解答此题的关键．