2023-2024学年黑龙江省绥化市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.当a+3 a−3有意义时，a的取值范围是( )
A. a≥3B. a>3C. a≠3D. a≠−3
2.下列运算正确的是( )
A. 25=±5B. 4 3− 27=1C. 24⋅ 32=6D. 18÷ 2=9
3.一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为( )
A. 26B. 18C. 20D. 21
5.下列命题中，假命题的是( )
A. 四个角都相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
6.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 丁B. 丙C. 乙D. 甲
7.若一次函数y=kx−b(k>0)的图象经过两点(−1,y1)和(2,y2)，则下列说法正确的是( )
A. y1y2D. y1≤y2
8.若直线y=x2+n与y=mx−1相交于点(1,−2)，则( )
A. m=12，n=−52B. m=12，n=−1
C. m=−1，n=−52D. m=−3，n=−32
9.如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为( )
A. 6cmB. 12cmC. 4cmD. 8cm
10.如图所示，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是( )
A. 3B. 2C. 1D. 1.5
11.如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF.若AD=5，CD=9，则EF的长为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
12.一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：
①动车的速度是270千米/小时；
②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇；
③甲、乙两地相距1000千米；
④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时，
其中不正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、非选择题
13.比较大小：7 2 ______ 3 11.(填“>”“<”“=”)
14.在y=(k−1)x+k2−1中，若y是x的正比例函数，则k值为______．
15.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为________．
16.已知x+y=2 3，xy= 6，则x2y+xy2的值为______ ．
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______ ，使矩形ABCD是正方形．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB=40°，则∠A的度数为______°.
19.如图，直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知，方程组y=2x−1y=kx+b的解为x=y=．( )
20.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF=6，则AM的长为 ．
21.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3,4)，点C的坐标是______．
22.如图，在矩形ABCD中，AD=8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为______．
23.计算
(1)① 12+ 20−2 3+ 5；
②( 8+ 12)× 2−( 3+1)( 3−1)；
(2)先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x= 2−1．
24.某中学八年级举办中华优秀传统文化知识竞赛，采用随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
(1)这20名学生成绩的平均数是______ ；中位数是______ ；众数是______ ．
(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级优秀等级的学生有多少人？
25.已知关于x的一次函数y=(2m+1)x+m−3．
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y=3x−3，求m的值；
(3)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
26.如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
27.如图，在锐角三形ABC中，AB=13，AC=15，点D是BC边上的一点，BD=5，AD=12，求△ABC的面积．
28.某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
29.如图，直线l1：y=k1x+b与x轴，y轴分别交于点A(−3,0)，B(0,3)，直线l2：y=k2x与直线l1相交于点C(−34,n)．
(1)求直线l1和l2的解析式；
(2)求△BCO的面积；
(3)点M为y轴上的一动点，连接MA，MC.当MA+MC的值最小时，则点M的坐标是______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，a−3>0，
解得a>3．
故选：B．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，还要注意分式的分母不等于0．
2.【答案】C
【解析】解：A、 25=5，故选项错误；
B、4 3− 27=4 3−3 3= 3，故选项错误；
C、 24⋅ 32= 24×32= 36=6，选项正确；
D、 18÷ 2= 9=3，选项错误．
故选C．
利用二次根式的乘法和除法法则，以及二次根式的加减法法则即可判断．
本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行化简是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，
∴(2+1+4+x+6)÷5=4，
解得x=7，
故选：D．
根据一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，可以计算出x的值，本题得以解决．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，计算出x的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，
∴c= a2+b2= 122+162=20．
故选：C．
根据∠C=90°，可知c表示斜边，a、b分别表示直角边；接下来，在Rt△ABC中，利用勾股定理求斜边c的长即可．
本题考查勾股定理的知识，关键是找到斜边和直角边．
5.【答案】C
【解析】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，是真命题；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题；
C、对角线平分、互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
故选：C．
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可．
本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．
6.【答案】D
【解析】解：∵甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵甲的方差小于丙的方差，
∴选择甲参赛，
故选：D．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=kx−b中k>0，
∴y随x的增大而增大．
∵−1<2，
∴y1故选：A．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：将点(1,−2)代入y=x2+n，
得：12+n=−2，n=−52；
将点(1,−2)代入y=mx−1，
得：m−1=−2，m=−1；
∴m=−1，n=−52；
故选C．
直线y=x2+n与y=mx−1相交于点(1,−2)，因此两个函数的图象都经过点(1,−2)，将其坐标分别代入两个一次函数的解析式中，可求出m、n的值．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，一定满足函数解析式．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等可知：▱ABCD的周长=2(AB+BC)，求出AB+BC整体的值，又△ABC的周长=AB+BC+AC，据此整体代入求值即可．
【解答】
解：∵▱ABCD的周长是28cm，
∴AB+BC=14cm，
∵AB+BC+AC=22cm，
∴AC=22−14=8 cm．
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB= 2，BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 6，
∴AO=12AC= 62，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴AEAC=AOAD，
即AE 6= 622，
解得AE=1.5．
故选D．
先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD=5，
∴AD=DB=5，AE=EB，
∴点E是AB的点，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC．
∵CD=9，DB=5，
∴BC=CD−BD=9−5=4，
∴EF=12BC=12×4=2．
故选：C．
根据垂直平分线的性质得到AD=DB=5，点E是AB的点，结合F是AC的中点，推出EF是△ABC的中位线，由CD=9，DB=5求出BC的长度，最后利用三角形中位线的性质求解．
本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形中位线判定和性质，理解相关知识是解答关键．
12.【答案】B
【解析】解：①普通列车的速度是100012=2503(千米/小时)，
设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×2503=1000，
解得：x=250，
动车的速度为250千米/小时，
故①错误；
②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，
故②正确；
③由x=0时，y=1000知，甲地和乙地相距1000千米，
故③正确；
④由图象知x=t时，动车到达乙地，
∴x=12时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需12小时，
故④错误；
故选：B．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】<
【解析】解：7 2= 72×2= 98，3 11= 32×11= 99，
∵98<99，
∴7 2<3 11，
故答案为：<．
把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可．
本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质，熟练掌握相关定义及比较实数大小的方法是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：∵y=(k−1)x+k2−1，y是x的正比例函数，
∴k2−1=0，且k−1≠0，
解得：k=−1．
故答案为：−1．
直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键．
15.【答案】125
【解析】解：设斜边长为c，高为ℎ．
由勾股定理可得：c2=32+42，
则c=5，
直角三角形面积S=12×3×4=12×c×ℎ
可得ℎ=125，
故答案为：125．
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
16.【答案】6 2
【解析】解：x2y+xy2=xy(x+y)，
∵x+y=2 3，xy= 6，
∴原式= 6×2 3=6 2．
故答案为：6 2．
将代数式分解，再代入因式的值即可．
本题考查了因式分解的应用，准确分解并代入是解题关键．
17.【答案】AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)
【解析】解：AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
根据正方形的判定方法添加即可．
题考查了正方形的判断，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
18.【答案】50
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∵BD=CD=12AB，
∴∠B=∠DCB=40°，
∴∠A=90°−∠B=50°，
故答案为：50．
根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
19.【答案】解：∵直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3)，
∴方程组y=2x−1y=kx+b的解为x=2y=3．
【解析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
此题主要考查了两条直线相交或平行问题，一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程组的解，相当于已知两条直线交点的坐标的值．
20.【答案】8
【解析】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF=6，
∴BC=2EF=12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12，
∵AM=2MD，
∴AM=8，
故答案为：8．
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21.【答案】(8,4)
【解析】解：过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∵点A的坐标是(3,4)，
∴AO=5，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AO=AC=BO=BC=5，AO/​/BC，
∴∠AOB=∠CBF，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AOE和△CBF中∠AEO=∠CFO∠AOE=∠CBFAO=BC，
∴△AOE≌△CBF(AAS)，
∴EO=BF=3，
∵BO=5，
∴FO=8，
∴C(8,4)．
故答案为：(8,4)．
过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，根据菱形的性质可得AO=AC=BO=BC=5，再证明△AOE≌△CBF，可得EO=BF，然后可得C点坐标．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等．
22.【答案】8 33
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=BO=DO，
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE=∠EAO，且AE=AE，∠AEB=∠AEO，
∴△ABE≌△AOE(ASA)
∴AO=AB，且AO=OB
∴AO=AB=BO=DO，
∴BD=2AB，
∵AD2+AB2=BD2，
∴64+AB2=4AB2，
∴AB=8 33
故答案为：8 33．
由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
23.【答案】解：(1)①原式=2 3+2 5−2 3+ 5=3 5；
②原式=4+1−3+1=3；
(2)原式=(xx−1−x−1x−1)×(x+1)(x−1)(x+1)2=1x−1×(x+1)(x−1)(x+1)2=1x+1，
把 x= 2−1 代入，原式= 22．
【解析】(1)①关键实数的运算法则运算即可；
②根据实数运算法则进行计算即可；
(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
24.【答案】90.5 90 90
【解析】解：(1)平均数是：80×2+85×3+90×8+95×5+100×220=90.5(分)，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数是90分，
由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
故答案为：90.5；90；90；
(2)根据题意得：
600×8+5+220=450(人)，
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人．
(1)根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；
(2)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查中位数、用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
25.【答案】解：(1)把(0,0)代入y=(2m+1)x+m−3，
得：m−3=0，解得：m=3；
(2)由题意，得2m+1=3，
解得：m=1；
(3)由题意，得2m+1≠0m−3<0，
解得：m<3且m≠−12．
【解析】(1)将(0,0)点代入函数y=(2m+1)x+m−3，解得m；
(2)由两直线平行可知，2m+1=3，可得m；
(3)由若函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，可知m−3<0，可得m的取值范围．
本题主要考查了两直线平行和相交问题，关键是熟记两直线平行，则k相同；两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
26.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)，
∴CD=FA，
又∵CD/​/AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【解析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD/​/AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
27.【答案】解：在△ABD中，
∵AB=13，BD=5，AD=12，
∴BD2+AD2=52+122=169，
∵AB2=132=169，即：BD2+AD2=AB2，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，CD= AC2−AD2= 152−122=9，
∴BC=BD+CD=5+9=14．
∴S△ABC=12×BC×AD=12×14×12=84．
【解析】根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形，即∠ADB=90°，在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长度从而求出BC长，进而得出结论．
本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出∠ADB=90°．
28.【答案】解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
3x+2y=390004x−5y=6000，解得，x=9000y=6000，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
(2)设购买A型空调a台，则购买B型空调(30−a)台，
a≥12(30−a)9000a+6000(30−a)≤217000，
解得，10≤a≤1213，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
(3)设总费用为w元，
w=9000a+6000(30−a)=3000a+180000，
∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
(3)根据题意和(2)中的结果，可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
29.【答案】(0,95)
【解析】解：(1)A(−3,0)，B(0,3)代入y=k1x+b得：
0=−3k1+b3=b，解得k1=1b=3，
∴直线l1的解析式为：y=x+3，
C(−34,n)代入y=x+3得：
n=−34+3=94，
∴C(−34,94)，
C(−34,94)代入y=k2x得：
94=−34⋅k2，解得k2=−3，
∴直线l2的解析式为：y=−3x；
(2)∵B(0,3)，
∴OB=3，
而C(−34,94)，
∴△BCO的面积S△BCO=12OB⋅|xC|=12×3×34=98；
(3)作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，交y轴于M′，连接AM，如图：
∵A关于y轴的对称点A′，
∴MA=A′M，
MA+MC的值最小即是A′M+MC的值最小，
此时A′、M、C共线，即M与M′重合，
∵A(−3,0)，A关于y轴的对称点A′，
∴A′(3,0)，
而C(−34,94)，
设A′C解析式为y=mx+t，则0=3m+t94=−34m+t，
解得：m=−35t=95，
∴A′C解析式为y=−35x+95，
令x=0得y=95，
∴M′(0,95)，即MA+MC的值最小时，则点M的坐标是(0,95)，
故答案为：(0,95).
(1)A(−3,0)，B(0,3)代入y=k1x+b即可求出k1、b，从而得到直线l1的解析式，根据直线l1解析式可求出n，得到C坐标，将C坐标代入y=k2x可求l2的解析式；
(2)△BCO的面积用OB作底，|xC|作高即可得到答案；
(3)作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，交y轴于M′，求出M′坐标，即是MA+MC的值最小时，M的坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标、三角形面积及线段和的最小值，解题的关键是作出A关于y轴的对称点A′，求A′C与y轴的交点．甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1