人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教学设计及反思

 新教材人教A版必修第一册 1.4.1充分条件与必要条件

素养目标

1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)

2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)

3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)

4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)

学法解读

1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．

2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．

3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．

必备知识·探新知

基础知识

知识点一充分条件与必要条件

思考1：在逻辑推理中，能表达成哪几种说法？

提示：以下种说法：

①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件；④的充分条是；⑤的必要条件是.

知识点二判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系

(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．

(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

思考2：性质定理与必要条件有什么关系？

提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．

基础自测

1．思维辨析(对的打“”，错的打“”)

(1)“”是“”的必要条件．(　　)

(2)“”是“”的充分条件．(　　)

(3)如果是的充分条件，则是唯一的．(　　)

[解析]（1）因为“”“”.

（2）因为“”“”.

（3）不唯一，如，，等都是的充分条件.

2．，下列各式中哪个是“”的必要条件(　B　)

A．　　　　　　   B．

C．               D．

[解析]　，，故选B．

3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　A　)

A．四边形是平行四边形且对角线相等

B．四边形两组对边相等

C．四边形的对角线互相平分

D．四边形的对角线垂直

[解析]　四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一充分条件

例1（1）设，则使成立的-一个充分条件是（ C）

A.            B.

C.            D.

（2）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则；

⑤若中，若，则；

⑥已知，若，则.

[解析]（1），则能推出，故选C.

（2）①由于，所以，所以是的充分条件.

②由于，当时，；当时，，

因此，所以不是的充分条件.

③由可以推出，因此，所以是的充分条件.

④由可以推出或，不一定有，因此，所以不是的充分条件.

⑤由三角形中大角对大边可知，若，则，因此，所以是的充分条件.

因为，所以，，由，可推出，即，所以是的充分条件.

[归纳提升]充分条件的两种判断方法

（1）定义法：

（2）命题判断方法：

如果命题：“若，则”是真命题，则是的充分条件；

如果命题：“若，则”是假命题，则不是的充分条件.

[对点练习]➊下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中是的充分条件？

（1）若，则；

（2）若内错角相等，则两直线平行；

（3）若整数能被整除，则的个位数字为偶数；

（4）若，则.

[解析]（1）若，则或，因此，所以不是的充分条件.

（2）若内错角相等，则两直线平行是真命题，所以，所以是的充分条件.

（3）若整数能被整除，则是偶数，所以的个位数字为偶数；

所以，所以是的充分条件.

（4）因为且，所以，所以是的充分条件.

题型二必要条件

例2（1）使成立的一-个必要条件是（ B）

A.B.或

C.            D.

（2）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？

①若，则；

②若是直角三角形，则是等腰三角形；

③，；

④，；

⑤：是自然数，：是正整数；

⑥：三角形是等边三角形，：三角形是等腰三角形.

[解析]（2）①若，则或，因此，所以不是的必要条件；

②直角三角形不一定是等腰三角形，因此，所以不是的必要条件；

③当时，，所以，所以是的必要条件；

④当时，成立，但是不成立，

所以，所以不是的必要条件；

⑤是自然数，但是不是正整数，所以，所以不是的必要条件；

等边三角形一定是等腰三角形，所以，所以是的必要条件.

[归纳提升]必要条件的两种判断方法

（1）定义法：

（2）命题判断方法：

如果命题：“若，则”是真命题，则是的必要条件；

如果命题：“若，则”是假命题，则不是的必要条件.

[对点练习]❷下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？

（1）若是的平方根，则.

（2）若是完全平方式，则.

（3）若是无理数，则是无限小数.

（4）若与互为相反数，则与的绝对值相等.

[解析]（1）的平方根是，所以，所以不是的必要条件.

（2）因为，所以，所以，

所以不是的必要条件.

（3）因为无理数是无限不循环小数，所以，所以是的必要条件.

（4）若与互为相反数，则与的绝对值相等，所以，所以是的必要条件.