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2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
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这是一份2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3，5} B．{0，3，4} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}
2．（5分）设复数z满足z+i＝zi（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
4．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4与圆C2：（x+2）2+（y+1）2＝a2相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（3，4）
5．（5分）根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是（ ）
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
降雨天数
34
37
43
45
46
A．降雨天数逐年递增
B．五年内三个月份平均降雨天数为41天
C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小
D．五年内降雨天数的方差为22
6．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线y＝x交于点M（点M在第一象限），且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝12x D．y2＝16x
7．（5分）为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费）
A． B． C． D．
8．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
9．（5分）如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，则该函数图象与直线y＝的交点个数为（ ）
A．8083 B．8084 C．8085 D．8086
10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递增，f（3）＝0，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣5，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，1）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣5，0）∪（1，+∞）
11．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2可能是正三角形
B．P到两渐近线的距离之积是定值
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8
D．在△PF1F2中，
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，记bn＝S1+S2+…+Sn﹣4n﹣8，若数列{bn}也为等比数列，则a2＝（ ）
A．12 B．32 C．﹣16 D．﹣8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则＝ ．
14．（5分）已知向量，满足|+2|＝1，|﹣2|＝5，则＝ ．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥1且n∈N*时，则S20＝ ．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，，∠ACB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积是，c＝2a，求b．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
19．（12分）为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男居民评分结果的频数分布表
分数区间
频数
[40，50）
3
[50，60）
3
[60，70）
16
[70，80）
38
[80，90]
20
为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（1）求m的值；
（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在[40，60）的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（﹣1，），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点（0，2）的直线l（直线l不与x轴垂直）与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点．求△MON的面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a≠0时，若f（x）≤，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知三点A（2，0），，．
（1）若A，B，C三点共线，求ρ的值；
（2）求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．（O为极点）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+a|x﹣1|（x∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＜|x|+a﹣1有解，求实数a的取值范围．
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3，5} B．{0，3，4} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}
【分析】先表示出集合U，然后直接利用补集的定义即可求解．
【解答】解：U＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，
则∁UA＝{0，3，5，4}，
故选：D．
2．（5分）设复数z满足z+i＝zi（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．
【解答】解：，即复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图，
由z＝x﹣y，得y＝x﹣z，
数形结合可得直线y＝x﹣z经过点（0，6）时取得最小值，且最小值为﹣6．
故选：C．
4．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4与圆C2：（x+2）2+（y+1）2＝a2相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（3，4）
【分析】若两圆相交，则连心距与半径满足关系|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，代入数据求解．
【解答】解：圆C1的圆心为（1，a），半径为2；圆C2的圆心为（﹣2，﹣1），半径为a，则，
因为两圆相交，所以，解得a＞3．
故选：A．
5．（5分）根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是（ ）
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
降雨天数
34
37
43
45
46
A．降雨天数逐年递增
B．五年内三个月份平均降雨天数为41天
C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小
D．五年内降雨天数的方差为22
【分析】观察表格可判断A，求出平均数可判断B，求出增加量可判断C，求出方差可判断D．
【解答】解：A：由表中数据可知，降雨天数逐年增加，∴A正确，
B：∵＝41，∴B正确，
C：∵43﹣37＞37﹣34，∴降雨天数的增加量在刚开始的三年内变大，∴C错误，
D：∵s2＝＝32，∴D正确．
故选：C．
6．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线y＝x交于点M（点M在第一象限），且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝12x D．y2＝16x
【分析】求解M的坐标，利用抛物线的定义，转化求解p，即可得到抛物线方程．
【解答】解：联立，解得x＝2p，y＝2p，
所以点M（2p，2p），
因为M到焦点F的距离为10，
所以，解得p＝4．所以C的方程为y2＝8x．
故选：B．
7．（5分）为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由，求得底面半径，再结合母线长公式和侧面积公式，即可求解．
【解答】解：设底面半径为r，则，即r＝4cm，则该圆锥的母线长，
所以侧面积．
故选：C．
8．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】先化简所给的多项式，再利用二项展开式的通项公式，求得含x3项的系数．
【解答】解：多项式可化为，二项式（x+1）7的通项公式为：，
令7﹣r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为．
故选：C．
9．（5分）如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，则该函数图象与直线y＝的交点个数为（ ）
A．8083 B．8084 C．8085 D．8086
【分析】由题意由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，
可得A＝1，•＝+，∴ω＝2π，周期为1．
结合五点法作图可得﹣×2π+φ＝0，求得φ＝π，故函数为y＝sin（2πx+π）＝﹣sin2πx．
除了原点外，函数y＝sin2πx在每一个周期上，它和直线y＝都有2个交点．
当x＝2021时，函数y＝sin2πx＝0，＝1，
故函数y＝sin2πx的图象和直线y＝在区间（0，2021]上有2×2021＝4042个交点．
当x＝﹣2021时，函数y＝sin2πx＝0，＝﹣1，
故函数y＝sin2πx的图象和直线y＝在区间[﹣2021，0）上有2×2021＝4042个交点．
则该函数图象与直线y＝的交点个数为4042+1+4042＝8085，
故选：C．
10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递增，f（3）＝0，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣5，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，1）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣5，0）∪（1，+∞）
【分析】根据题意作出f（x）的大致图象，将已知不等式转化为，结合图象即可求解x的取值范围．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足在（0，+∞）内单调递增，
所以f（x）满足在（﹣∞，0）内单调递减，
又f（3）＝0，所以f（﹣3）＝f（3）＝0．
作出函数f（x）的草图如下：
由，得，得，
等价于或，即或，
解得x＞1或﹣5＜x＜0，即不等式的解集为（﹣5，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
11．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2可能是正三角形
B．P到两渐近线的距离之积是定值
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8
D．在△PF1F2中，
【分析】由双曲线定义判断A；设P（x0，y0），由P在双曲线上，结合点到直线的距离公式判断B；由勾股定理列式求解|PF1|、|PF2|，代入三角形面积公式判断C；求解焦点三角形，结合双曲线定义判断D．
【解答】解：由双曲线方程可得，a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线定义可知，|PF1|＝|PF2|+2a＞|PF2|，
∴△PF1F2不可能是正三角形，故A错误；
设P（x0，y0），则，即，
双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，P到两渐近线的距离之积为：
＝为定值，故B正确；
由PF1⊥PF2，得，即，
解得，，
∴，故C错误；
设P（x0，y0），则sin，sin，
在△PF1F2中，＝，
故sin，
则＝＝，故D错误．
故选：B．
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，记bn＝S1+S2+…+Sn﹣4n﹣8，若数列{bn}也为等比数列，则a2＝（ ）
A．12 B．32 C．﹣16 D．﹣8
【分析】设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，数列{bn}不可能为等比数列；当q≠1，，Sn＝﹣，bn＝（）n﹣[8+]+，由数列{bn}为等比数列，列出方程组，求出q＝2，a1＝﹣4，由此能求出a2．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
①当q＝1时，an＝a1，Sn＝na1，
bn＝a1（1+2+3+•••+n）﹣4n+8＝﹣4n+8，不可能为等比数列；
②当q≠1，，
Sn＝＝﹣，
bn＝﹣×﹣4n﹣8＝（）n﹣[8+]+，
若数列{bn}为等比数列，
则必有，解得q＝2，a1＝﹣4，
∴a2＝a1q＝﹣4×2＝﹣8．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则＝ 2 ．
【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：2．
14．（5分）已知向量，满足|+2|＝1，|﹣2|＝5，则＝ ﹣3 ．
【分析】先将两个等式平方，再作差，即可得解．
【解答】解：∵|+2|＝1，|﹣2|＝5，
∴+4•+4＝1，∴﹣4•+4＝25，
两式作差，得•＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥1且n∈N*时，则S20＝ ﹣80 ．
【分析】对n分类讨论，分组求和即可得出结论．
【解答】解：当n为奇数时，an+2+an＝﹣2n；
当n为偶数时，an+2＝an；
∴S20＝（a1+a3+a5+a7+…+a17+a19）+（a2+a4+a6+a8+…+a18+a20）＝﹣2×（1+5+9+13+17）+10＝﹣80．
故答案为：﹣80．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，，∠ACB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 20π ．
【分析】因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝30°，求出PA的长度．设△ABC的外接圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直于平面ABC的直线上，结合图象，用勾股定理列式求解．
【解答】解：如图，设外接球的球心为O，设△ABC的外接圆圆心为O1，
因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝30°，
所以，又，
所以PA＝2，所以，
设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得R＝2，
则在Rt△OO1A中，，即三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．
则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为．
故答案为：20π．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积是，c＝2a，求b．
【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可．
【解答】解：（1）由，得，
得，
得，
由正弦定理得，
因为sinA≠0，
所以，
所以，
因为0＜B＜π，所以．
（2）若△ABC的面积是，
则，解得，
所以．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，
所以b＝2．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【分析】（1）连接BD，证明OB⊥AD，再由OB⊥PD，可得OB⊥平面PAD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（2）连接PO，证明PO⊥AD，由（1）得PO⊥OB，OB⊥AD，则PO、AD、OB两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面ABP的一个法向量与平面BPC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值，进一步求得二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵△PAD与△ABD全等，△PAD是等边三角形，则△ABD为等边三角形，
又O是AD的中点，△ABD为等边三角形，∴OB⊥AD，
又OB⊥PD，PD∩AD＝D，AD、PD⊂平面PAD，∴OB⊥平面PAD，
又OB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：连接PO，
∵△PAD是等边三角形，O是AD的中点，∴PO⊥AD，
由（1）得PO⊥OB，OB⊥AD，∴PO、AD、OB两两垂直，
建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），
设平面ABP的一个法向量为，
，，
由，取x＝，得；
设平面BPC的一个法向量为，
又，，
由，取b＝1，得．
∴cos＜＞＝，
则sin＜＞＝．
∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
19．（12分）为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男居民评分结果的频数分布表
分数区间
频数
[40，50）
3
[50，60）
3
[60，70）
16
[70，80）
38
[80，90]
20
为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（1）求m的值；
（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在[40，60）的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求m的值．
（2）由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
（3）由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10＝24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，样本人数为200人，即可求解．
【解答】解：（1）∵（0.005+m+0.02+0.04+0.02）×10＝1，
∴m＝0.015．
（2）由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，
故随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E（X）＝．
（3）设事件M＝{随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}，
∵样本人数200人，其中男居民共有80人，
∴样本中女居民共有120人，
由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10＝24人，
由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，
∴随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率P（M）＝．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（﹣1，），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点（0，2）的直线l（直线l不与x轴垂直）与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点．求△MON的面积的最大值．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可得到椭圆C的标准方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到S△MON＝，令t＝，则，t＞0，所以S△MON＝，利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2，
联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，
∴，，
由△＝（8k）2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，
∴S△MON＝×＝|x2﹣x1|＝＝＝，
令t＝，则，t＞0，
∴S△MON＝＝，
由t+≥2＝4，当且仅当t＝即t＝2时，等号成立，此时k＝，
∴S△MON＝，
∴△MON的面积的最大值为．
21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a≠0时，若f（x）≤，求实数a的取值范围．
【分析】（1））f（x）＝x+alnx⇒f′（x）＝，函数的定义域为（0，+∞），分a≥0与a＜0两类讨论，即可得到函数f（x）的单调情况；
（2）f（x）≤，可化为x+alnx≤，依题意得a＞0，于是有x2﹣x﹣alnx+e≥0，构造函数g（x）＝x2﹣x﹣alnx+e，有g′（x）＝，若g（x）≥0，可得g（x）min＝g（a）＝a﹣a﹣alna≥0，得alna≤e，分0＜a≤1与a＞1两类讨论，可得实数a的取值范围．
【解答】（1））f′（x）＝1+＝，函数的定义域为（0，+∞），
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有减区间；
②当a＜0时，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，此时函数f（x）的增区间为（﹣a，+∞），减区间为（0，﹣a）；
（2）f（x）≤，可化为x+alnx≤，
若a＜0，取x＝，x+alnx＝+aln＝+e＞e＞，不合题意，故a必为正数，
不等式x+alnx≤，化为x2﹣x﹣alnx+e≥0，
令g（x）＝x2﹣x﹣alnx+e，有g′（x）＝x﹣1﹣＝＝，
由函数g（x）的定义域为（0，+∞），令g′（x）＞0有x＞a，
可得函数g（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞），
若g（x）≥0，必有g（x）min＝g（a）＝a﹣a﹣alna+e≥0，得alna≤e，
①当0＜a≤1时，alna≤0，可得alna≤e；
②当a＞1时，令h（x）＝xlnx（x≥1），有h′（x）＝lnx+1＞0，可得函数h（x）单调递增，又由h（e）＝e，可得1＜a≤e，
由上知0＜a≤e．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知三点A（2，0），，．
（1）若A，B，C三点共线，求ρ的值；
（2）求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．（O为极点）
【分析】（1）直接利用点的坐标公式的应用求出三点共线的应用求出结果；
（2）直接利用点的坐标求出圆的方程，进一步转换为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为A，B两点的极坐标分别为A（2，0），，
所以其直角坐标分别为A（2，0），B（0，﹣2），
即直线AB的方程为y＝x﹣2，
因为C点的极坐标为，所以其直角坐标为，
代入直线AB的方程，可得，解得；
（2）因为OA⊥OB，所以AB的中点（1，﹣1）即为圆心，半径，
所以圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，即x2+y2﹣2x+2y＝0，
因为x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ＝0，
即ρ＝2cosθ﹣2sinθ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+a|x﹣1|（x∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＜|x|+a﹣1有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意结合绝对值的几何意义即可求得答案；
（2）对a进行分类讨论，在对不等式f（x）＜|x|+a﹣1进行分离常数得，结合|x﹣1|的范围即可求得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝|x|+|x﹣1|≥|x﹣x+1|＝1，
当且仅当0≤x≤1时，上述等号成立，即f（x）的最小值为1；
（2）不等式f（x）＜|x|+a﹣1可化为a|x﹣1|＜a﹣1（*），
①当a＝0时，（*）式为0＜﹣1，无解，
②当a＞0时，（*）式可化为，只需即可，有a＞1，
③当a＜0时，（*）式可化为，显然有解，
由上知实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3，5} B．{0，3，4} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}
2．（5分）设复数z满足z+i＝zi（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
4．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4与圆C2：（x+2）2+（y+1）2＝a2相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（3，4）
5．（5分）根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是（ ）
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
降雨天数
34
37
43
45
46
A．降雨天数逐年递增
B．五年内三个月份平均降雨天数为41天
C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小
D．五年内降雨天数的方差为22
6．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线y＝x交于点M（点M在第一象限），且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝12x D．y2＝16x
7．（5分）为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费）
A． B． C． D．
8．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
9．（5分）如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，则该函数图象与直线y＝的交点个数为（ ）
A．8083 B．8084 C．8085 D．8086
10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递增，f（3）＝0，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣5，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，1）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣5，0）∪（1，+∞）
11．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2可能是正三角形
B．P到两渐近线的距离之积是定值
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8
D．在△PF1F2中，
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，记bn＝S1+S2+…+Sn﹣4n﹣8，若数列{bn}也为等比数列，则a2＝（ ）
A．12 B．32 C．﹣16 D．﹣8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则＝ ．
14．（5分）已知向量，满足|+2|＝1，|﹣2|＝5，则＝ ．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥1且n∈N*时，则S20＝ ．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，，∠ACB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积是，c＝2a，求b．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
19．（12分）为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男居民评分结果的频数分布表
分数区间
频数
[40，50）
3
[50，60）
3
[60，70）
16
[70，80）
38
[80，90]
20
为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（1）求m的值；
（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在[40，60）的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（﹣1，），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点（0，2）的直线l（直线l不与x轴垂直）与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点．求△MON的面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a≠0时，若f（x）≤，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知三点A（2，0），，．
（1）若A，B，C三点共线，求ρ的值；
（2）求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．（O为极点）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+a|x﹣1|（x∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＜|x|+a﹣1有解，求实数a的取值范围．
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3，5} B．{0，3，4} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}
【分析】先表示出集合U，然后直接利用补集的定义即可求解．
【解答】解：U＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，
则∁UA＝{0，3，5，4}，
故选：D．
2．（5分）设复数z满足z+i＝zi（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．
【解答】解：，即复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图，
由z＝x﹣y，得y＝x﹣z，
数形结合可得直线y＝x﹣z经过点（0，6）时取得最小值，且最小值为﹣6．
故选：C．
4．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4与圆C2：（x+2）2+（y+1）2＝a2相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（2，+∞） C． D．（3，4）
【分析】若两圆相交，则连心距与半径满足关系|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，代入数据求解．
【解答】解：圆C1的圆心为（1，a），半径为2；圆C2的圆心为（﹣2，﹣1），半径为a，则，
因为两圆相交，所以，解得a＞3．
故选：A．
5．（5分）根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是（ ）
年份
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
降雨天数
34
37
43
45
46
A．降雨天数逐年递增
B．五年内三个月份平均降雨天数为41天
C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小
D．五年内降雨天数的方差为22
【分析】观察表格可判断A，求出平均数可判断B，求出增加量可判断C，求出方差可判断D．
【解答】解：A：由表中数据可知，降雨天数逐年增加，∴A正确，
B：∵＝41，∴B正确，
C：∵43﹣37＞37﹣34，∴降雨天数的增加量在刚开始的三年内变大，∴C错误，
D：∵s2＝＝32，∴D正确．
故选：C．
6．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线y＝x交于点M（点M在第一象限），且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝12x D．y2＝16x
【分析】求解M的坐标，利用抛物线的定义，转化求解p，即可得到抛物线方程．
【解答】解：联立，解得x＝2p，y＝2p，
所以点M（2p，2p），
因为M到焦点F的距离为10，
所以，解得p＝4．所以C的方程为y2＝8x．
故选：B．
7．（5分）为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由，求得底面半径，再结合母线长公式和侧面积公式，即可求解．
【解答】解：设底面半径为r，则，即r＝4cm，则该圆锥的母线长，
所以侧面积．
故选：C．
8．（5分）在1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】先化简所给的多项式，再利用二项展开式的通项公式，求得含x3项的系数．
【解答】解：多项式可化为，二项式（x+1）7的通项公式为：，
令7﹣r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为．
故选：C．
9．（5分）如图是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，则该函数图象与直线y＝的交点个数为（ ）
A．8083 B．8084 C．8085 D．8086
【分析】由题意由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象，
可得A＝1，•＝+，∴ω＝2π，周期为1．
结合五点法作图可得﹣×2π+φ＝0，求得φ＝π，故函数为y＝sin（2πx+π）＝﹣sin2πx．
除了原点外，函数y＝sin2πx在每一个周期上，它和直线y＝都有2个交点．
当x＝2021时，函数y＝sin2πx＝0，＝1，
故函数y＝sin2πx的图象和直线y＝在区间（0，2021]上有2×2021＝4042个交点．
当x＝﹣2021时，函数y＝sin2πx＝0，＝﹣1，
故函数y＝sin2πx的图象和直线y＝在区间[﹣2021，0）上有2×2021＝4042个交点．
则该函数图象与直线y＝的交点个数为4042+1+4042＝8085，
故选：C．
10．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递增，f（3）＝0，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣5，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，1）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣5，0）∪（1，+∞）
【分析】根据题意作出f（x）的大致图象，将已知不等式转化为，结合图象即可求解x的取值范围．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足在（0，+∞）内单调递增，
所以f（x）满足在（﹣∞，0）内单调递减，
又f（3）＝0，所以f（﹣3）＝f（3）＝0．
作出函数f（x）的草图如下：
由，得，得，
等价于或，即或，
解得x＞1或﹣5＜x＜0，即不等式的解集为（﹣5，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
11．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2可能是正三角形
B．P到两渐近线的距离之积是定值
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8
D．在△PF1F2中，
【分析】由双曲线定义判断A；设P（x0，y0），由P在双曲线上，结合点到直线的距离公式判断B；由勾股定理列式求解|PF1|、|PF2|，代入三角形面积公式判断C；求解焦点三角形，结合双曲线定义判断D．
【解答】解：由双曲线方程可得，a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线定义可知，|PF1|＝|PF2|+2a＞|PF2|，
∴△PF1F2不可能是正三角形，故A错误；
设P（x0，y0），则，即，
双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，P到两渐近线的距离之积为：
＝为定值，故B正确；
由PF1⊥PF2，得，即，
解得，，
∴，故C错误；
设P（x0，y0），则sin，sin，
在△PF1F2中，＝，
故sin，
则＝＝，故D错误．
故选：B．
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，记bn＝S1+S2+…+Sn﹣4n﹣8，若数列{bn}也为等比数列，则a2＝（ ）
A．12 B．32 C．﹣16 D．﹣8
【分析】设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，数列{bn}不可能为等比数列；当q≠1，，Sn＝﹣，bn＝（）n﹣[8+]+，由数列{bn}为等比数列，列出方程组，求出q＝2，a1＝﹣4，由此能求出a2．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
①当q＝1时，an＝a1，Sn＝na1，
bn＝a1（1+2+3+•••+n）﹣4n+8＝﹣4n+8，不可能为等比数列；
②当q≠1，，
Sn＝＝﹣，
bn＝﹣×﹣4n﹣8＝（）n﹣[8+]+，
若数列{bn}为等比数列，
则必有，解得q＝2，a1＝﹣4，
∴a2＝a1q＝﹣4×2＝﹣8．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则＝ 2 ．
【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：2．
14．（5分）已知向量，满足|+2|＝1，|﹣2|＝5，则＝ ﹣3 ．
【分析】先将两个等式平方，再作差，即可得解．
【解答】解：∵|+2|＝1，|﹣2|＝5，
∴+4•+4＝1，∴﹣4•+4＝25，
两式作差，得•＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥1且n∈N*时，则S20＝ ﹣80 ．
【分析】对n分类讨论，分组求和即可得出结论．
【解答】解：当n为奇数时，an+2+an＝﹣2n；
当n为偶数时，an+2＝an；
∴S20＝（a1+a3+a5+a7+…+a17+a19）+（a2+a4+a6+a8+…+a18+a20）＝﹣2×（1+5+9+13+17）+10＝﹣80．
故答案为：﹣80．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，，∠ACB＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 20π ．
【分析】因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝30°，求出PA的长度．设△ABC的外接圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直于平面ABC的直线上，结合图象，用勾股定理列式求解．
【解答】解：如图，设外接球的球心为O，设△ABC的外接圆圆心为O1，
因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝30°，
所以，又，
所以PA＝2，所以，
设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得R＝2，
则在Rt△OO1A中，，即三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．
则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为．
故答案为：20π．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积是，c＝2a，求b．
【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可．
【解答】解：（1）由，得，
得，
得，
由正弦定理得，
因为sinA≠0，
所以，
所以，
因为0＜B＜π，所以．
（2）若△ABC的面积是，
则，解得，
所以．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，
所以b＝2．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【分析】（1）连接BD，证明OB⊥AD，再由OB⊥PD，可得OB⊥平面PAD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（2）连接PO，证明PO⊥AD，由（1）得PO⊥OB，OB⊥AD，则PO、AD、OB两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面ABP的一个法向量与平面BPC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值，进一步求得二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵△PAD与△ABD全等，△PAD是等边三角形，则△ABD为等边三角形，
又O是AD的中点，△ABD为等边三角形，∴OB⊥AD，
又OB⊥PD，PD∩AD＝D，AD、PD⊂平面PAD，∴OB⊥平面PAD，
又OB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：连接PO，
∵△PAD是等边三角形，O是AD的中点，∴PO⊥AD，
由（1）得PO⊥OB，OB⊥AD，∴PO、AD、OB两两垂直，
建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），
设平面ABP的一个法向量为，
，，
由，取x＝，得；
设平面BPC的一个法向量为，
又，，
由，取b＝1，得．
∴cos＜＞＝，
则sin＜＞＝．
∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
19．（12分）为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男居民评分结果的频数分布表
分数区间
频数
[40，50）
3
[50，60）
3
[60，70）
16
[70，80）
38
[80，90]
20
为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（1）求m的值；
（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在[40，60）的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求m的值．
（2）由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
（3）由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10＝24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，样本人数为200人，即可求解．
【解答】解：（1）∵（0.005+m+0.02+0.04+0.02）×10＝1，
∴m＝0.015．
（2）由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，
故随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E（X）＝．
（3）设事件M＝{随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}，
∵样本人数200人，其中男居民共有80人，
∴样本中女居民共有120人，
由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10＝24人，
由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，
∴随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率P（M）＝．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（﹣1，），短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点（0，2）的直线l（直线l不与x轴垂直）与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点．求△MON的面积的最大值．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可得到椭圆C的标准方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到S△MON＝，令t＝，则，t＞0，所以S△MON＝，利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2，
联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，
∴，，
由△＝（8k）2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，
∴S△MON＝×＝|x2﹣x1|＝＝＝，
令t＝，则，t＞0，
∴S△MON＝＝，
由t+≥2＝4，当且仅当t＝即t＝2时，等号成立，此时k＝，
∴S△MON＝，
∴△MON的面积的最大值为．
21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a≠0时，若f（x）≤，求实数a的取值范围．
【分析】（1））f（x）＝x+alnx⇒f′（x）＝，函数的定义域为（0，+∞），分a≥0与a＜0两类讨论，即可得到函数f（x）的单调情况；
（2）f（x）≤，可化为x+alnx≤，依题意得a＞0，于是有x2﹣x﹣alnx+e≥0，构造函数g（x）＝x2﹣x﹣alnx+e，有g′（x）＝，若g（x）≥0，可得g（x）min＝g（a）＝a﹣a﹣alna≥0，得alna≤e，分0＜a≤1与a＞1两类讨论，可得实数a的取值范围．
【解答】（1））f′（x）＝1+＝，函数的定义域为（0，+∞），
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有减区间；
②当a＜0时，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，此时函数f（x）的增区间为（﹣a，+∞），减区间为（0，﹣a）；
（2）f（x）≤，可化为x+alnx≤，
若a＜0，取x＝，x+alnx＝+aln＝+e＞e＞，不合题意，故a必为正数，
不等式x+alnx≤，化为x2﹣x﹣alnx+e≥0，
令g（x）＝x2﹣x﹣alnx+e，有g′（x）＝x﹣1﹣＝＝，
由函数g（x）的定义域为（0，+∞），令g′（x）＞0有x＞a，
可得函数g（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞），
若g（x）≥0，必有g（x）min＝g（a）＝a﹣a﹣alna+e≥0，得alna≤e，
①当0＜a≤1时，alna≤0，可得alna≤e；
②当a＞1时，令h（x）＝xlnx（x≥1），有h′（x）＝lnx+1＞0，可得函数h（x）单调递增，又由h（e）＝e，可得1＜a≤e，
由上知0＜a≤e．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知三点A（2，0），，．
（1）若A，B，C三点共线，求ρ的值；
（2）求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．（O为极点）
【分析】（1）直接利用点的坐标公式的应用求出三点共线的应用求出结果；
（2）直接利用点的坐标求出圆的方程，进一步转换为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为A，B两点的极坐标分别为A（2，0），，
所以其直角坐标分别为A（2，0），B（0，﹣2），
即直线AB的方程为y＝x﹣2，
因为C点的极坐标为，所以其直角坐标为，
代入直线AB的方程，可得，解得；
（2）因为OA⊥OB，所以AB的中点（1，﹣1）即为圆心，半径，
所以圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，即x2+y2﹣2x+2y＝0，
因为x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ＝0，
即ρ＝2cosθ﹣2sinθ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+a|x﹣1|（x∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＜|x|+a﹣1有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意结合绝对值的几何意义即可求得答案；
（2）对a进行分类讨论，在对不等式f（x）＜|x|+a﹣1进行分离常数得，结合|x﹣1|的范围即可求得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝|x|+|x﹣1|≥|x﹣x+1|＝1，
当且仅当0≤x≤1时，上述等号成立，即f（x）的最小值为1；
（2）不等式f（x）＜|x|+a﹣1可化为a|x﹣1|＜a﹣1（*），
①当a＝0时，（*）式为0＜﹣1，无解，
②当a＞0时，（*）式可化为，只需即可，有a＞1，
③当a＜0时，（*）式可化为，显然有解，
由上知实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
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