高考数学模拟试卷(理科)

高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A．i B．－i C．1 D．－1

3．为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论正确的是（    ）

A．这30名学生测试得分的中位数为6

B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等

C．这30名学生测试得分的平均数比中位数小

D．从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识

4．在的展开式中，的系数为（    ）

A－5 В．5 C．－10 D．10

5．若是定义在R的奇函数，且是偶函数，当时，，则时的解析式为（    ）

A．  B．

C． D．

6．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取3个连续奇数17，19，21，23，25按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，在这个子数列中第2020个数是（    ）

A．3976 B．3974 C．3978 D．3973

7．函数的像在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C若，则

D．若，则

9．1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为，．设点C的坐标为，当最大时，（    ）

A．2ab B．ab C． D．

10．阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的施长为9a，则该双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C．3 D．

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共20分．

13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为______．

14．在中，已知，，垂足为D．若，则的值为______．

15．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你不是第一名．”对乙说：“你和甲都不是最后一名．”从这两个回答分析，5人的名次排列有______种不同情况．

16．已知双曲线C：的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q为C上两点，点M（－2，1）为弦PQ的中点，且，记双曲线的高心率为e，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）设数列的前n项和为，且满足，是公差不为0的等差数列，，是与的等比中项．

（1）求数到和的通项公式；

（2）对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和．

18．（12分）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中．12346739610.012

（1）试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；

（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍．若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．

（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；

（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为正三角形，，E为线段AB的中点，M为线段PD（不含端点）上的一个动点，且．

（1）证：平面ABCD；

（2）若二面角M－EC－D的大小为60°，求实数的值．

20．（12分）如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补．直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N．

（1）若的面积为，求直线AB的方程；

（2）若AB与双曲线的左、右两支分别交于Q，R，求的范围．

21．（12分）已知函数，k是实数．

（1）若对任意的恒成立，求k的取值范围；

（2）若，方程有解，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知点P（1，2），圆C：．

（1）若有线过点P且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线的方程；

（2）设A是圆C上的动点，求（O为坐标原点）的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意恒成立，求k的取值范围．

答案

L．C    2．B    3．D    4．C    5．B    6．B    7．D    8．D    9．D    10．B    11．A    12．A

13．1 14．4：9 15．54 16．

17．（12分）

解：（1）在中，令得，∴，

当时，，

∴，即，

∴，∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴，

设的公差为d，由题意可得，即，

整理得，解得或0（舍去）

∴．

（2）由题意可得，

∴

．

18．（12分）

解：（1）适宜作为y关于x的回归方程类型．

令，得，于是，

因为，，所以，，

所以，，即；

（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，

“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，

“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，

则，，

又，，于是

．

（ii）．

19．（12分）

（1）证明：连接DE，PE，

∵是边长为2的正三角形，且E是AB中点，∴，，

∵底面ABCD是边长为2的菱形，，∴，

在中，由余弦定理，

又∵，∴，即，

又∵，，，DE，面ABCD，∴面ABCD．

（2）以E为原点，分别以为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系E－xyz如下图所示：

则E（0，0，0），B（1，0，0），，．

设，则，

∴，又，

设面EMC的法向量为，则

令，得，

∵面ABCD，∴平面ABCD的法向量

由题意，，

解得（舍）或，∴．

20．（12分）

解：（1）由题，消去y得：

，，

因为，所以，并求出，

将换成，得：，则可得，

设，，消去y得：

，，

所以得：，则，

，，，

，解得，即；

（2），消去y得：

，，

，

∵，∴，则，

∴，∴，则的取值范围为．

21．（12分）

解：（1）因为对任意的恒成立，

所以，即，对任意的恒成立，

令，则，令，所以，

又，所以上单调递增，

所以，即，，故k的取值范围为

（2）当时，，因为，

所以，

令，则，转化为方程，在上有解，

令，当时，在为增函数，

所以，得

当时，需，即，解得，

综上所述，实数a的取值范围是或

22．（10分）

解：（Ⅰ）当截距均为0时，设直线方程为，代入，得，

直线方程为；

当截距不为0时，设直线方程，代入，得，

直线方程为

所求直线方程为和．

（Ⅱ）因为，圆C：．即

设，则．

23．（10分）

解：（1）当时，等价于，

解得，所以；

当时，等价于，

解得，所以此时不等式无解；

当时，等价于，解得，所以；

综上所述，不等式解集．

（2）由，得，

当时，恒成立，所以；

当时，恒成立，

因为，

当且仅当时取等号，所以，综上，k的取值范围是．