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2023年广西玉林市博白县高考数学模拟试卷（理科）-普通用卷

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这是一份2023年广西玉林市博白县高考数学模拟试卷（理科）-普通用卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广西玉林市博白县高考数学模拟试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集，集合，则( )

A. B. C. D.

2. 设复数，则( )

A. B. C. D.

3. 已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是( )

A. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 B. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
C. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 D. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数

4. 如图一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为( )

A. B. C. D.

5. “”是“数列为等差数列”的( )

A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

6. 已知与曲线相切，则的值为( )

A. B. C. D.

7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A. B. C. D.

8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是( )

A. 奇函数 B. 在上单调递增
C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称

9. 在正方体中，下列说法不正确的是( )

A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面垂直
C. 三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一
D. 直线与直线垂直

10. 已知，且，则( )

A. B. C. D.

11. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

12. 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，且，且则( )

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，的展开式中存在常数项，写出的一个值为______ ．

14. 若向量，，且，共线，则 ______ ．

15. 围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙在同一个小组的概率为______ ．

16. 已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，
，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，
的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求；
规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级以样本估计总体，用频率代替概率从所有参加考试的同学中随机抽取人，求获得等级的人数不少于人的概率．

18. 本小题分
已知数列的前项和为，，；数列中，，．
求数列、的通项公式和；
设，求数列的前项和．

19. 本小题分
如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为的正方形，侧面侧面，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．

20. 本小题分
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线：经过抛物线的焦点．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点求面积的最小值．

21. 本小题分
设函数．
当时，求的单调区间；
若有两个极值点，
求的取值范围；
证明：．

22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的普通方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求与的极坐标方程；
在极坐标系中，射线与，分别交于点，异于极点，若，求的值．

23. 本小题分
已知函数．
求的值域；
若的最大值为，正实数，，满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，则．
故选：．
计算，再计算补集得到答案．
本题考查补集的运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：，则，
．
故选：．
先求得，再利用复数除法即可求得的代数形式．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：对于，由题意可得甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，
甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故A不正确．
对于，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，
甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B不正确；
对于，由题意可得甲的成绩的平均数为，
乙的成绩的平均数为，
甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C不正确；
对于，由题意可得甲的成绩的中位数为，
乙的成绩的中位数为，
甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故D正确．
故选：．
利用条形图的性质、平均数、中位数、方差、极差直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：由题意，，则，且，则．
再由椭圆定义可得光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为．
故选：．
由已知求得，再由求得，然后利用椭圆定义求解．
本题考查椭圆定义域几何性质，是基础题．

5.【答案】

【解析】解：设，则，，，所以，但数列不是等差数列；
若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立．
所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件．
故选：．
举特例结合等差数列的性质，即可得出答案．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：由，得，
由，得，
，即．
故选：．
求出函数的导函数，利用导函数值为求得切点横坐标，再由切点处的函数值相等列式求得值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：首先把三视图转换为几何体的直观图：该几何体为长方体挖去一个圆锥；
如图所示：

故．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得
函数，
对于：，为偶函数，A错误；
对于：当时，，
在上单调递减，在上单调递减，B错误；
对于：，图象不关于点对称，C错误；
对于：，图象关于直线对称，D正确．
故选：．
先通过平移求出，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可．
本题主要考查了余弦函数性质的综合应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：选项，因为在正方体中，，，
且，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
同理可得，，，
因为，，平面，
所以平面，所以，B正确；
选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，
故AB与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；
选项，设棱长为，则四棱锥的体积等于正方体体积减去个三棱锥的体积，
即，
所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．
故选：．
选项，根据线线垂直得到线面垂直，进而得到AB正确；选项，设出棱长，利用正方体体积减去四个三棱锥体积求出三棱锥的体积；选项，求出异面直线的夹角为，D错误．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直的证明，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．

10.【答案】

【解析】解：设，，则，，
即，，，
故，．
故选：．
设，化简得到，，代入计算得到答案．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了双曲线的性质以及三角形的面积公式和余弦定理，属于中档题．
设，，根据三角形的面积公式和余弦定理解方程得出与的关系，从而得出双曲线的离心率．
【解答】
解：设，，则，
，
由余弦定理可得：，
由双曲线的定义可知，
，即，
，
解得或舍．
故选：．

12.【答案】

【解析】解：因为是偶函数，所以，
所以，所以，
所以函数关于直线对称，
又因为，所以，
所以，所以关于点中心对称，
所以函数的周期为，
因为当时，且，且，
所以，解得或舍，
所以当时，，
所以，，，，，，，，
所以，
所以，
故选：．
本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值．
本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：因为的展开式的通项为，
令可得，
因为为正整数，为自然数，
故符合题意的一个为．
故答案为：答案不唯一．
由已知可知展开式的通项为，结合常数项的指数特点可求．
本题主要考查了二项式展开式通项在指定项的求解中的应用，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：因为，共线，所以，解得：，
所以，，
所以，
故答案为：．
根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解．
本题主要考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：设甲乙等人的代号分别为，，，，；
总的分组方法有：，，，，，，，，，共种；
甲乙在同一小组的有：，，，共种；
所以甲和乙在同一个小组的概率为．
故答案为：．
先求出位选手分成两组的分法，再求甲和乙在同一个小组的分法，根据古典概率可得答案．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：因为，，所以在中，
根据余弦定理可得：，即，
所以，所以，所以底面是顶角为的等腰三角形，
由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，
则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上，
设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，
由正弦定理得，，所以，，
所以三棱锥外接球的体积为．
故答案为：
根据已知条件利用余弦定理得到，由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，得到直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上，由正弦定理得到外接球的半径，即可求解．
本题考查线面垂直以及三棱锥的外接球问题，考查了学生的运算求解能力和直观想象、数学运算的核心素养．

17.【答案】根据频率分布直方图可得：，
解得，
又成绩在，，的三组人数比为：：，
根据分层抽样抽取的成绩在，，的三组人数为，，，
；
根据题意可知成绩为等级的频率为，
设从所有参加考试的同学中随机抽取人，获得等级的人数为，
则服从二项分布，
，，
获得等级的人数不少于人的概率为．

【解析】根据频率分布直方图的相关知识，古典概型的概率公式，即可求解；
根据二项分布的性质，即可求解．
本题考查频率分布直方图的相关知识，古典概型的概率公式，二项分布的概率的求解，属中档题．

18.【答案】解：，，
两式相减得，得．
又，，，分
可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则；
，，即数列是等差数列，
又，．
，，
，
，
两式相减可得：．
．

【解析】由与的关系及条件可求出数列的通项公式，由等差数列的定义可求得数列的通项公式；
由错位相减法可求得．
本题考查了求等差等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前项和，还考查了计算能力，属中档题．

19.【答案】解：证明：连接，因为侧面是菱形，且，
所以是等边三角形，
又因为为的中点，所以，
因为，所以；
因为侧面是边长为的正方形，所以．
又侧面侧面，侧面侧面，侧面，
所以侧面，
又因为侧面，所以．
又，所以平面；
平面，，
以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
由知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】先通过侧面是菱形，证得，再通过侧面是边长为的正方形，侧面侧面证得，从而根据线面垂直的判定定理即可证明平面；
建系，将面面角转成两平面的法向量所成角，利用空间向量坐标运算，空间向量数量积的夹角公式即可求解．
本题考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，向量法解决面面角，考查逻辑推理能力，数学运算能力，属中档题．

20.【答案】解：设抛物线的方程为，
直线：经过抛物线的焦点，
，得，
抛物线的方程为．
设，由得，
则，，，
，
由，得，则，
抛物线经过点的切线方程是，
同理抛物线经过点的切线方程是，
解方程组，得，．
到直线的距离，
面积，
，，即当时，，
面积的最小值是．

【解析】本题主要考查抛物线的方程和性质，联立方程组，利用设而不求思想是解决本题的关键，是中档题．
设出抛物线的方程，求出焦点坐标，代入直线进行求解即可．
联立方程组，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行转化求解即可．

21.【答案】解：当时，，
故，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
，依据题意可知有两个不等实数根，
即有两个不等实数根，．
由，得，
所以有两个不等实数根可转化为
函数和的图象有两个不同的交点，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，在单调递减，
所以．
又当时，，当时，，
因为与的图象有两个不同的交点，所以．
证明：由可知有两个不等实数根，，
联立可得，
所以不等式等价于．
令，则，且等价于．
所以只要不等式在时成立即可．
设函数，则，
设，则，
故在单调递增，得，
所以在单调递减，得．
综上，原不等式成立．