2021届广西梧州市高三理数3月联考试卷及答案

这是一份2021届广西梧州市高三理数3月联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数3月联考试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 中元素的个数为〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
2.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A. 5                                        B.                                         C.                                         D. 
3.2021年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm，面额100元.为了测算图中军旗局部的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是〔    〕

A. mm2                     B. mm2                     C. mm2                     D. mm2
4.设 满足 ，那么 的最小值是〔    〕
A. -7                                          B. 2                                          C. 3                                          D. -5
5.双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                        B.                                        C. 2                                       D. 
6.假设 ，那么 〔    〕
A. 2                                         B. 1                                         C.                                          D. 
7.函数 的大致图象是〔    〕
A.                            B. 
C.                      D. 
8.直线 与圆 ： 相交于 ， ，且 ，那么实数 的值为〔    〕
A. 或-1                                     B. -1                                     C. 1                                     D. 1或-1
9.某几何体的三视图如图，其中侧视图与俯视图都是腰长为 的等腰直角三角形，正视图是边长为 的正方形，那么此几何体的外表积为〔    〕

A. 8                                 B.                                  C.                                  D. 
10.假设 是函数 的极值点，那么曲线 在〔1， 〕处的切线方程是〔    〕.
A.                              B.                              C.                              D. 
11.函数 ，那么以下说法错误的选项是〔    〕
A. 的一条对称轴为                                B. 在 上是单调递减函数
C. 的对称中心为                                    D. 的最大值为
12.在等腰三角形 中， ，顶角为 ，以底边 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，那么球的最大体积为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
二、填空题
13.向量 ， ，且 ，那么 ________.
14.的展开式中常数项为________.
15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，那么 的周长的最大值是________.
16.点 ，抛物线 ： 〔 〕的准线为 ，点 在 上，作 于点 ， ， ，那么 ________.
三、解答题
17.数列 是公差为2的等差数列，它的前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得 ， ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
〔1〕请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
〔2〕求 关于 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？
19.如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 平面 ， 为 的中点， ， ， .

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的正弦值.
20.椭圆 ： 过点 ，点 为其上顶点，且直线 的斜率为 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设 为第四象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积是定值.
21.a＞0，函数 ．
〔1〕假设f〔x〕为减函数，求实数a的取值范围；
〔2〕当x＞1时，求证： ．〔e＝2.718…〕
22.在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ；以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点 的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕假设点 为曲线 上的动点，求线段 的中点 的轨迹 的直角坐标方程；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设过点P的直线l与曲线 相交于A，B两点，求 的值.
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕正数 满足 ，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 可得 ， ，所以 ，元素个数为3个.
故答案为：B

【分析】根据题意结合绝对值不等式的解法求出集合A再由集合的性质求出集合B的元素再由交集的等腰即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，得 ，所以 .
故答案为：B

【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简的式子再由复数模的定义计算出结果即可。
3.【解析】【解答】由该纪念币的直径为22mm，知半径r＝11mm，那么该纪念币的面积为πr2＝π×112＝121π〔mm2〕，∴估计军旗的面积大约是 〔mm2〕，
故答案为：B。

【分析】利用条件结合几何概型求概率公式，从而求出可估计的军旗的大约面积。
4.【解析】【解答】由约束条件可得可行域如以下列图阴影局部所示：

由 得： ，
当 取最小值时， 在 轴截距最小，
由图象可知：当 过 时，在 轴截距最小，
又因为 ， 。
故答案为：B.

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最小值。
5.【解析】【解答】取双曲线的右焦点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：B

【分析】根据题意由双曲线的性质结合渐近线的方程求出a与b的关系式再离心率的公式与整体思想求出结果即可。
6.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
那么 ，
故答案为：D.

【分析】首先与同角三角函数的商数关系式结合两角和的正余弦公式求出tan的值，由此得到再由二倍角的余弦公式代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】由题可知，函数 的定义域为 ， ，
所以函数 为奇函数，所以排除BD；又 ，所以排除A.
故答案为：:C.

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用进行排除即可。
8.【解析】【解答】由题意得 为等腰直角三角形，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 或1.
故答案为：D

【分析】根据题意由点到直线的距离公式即可求出圆心到直线的距离，结合条件计算出a的值即可。
9.【解析】【解答】原几何体为一个底面边长为 正方形，高为 的四棱锥，如下列图：

四棱锥 即为所求.
其中 ，
所以 ， .
所以外表积为 .
故答案为：B.

【分析】由三视图的性质即可得出原几何体为一个四棱锥，结合条件求出边的关系再由四边形的面积公式代入数值即可求出四棱锥的外表积。
10.【解析】【解答】由题意可得： ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
可得 ，切点为 ，斜率 ，
所以切线为：
故答案为：A
【分析】根据题意可知 ，即可求出 得值，再求出 的值可得切点，斜率 ，即可写出方程.
11.【解析】【解答】由得，对于A， ，正确；
对于B，令 〔 〕，
又 ，那么 .
当 时， ，
因为 在 上是增函数， 在 上是减函数，
所以 在 上是减函数，正确；
对于C， ，错误；
对于D，令 〔 〕，
所以 ，
所以当 时， ，正确.
故答案为：C.

【分析】 根据题意首先判断函数是否满足f〔π-x〕=f〔x〕，即可判断出选项正确A，利用换元法，令t=sinx，那么t∈[-1，1]，通过复合函数的单调性的判断法那么，即可判断出选项B正确，判断函数是否满足f〔x〕+f〔π-x〕=0，即可判断出选项C错误，利用换元法，令t=sinx，那么t∈[-1，1]，转化为二次函数求最值，即可判断出选项D正确，由此得出答案。
12.【解析】【解答】如图：据题意可得几何体的轴截面为边长为2，邻边的一夹角为 的菱形，

即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，
可得内切圆的半径 ，
故 .
故答案为：A

【分析】根据题意可知菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大结合三角形内的几何计算关系即可求出半径，再把数值代入到体积公式计算出结果即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：

【分析】结合向量坐标的运算法那么以及向量共线的坐标公式代入数值计算出答案即可。
14.【解析】【解答】解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 .所以展开式中常数项为 .
故答案为：135

【分析】首先由二项展开式的通项公式结合题意令求出r的值，再把r=2代入到通项公式计算出答案即可。
15.【解析】【解答】对等式进行角化边可得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时， ，
所以 ，即 的周长的最大值为9.
故答案为：9.

【分析】首先整理化简原式得到再由根本不等式求出， 从而即可求出周长的最大值。
16.【解析】【解答】设抛物线的焦点为 ， ，
由抛物线的定义可知， ，因为 ，所以 ，
不妨设点 在第一象限，过点 作 轴于点 ，那么 为 的中点，

，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以点 的坐标为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，
化简得 ，解得 或 (舍去)，所以 .
故答案为： .

【分析】 首先求出F的坐标以及|AF|，然后由抛物线定义可得|PH|=|PF|，设点P在第一象限，根据以及数形结合求出点P的坐标，代入抛物线方程即可求出p的值．
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)姐条件由等差数列的通项公式以及等比数列的性质整理即可得求出首相的值由此即可求出等差数列的通项公式。
(2)由(1)的结论结合等差数列的前n项公式公式整理即可求出数列的通项公式，再由错位相减法求出数列的前n项和即可。
18.【解析】【分析】 (1)首相计算相关系数r，根据|r|与1的接近程度，即可判断；
〔2〕由参考公式求得和的值，即可得线性回归方程，再把x=10代入回归方程即可得解．
19.【解析】【分析】 〔1〕根据题意做出辅助线由中位线的性质知EF∥PB，再由线面平行的判定定理，得证；
〔2〕首相由线面垂直的性质定理得出AC，AD，AP两两垂直，再以A为原点建立空间直角坐标系，求得平面PAC和平面CPE的法向量，结合空间向量夹角公式和同角三角函数的平方关系即可得解．
20.【解析】【分析】(1)根据题意结合条件求出直线AB的方程，然后求解a，b，即可得到椭圆方程．
(2)根据题意设出点P的坐标结合两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出的值，同理求出的值由此化简四边形的面积公式整理代入数值计算出结果即可。
21.【解析】【分析】(1)根据题意可出在 〔0，＋∞〕 上 f'〔x〕≤0恒成立，即 lnx-x＋a ≤0 恒成立构造函数 g〔x〕＝lnx-x＋a 结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由 f'〔x〕≤f'〔1〕 结合函数的单调性即可求出a的取值范围。
(2)结合(1)的结论对a分情况讨论，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，由此即可得出， 再结合f〔x〕在〔1，x0〕上单调递增，在〔x0 ， ＋∞〕上单调递减， 构造函数由二次函数的单调性即可得到即从而得到结论成立。
22.【解析】【分析】 〔1〕先根据直角坐标系与极坐标系坐标之间的关系求出M点的直角坐标系坐标与曲线的直角坐标系方程，再利用T为MN的中点这个条件求出N点坐标与T点坐标之间的关系，再代入到方程中即可得到x，y的关系，即线段MN的中点T的轨迹的直角坐标方程；
〔2〕先求出直线l的标准的参数方程，再与曲线联立，结合参数t的几何意义即可求出|PA|•|PB|的值即可。
23.【解析】【分析】〔1〕分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；〔2〕要证不等式两边平方，等价转化证明 ，即证 ，根据绝对值的不等式求出 ，运用根本不等式即可证明结论.