2020-2021学年广西壮族自治区梧州市某校高一（上）1月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年广西壮族自治区梧州市某校高一（上）1月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|x+1≤0}，B={−2, −1, 0, 1}，则(∁RA)∩B等于( )
A.{−2, −1}B.{−2}C.{0, 1}D.{−1, 0, 1}

2. 下列命题正确的是( )
A.空间任意三点确定一个平面
B.两条垂直直线确定一个平面
C.一条直线和一点确定一个平面
D.两条平行线确定一个平面

3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=|x|x∈R B.y=−1xx≠0C.y=x2x∈R D.y=x3x∈R

4. 已知a=50.2，b=lg0.25，c=0.25，则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

5. 已知两不重合的直线m，n与两个不重合的平面α，β，则下列说法正确的是( )
A.若m//α，α//β，则m//β
B.若m⊥α，n⊥α, 则m//n
C.若m⊥α，α⊥β，则m//β
D.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

6. 若直线l1:x+3y+m=0与直线l2:2x+6y−3=0的距离为10，则m=( )
A.172或−232B.172C.−232D.17或23

7. 直线3x−3y−1=0的倾斜角是( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

8. 已知直线l1:m+2x−y+5=0与l2:x+3m+4y−12=0垂直，则实数m的值为( )
A.−32B.−1C.1D.−32

9. 计算2lg23−−2.50−lne+12−2的结果为( )
A.34B.7C.6D.5

10. 函数y=|x|axx(a>1)的图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.

11. 已知f(x)=ex−e−x2，则下列正确的是( )
A.奇函数，在R上为增函数B.偶函数，在R上为增函数
C.奇函数，在R上为减函数D.偶函数，在R上为减函数

12. 如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )

A.B，B1，D1，A1四点共面
B.BD//平面CB1D1
C.直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30∘
D.直线AC1⊥平面CB1D1
二、填空题

若函数f(x)=lg2(x+a)的零点为2，则a=________．
三、解答题

已知△ABC的三个顶点分别为A2,4，B1,1，C7,3.
(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求△ABC中与平行BC的中位线所在直线的方程．

已知集合A=x|x2−4x+3<0，非空集合B=x|a(1)当a=2时，求A∩B；

(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．

如图，在三棱锥P−ABC中，△PAB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC=90∘．
求证：
(1)DE//平面PBC；

(2)AB⊥PE．

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+3x−4．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；

(2)用单调性定义证明函数f(x)在区间(3,+∞)上是增函数．

已知圆C:x2+y2−8y+12=0，直线l:ax+y+2a=0．
(1)当直线l与圆C相切，求a的值；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=22时，求直线l的方程．

如图，在三棱锥P−ABC中，△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)已知E为PO的中点，F是AB上一点，且BF=3AF，求证EF//平面PAC．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区梧州市某校高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可．
【解答】
解：∵ A={x|x+1≤0}={x|x≤−1}，
∴ ∁RA={x|x>−1}，
∴ (∁RA)∩B={x|x>−1}∩{−2, −1, 0, 1}={0, 1}.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：空间中不共线的三点确定一个平面，故A错误；
两条异面直线相互垂直，但它们不能确定一个平面，故B错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故C错误；
两条平行线确定一个平面，正确.
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性和单调性逐一分析即可得到答案.
【解答】
解：A，y=|x|x∈R 为偶函数，不符合题意；
B，y=−1xx≠0为奇函数，但在整个定义域内不单调，不符合题意；
C，y=x2x∈R 为偶函数，不符合题意；
D，y=x3x∈R为奇函数，且在定义域内单调递增，满足题意.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
指数函数、对数函数的单调性和特殊点，求出a>1，b∈(0, 1)，c<0，由此可得结论．
【解答】
解：∵ a=50.2>50=1，b=lg0.25∴ a>c>b.
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据垂直于同一个平面的两直线平行可以判定m∥n.
【解答】
解：对于选项A，若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，所以A错误；
对于选项B，垂直于同一平面的两直线平行，所以B正确；
对于选项C，若m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，所以C错误；
对于选项D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m⊥n或m与n异面，所以D错误.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
直线l1即2x+6y+2m=0，根据它与直线l2:2x+6y−3=0的距离为10，可得|2m+3|4+36=10，由此求得m的值．
【解答】
解：直线l1:x+3y+m=0，即2x+6y+2m=0.
∵ 它与直线l2:2x+6y−3=0的距离为10，
∴ |2m+3|4+36=10，
解得m=172或−232.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，设直线3x−3y−1=0的倾斜角为θ，分析可得其斜率k=33，进而由倾斜角与斜率的关系可得k=tanθ=33，结合θ的范围，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设直线3x−3y−1=0的倾斜角为θ.
直线3x−3y−1=0的斜率k=tanθ=33，
又∵ 0∘≤θ<180∘，
∴ θ=30∘.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 直线l1:m+2x−y+5=0与l2:x+3m+4y−12=0垂直，
∴ 1×(m+2)−1×(3m+4)=0，
解得m=−1.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
有理数指数幂的化简求值
【解析】
利用对数的运算，指数的运算求解即可.
【解答】
解：2lg23−−2.50−lne+12−2
=3−1−1+22
=3−1−1+4
=5.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
指数函数的图象
【解析】
根据指数函数的图象和性质，当a>1时为增函数，排除C，D，再讨论x<0的单调性，即可得到答案．
【解答】
解：当x>0时，y=ax，因为a>1，所以此时函数是增函数，排除C，D；
当x<0时，y=−ax，因为a>1，所以此时函数是减函数，排除A．
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
先求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义进行判定，再根据两个单调增函数的和也是增函数进行判定单调性即可．
【解答】
解：定义域为R，
∵ f(−x)=e−x−ex2=−f(x)，
∴ f(x)是奇函数.
∵ ex是R上的增函数，−e−x也是R上的增函数，
∴ ex−e−x2是R上的增函数.
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图易得，点B不在平面A1B1D1上，故A错误；
∵BD//B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，BD⊄平面CB1D1，
∴ BD//平面CB1D1，故B正确；
连接BC1，交B1C于点E，连接A1E，
由正方体的性质可知BC1⊥平面A1B1CD，
可知∠BA1E即为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
∵sin∠BA1E=BEA1B=12，
∴∠BA1E=30∘，故C正确；
易证AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，
又B1C∩B1D1=B1，
∴直线AC1⊥平面CB1D1，故D正确.
故选A.
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
函数的零点
【解析】
函数f(x)=lg3(ax2−x+a)有零点可化为方程ax2−x+a=1有解，从而解得．
【解答】
解：根据题意，若函数 f(x)=lg2(x+a) 的零点为2，
则f(2)=lg2(a+2)=0 ,
即 a+2=1，
解得 a=−1.
故答案为：−1.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ B1,1，C7,3，
∴ kBC=3−17−1=13.
∵ A2,4在BC边上的高上，
∴ BC边上的高的方程为y−4=−3x−2，即3x+y−10=0.
(2)∵ A2,4，B1,1，
∴ AB的中点坐标为32,52.
由(1)知kBC=13，
∴ 与BC平行的中位线所在直线的方程为y−52=13x−32，即x−3y+6=0.
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的斜截式方程
斜率的计算公式
中点坐标公式
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】


【解答】
解：(1)∵ B1,1，C7,3，
∴ kBC=3−17−1=13.
∵ A2,4在BC边上的高上，
∴ BC边上的高的方程为y−4=−3x−2，即3x+y−10=0.
(2)∵ A2,4，B1,1，
∴ AB的中点坐标为32,52.
由(1)知kBC=13，
∴ 与BC平行的中位线所在直线的方程为y−52=13x−32，即x−3y+6=0.
【答案】
解：(1)由题知，A={x|x2−4x+3<0}
={x|(x−1)(x−3)<0}，
解得A={x|1当a=2时，B={x|2所以A∩B={x|2(2)因为B⊆A，且B≠⌀，
所以a≥1,2a−1≤3,2a−1>a,
解得1所以a的取值范围是1【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题知，A={x|x2−4x+3<0}
={x|(x−1)(x−3)<0}，
解得A={x|1当a=2时，B={x|2所以A∩B={x|2(2)因为B⊆A，且B≠⌀，
所以a≥1,2a−1≤3,2a−1>a,
解得1所以a的取值范围是1【答案】
证明：(1)∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE//BC .
∵ DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴ DE//平面PBC.
(2)连结PD.
∵ PA=PB，D为AB的中点，
∴ PD⊥AB.
由(1)得DE//BC.
∵ ∠ABC=90∘，
∴ DE⊥AB.
∵ PD∩DE=D，
∴ AB⊥平面PDE．
∵ PE⊂平面PDE，
∴ AB⊥PE.
【考点】
直线与平面平行的判定
两条直线垂直的判定
【解析】


【解答】
证明：(1)∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE//BC .
∵ DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴ DE//平面PBC.
(2)连结PD.
∵ PA=PB，D为AB的中点，
∴ PD⊥AB.
由(1)得DE//BC.
∵ ∠ABC=90∘，
∴ DE⊥AB.
∵ PD∩DE=D，
∴ AB⊥平面PDE．
∵ PE⊂平面PDE，
∴ AB⊥PE.
【答案】
(1)解：设x<0，则−x>0，
由x>0时，f(x)=x+3x−4可知，f(−x)=−x−3x−4，
又f(x)为奇函数，故f(x)=−f(−x)=x+3x+4(x<0)，
∴ 函数f(x)在R上的解析式为f(x)=x+3x+4,x<0,0,x=0,x+3x−4,x>0.
(2)证明：设3则f(x1)−f(x2)=x1+3x1−x2−3x2
=(x1−x2)+3(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−3x1x2).
∵ 3∴ x1−x2<0，1−3x1x2>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ 函数f(x)在区间(3,+∞)上是增函数．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数单调性的判断与证明
【解析】
利用奇函数的性质直接可以求得函数解析式，需要注意的是f(0)＝0；
利用单调性定义直接证明即可．
【解答】
(1)解：设x<0，则−x>0，
由x>0时，f(x)=x+3x−4可知，f(−x)=−x−3x−4，
又f(x)为奇函数，故f(x)=−f(−x)=x+3x+4(x<0)，
∴ 函数f(x)在R上的解析式为f(x)=x+3x+4,x<0,0,x=0,x+3x−4,x>0.
(2)证明：设3则f(x1)−f(x2)=x1+3x1−x2−3x2
=(x1−x2)+3(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−3x1x2).
∵ 3∴ x1−x2<0，1−3x1x2>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ 函数f(x)在区间(3,+∞)上是增函数．
【答案】
解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为：
x2+(y−4)2=4，
则此圆的圆心为(0, 4)，半径为2．
若直线l与圆C相切，
则有|4+2a|a2+1=2．
解得a=−34．
(2)∵ |AB|=22，r=2，
∴ 圆心(0,4)到l的距离为22−(2)2=2.
∴ 有|4+2a|a2+1=2，
16+16a+4a2=2a2+2，
得a=−1或a=−7，
∴ 直线l的方程为x−y+2=0或7x−y+14=0.
【考点】
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，
(1)当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
(2)联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】
解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为：
x2+(y−4)2=4，
则此圆的圆心为(0, 4)，半径为2．
若直线l与圆C相切，
则有|4+2a|a2+1=2．
解得a=−34．
(2)∵ |AB|=22，r=2，
∴ 圆心(0,4)到l的距离为22−(2)2=2.
∴ 有|4+2a|a2+1=2，
16+16a+4a2=2a2+2，
得a=−1或a=−7，
∴ 直线l的方程为x−y+2=0或7x−y+14=0.
【答案】
证明：(1)∵ △PBC为等边三角形，点O为BC的中点，
∴ PO⊥BC.
∵ 平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，
PO⊂平面PBC，
∴ PO⊥平面ABC.
∵ AC⊂平面ABC，
∴ AC⊥PO.
∵ AC⊥PB，PO∩PB=P，
∴ AC⊥平面PBC，
∵ AC⊂平面PAC，
∴ 平面PAC⊥平面PBC．
(2)取CO中点G，连结FG，EG，如图 ，
∵ E为PO的中点，
∴ EG//PC.
∵ EG⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ EG//平面PAC.
∵ BF=3AF，
∴ AF=14AB.
∵ O为BC的中点，G为OC的中点，
∴ CG=14CB，
∴ FG//AC.
∵ FG⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴ FG//平面PAC.
∵ EG∩FG=G，
∴ 平面EFG//平面PAC.
∵ EF⊂平面EFG，
∴ EF//平面PAC.
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】


【解答】
证明：(1)∵ △PBC为等边三角形，点O为BC的中点，
∴ PO⊥BC.
∵ 平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，
PO⊂平面PBC，
∴ PO⊥平面ABC.
∵ AC⊂平面ABC，
∴ AC⊥PO.
∵ AC⊥PB，PO∩PB=P，
∴ AC⊥平面PBC，
∵ AC⊂平面PAC，
∴ 平面PAC⊥平面PBC．
(2)取CO中点G，连结FG，EG，如图 ，
∵ E为PO的中点，
∴ EG//PC.
∵ EG⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ EG//平面PAC.
∵ BF=3AF，
∴ AF=14AB.
∵ O为BC的中点，G为OC的中点，
∴ CG=14CB，
∴ FG//AC.
∵ FG⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴ FG//平面PAC.
∵ EG∩FG=G，
∴ 平面EFG//平面PAC.
∵ EF⊂平面EFG，
∴ EF//平面PAC.