高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用导学案

9.2 正弦定理与余弦定理的应用

1.能将实际问题转化为解三角形问题．

2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．

3.能根据题意画出几何图形．

重点：用正、余弦定理等知识求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．

难点：实际问题转化为解三角形问题．

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．

(2)方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向．

(3)．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α．

方位角的取值范围：[0°，360°) ．

一、情境与问题

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形,例如如图9-2-1所示，故宫角楼的高度因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量。
 

     假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出脚楼的高度吗？如果能写出你的方案，并给出有关的计算方法，如果不能说明理由。

    如图中角楼的高度问题，可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？

      如图9-2-2所示，设线段AB表示不方便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量，用测量角度的仪器可以测量出的大小，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.

    如图9-2-3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出 .

然后，利用以及m即可求出AB的长，

首先，在△BCD中，因为，

所以由正弦定理可得

因此；

同理，从△ACD可得A；

最后,在△ABC 中，根据AC,BC，利用余弦定理就可以得出AB的长。

二、典例解析

例1.如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点.已知A，B，C，D,4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=，∠BCD=30°，∠CDA=，

∠BDA=15°，CD=100m，求AB的长.

例2．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.

1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　)

A．d1>d2　　B．d1<d2          C．d1>20 m  D．d2<20 m

2．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α<β)，则点A离地面的高度AB等于(　　)

A.       B.           C.       D.

3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)海里/小时.

A．8(＋)      B．8(－)       C．16(＋)         D．16(－)

4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.

5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处之间的距离；

(2)灯塔C与D处之间的距离.

6．如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．

1．测量距离问题包括两种情况

(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．

(2)测量两个不可到达点之间的距离．

第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．

图1　　　　　　图2

2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

参考答案：

学习过程

二、典例解析

例1.解：因为A，B，C，D，个点都在水平面上，

所以，

因此，

所以Rt△BCD中，.

在△ACD中，因为，

所以由正弦定理可知，，

因此AC=（）m.

在△ABC中，由余弦定理可知，

从而有AB=（）m.

例2．解：如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时.

在△AQP中，有=60°-30°=30°，且

，，

因此由正弦定理可得.

从而可解得，所以=60°或=120°.

当时，，因此，；

当=120°时，，因此，.

这就说明，城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）.

达标检测

1．【答案】B　[如图，设旗杆高为h，则d1＝，d2＝.

因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.]

2．【答案】A　[结合图形可知∠DAC＝β－α.

在△ACD中，由正弦定理得＝，

∴AC＝＝.

在Rt△ABC中，AB＝ACsin β＝.]

3．【答案】D　[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.

由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)，

因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]

4．【答案】200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，

则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.

故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.]

5．【答案】　由题意，画出示意图．

(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.

由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°

＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，

∴CD＝8(海里)．

即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为8海里．

6．

【答案】因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，

所以∠APB＝30°，所以AP＝40，

所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°＝402＋402－2×40×40×＝402×3，

所以BP＝40.又∠PBC＝90°，BC＝80，

所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，所以PC＝40海里．