人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用第1课时学案及答案

9.2正弦定理与余弦定理的应用（1）

【学习重点】

1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．

2.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.

3.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解决有关距离、高度、角度等实际问题.

【学习难点】

根据实际问题建立数学模型

复习回顾：

1.什么是解三角形，我们学了哪些相关的定理？

正弦定理：                                      

余弦定理：

2.关于解斜三角形，你掌握了哪几种类型？

（1）                             

（2）                             

（3）                             

（4）                             

问题1：测量相关术语

1．实际问题中的有关术语、名称

(1)仰角和俯角

测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做      

视线在水平线下方所成的角叫          

(2)方向角与方位角

①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做       角．目标方向线的方向一般用某偏某多少度来表示.

前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示:北偏东60°、北偏西75°、南偏西15°、南偏东40°.

②指北的方向线       时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．

(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角

如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．

坡度＝.

坡面与水平面的夹角α叫做       ．α为锐角．记坡度为i，坡角为α，水平距离为x，垂直距离为y，则它们的关系如下：i＝       ＝tan α.

问题2：高度问题

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形，例如，如图所示是故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.

假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法，如果不能，说明理由.

【变式练习】

在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方,在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高．

【解题方法】

解决测量高度问题时要注意的两个问题

(1)要清楚仰角与俯角的区别及联系．

(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．

问题2：距离问题

例2.如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D4点都在水平面上，而且已经测得

，求AB的长.

【变式练习】

如图所示，在河岸上可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40 m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离.

【解题方法】

正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点

(1)画示意图，弄清题目条件．

根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．

(2)选准入手点．

找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解．

问题3：几何类问题

例3.如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南方向，距城市A300km的海面点P处，并以的速度向西偏北方向移动。如果台风的影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为，将问题涉及范围内的地球表面看出平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响，如果会，求出受影响的时间，如果不会，说明理由.

【变式练习】

某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一 人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D 处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达A 城?

【解题方法】

几何类问题的证明与求解方法

(1)将平面图形合理地分解为若干三角形．

(2)注意直角三角形、等腰三角形、等边三角形中的角角、边边关系、三角形外角及内角关系以及三角形内角和定理．

(3)将问题归结到一个或几个三角形中，结合三角恒等变换,合理地运用正、余弦定理求解．