高中人教B版 (2019)11.4.1 直线与平面垂直第2课时导学案及答案

11.4.1 直线与平面垂直（2）

【学习重点】

直线与平面垂直的性质定理、线面角的定义、点到平面的距离、三垂线定理

【学习难点】

线面关系的互相转化

复习回顾：

1．直线与平面垂直的定义

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都          ，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)符号表示：                                                  

(3)图形表示：

2．判定定理

(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的          垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)图形语言：

(3)符号语言：                                                                 

(4)作用：证明直线与平面         

问题1：直线与平面垂直的性质定理

知识点1．性质定理1       

(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也          这个平面．

(2)图形语言：

(3)符号表示：                                                          

证明：

知识点2．性质定理2

(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线         

(2)图形语言：

(3)符号表示：                                                            

证明：

上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。

【对点快练】

1．思考辨析

(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　)

(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　)

(3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　)

(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　)

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)

A．B1B⊥l B．B1B∥l

C．B1B与l异面 D．B1B与l相交

例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：(1)MN∥AD1；

(2)M是AB的中点．

【变式训练】　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．

求证：EF∥BD1.

问题2：直线与平面所成角

引入：

斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.

(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?

(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?

(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?

知识点：直线与平面所成角

(1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，        是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称        是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为        .如图所示．

(2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，          称为直线AC与平面α所成的角．如图所示．

（3）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于          ;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于          .因此,直线与平面所成的角的范围是          

【对点快练】

1．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　)

A．∠PAD B．∠PDA

C．∠PDB D．∠PDC

2. 如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)

A.60° 　　　　　B.45°

C.30° 　　　　　D.120°

3.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　. 

问题3.点到平面的距离

利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.

另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.

例1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.

例2.如图所示三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。

【变式练习】

在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　. 

问题4：三垂线定理

例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证：

例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”

知识点：三垂线定理

(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．

(2)图形语言：

(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．

【对点快练】

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)

A．平行 B．垂直

C．相交 D．以上都有可能