高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.3 平面与平面平行第1课时学案设计

11.3.3 平面与平面平行(1)    

1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．

2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．

3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．

重点：掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．

难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用

1．两个平面的位置关系

思考：如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

[提示]　如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

2．平面与平面平行的判定定理与推论

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

3．平面与平面平行的性质定理

推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

试一试

1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 (　　)

A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．不确定

2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是(　　)

A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B

C．平面DD1C1C D．平面ABCD

3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行　　B．相交　　C．平行或相交　D．不能确定

4．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

一、    情境与问题

两个平面的位置关系

1.面面平行的判定定理

    如图所示，假设直线与直线都在平面内，且，将直线与直线同时平移出平面（记平移后的直线分别为），则,设确定的平面为 。判断平面与平面的位置关系，并说明理由

平面与平面平行的判定定理

证明：

1．三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与α平行吗？

2．如果平面α内有无数条直线与平面β平行，这两个平面平行吗？

例1.如图所示，已知三棱锥中，分别是的中点。

求证：面面

2：平面与平面平行判定定理的推论

(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

(2)符号表示：

如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l′⊂β，m′⊂β，l∥l′，m∥m′，则α∥β.

(3)图形表示：

（4）作用：证明平面与平面平行.

常见面面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理法：转化为线面平行．

(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行．

(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．即：⇒α∥β.

跟踪训练1. 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

3.平面与平面平行的性质定理

           当时， 与没有公共点，此时，,则,这就是说,

与的位置关系是异面与平行,那么情况下, 与与平行呢？

已知 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，求证：l∥m.

证明：

例2.如图所示，已知都是平面，且。两条直线分别于

平面相交于和点

求证： 

跟踪训练1. [思路探究]　面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．

　[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.]

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)没有公共点的两平面平行．  (　　)

(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． (　　)

(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行． (　　)

2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(　　)

A．若α与β相交，aα，bβ，则a与b一定相交

B．若aα，bβ，a∥b，则α∥β

C．a∥β，b∥β，aα，bα⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

3．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD.

求证：平面PAB∥平面EFG.

1．平面与平面平行的判定定理的理解

(1)平面α内两条相交直线l，m，即lα，mα，l∩m≠∅.

(2)两条相交直线l，m都与平面β平行，即l∥β，m∥β.这两个条件缺一不可．

2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

参考答案：

知识梳理

试一试

1．A　[由面面平行的性质定理可知选项A正确．]

2．A　[根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]

3． C　[如图所示，由图可知C正确．

]

4． ①②　[对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]

学习过程

证明：如图所示，假设与有公共点，且，

由且，可知，

又因为，所以

同理有

因此，这与与相交矛盾，所以

1． 提示　平行．三角板的两条边相交，符合判定定理．

2． 提示　不一定平行，若无数条直线都平行，那么这两个平面不一定平行；若无数条直线中存在两条相交直线，那么这两个平面就平行．

例1. 证明：在中，因为分别是的中点，所以

又知平面平面，因此平面

同理平面

又因为，所以由面面平行的判定定理可得

面面

跟踪训练1. [证明]　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

所以MQ∥AD，NQ∥BP.

又因为BP平面PBC，NQ平面PBC，

所以NQ∥平面PBC.

因为四边形ABCD为平行四边形．

所以BC∥AD，所以MQ∥BC.

又因为BC平面PBC，MQ平面PBC，

所以MQ∥平面PBC.

又因为MQ∩NQ＝Q，

所以平面MNQ∥平面PBC.

3.平面与平面平行的性质定理

已知 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，求证：l∥m.

证明：如图所示，因为，

所以与没有公共点

又因为，

所以

注意到且，

所以与共面且没有公共点，即

例2. 证明：连接设与平面相交于点G，则平面与平面分别相交于直线，

平面与平面分别相交于直线 

因为，因此

因此：

同理可得： 

注：结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

跟踪训练1.如图，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.

[思路探究]　面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．

　[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.]

达标检测

1．[解析]　(1)由平面与平面平行的定义知正确．

(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．

(3)两平面可能相交．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．D　[A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]

3． 平行　[由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.]

4．[证明]　因为PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，

又因为CD∥AB，

所以EF∥AB，又EF平面PAB，AB平面PAB，

所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.

又因为EF∩EG＝E，

所以平面PAB∥平面EFG.