人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件复习练习题，共3页。试卷主要包含了举例说明，判断下列命题的真假，设a，b，c∈R等内容，欢迎下载使用。

复习巩固
1．举例说明：
（1）p是q的充分不必要条件；
（2）p是q的必要不充分条件；
（3）p是q的充要条件．
2．在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）：
（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；
（2）p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0；
（3）p：a∈P∩Q，q：a∈P；
（4）p：a∈P∪Q，q：a∈P；
（5）p：x＞y，q：x2＞y2．
3．判断下列命题的真假：
（1）点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件；
（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（3）A∪B＝A是BA的必要不充分条件；
（4）x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件．
综合运用
4．已知A＝｛x｜x满足条件p｝，B＝｛x｜x满足条件q｝，
（1）如果AB，那么p是q的什么条件？
（2）如果BA，那么p是q的什么条件？
（3）如果A＝B，那么p是q的什么条件？
5．设a，b，c∈R．证明：a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件是a＝b＝c．
拓广探索
6．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c．我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）．反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）．由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2．
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明．
答案
1．（1）p：x＝1，q：x2＝1． （2）p：x2＝1，q：x＝1．
（3）p：四边形的四个内角相等，q：四边形为矩形．
2．（1）必要不充分条件． （2）充要条件． （3）充分不必要条件．
（4）必要不充分条件． （5）既不充分又不必要条件．
3．（1）真命题． （2）假命题． （3）假命题． （4）真命题．
4．（1）充分条件． （2）必要条件． （3）充要条件．
5．证明：充分性．如果a＝b＝c，则ab＋ac＋bc＝aa＋cc＋bb＝a2＋b2＋c2．
必要性．如果a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，从而2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，即（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2＝0．于是，a－b＝a－c＝b－c＝0，从而a＝b＝c．
6．（1）△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2＞c2．
证明：充分性．若a2＋b2＞c2，则△ABC不是直角三角形．如果△ABC为钝角三角形，则∠C＞90°．过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D（图（1））．由勾股定理知，
c2＝BD2＋（b＋CD）2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b
＝a2＋b2＋2·CD·b＞a2＋b2，
矛盾，故△ABC为锐角三角形．
必要性．过点A作边BC的垂线，垂足为D（图（2））．由勾股定理知，
c2＝AD2＋BD2＝AD2＋（a－CD）2＝b2－CD2＋（a－CD）2
＝a2＋b2－2·CD·a＜a2＋b2．
（2）△ABC为钝角三角形的充要条件为a2＋b2＜c2．可类似（1）的证法证明．