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2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）牛年到啦，祝同学们新年快乐哦！从数学角度看，以下哪张图是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．＝1 B．＝ C． D．
3．（4分）整式的乘法计算正确的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2+3
B．（x+y）2＝x2+y2
C．6x2•x3＝3x6
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2
4．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．7，8，9 D．5a，12a，13a（a＞0）
5．（4分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
6．（4分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
8．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，BN＝m，AN＝n（ ）
A．+n B．m+ C． D．
10．（4分）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，按此规律，则第⑩个图中小三角形的个数是（ ）
A．82 B．86 C．90 D．94
11．（4分）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，连接MB，MC，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，则BM＝CM；②当t＝2时△MNC＝S△EBM；③若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上
13．（4分）计算：+（）0﹣（）﹣2＝ ．
14．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
15．（4分）比较大小：（1）2 3，（2） ．
16．（4分）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简的结果是 ．
17．（4分）点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB＝45°，则当△PMN的周长的最小时∠MPN＝ ，△PMN的周长最小值为 ．
18．（4分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，PD＝，∠APB＝135° ．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，且DE＝DC，∠EAB＝∠BDE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
20．（10分）分式化简：
（1）；
（2）．
21．（10分）计算：
（1）；
（2）﹣（）×+（+1）2．
22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
23．（10分）已知x＝，y＝．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值；
（2）求代数式﹣xy的值．
24．（10分）夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．
（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完
（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，结果第二周的总销售量额为30000元，求a的值．
25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，取BC的中点F，连接OF并延长交AC的垂线于点G．
（1）若BC＝8，求△ABC的面积；
（2）求证：CG+2BD＝BC．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，作DE的中垂线交AB于点F，交CD于点G，连接EG．
（1）直接写出线段EG、EC、AF的数量关系，不需证明；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，DE的中垂线与AB相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点E在BC的延长线上时，DE的中垂线与AB的延长线相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明．
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）牛年到啦，祝同学们新年快乐哦！从数学角度看，以下哪张图是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：A．
2．（4分）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．＝1 B．＝ C． D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、﹣＝8﹣；
B、+＝2+；
C、×＝2；
D、÷＝，故此选项错误；
故选：C．
3．（4分）整式的乘法计算正确的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2+3
B．（x+y）2＝x2+y2
C．6x2•x3＝3x6
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2
【分析】根据平方差公式、完全平方公式计、同底数幂相乘法则计算判断即可．
【解答】解：A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故A错误；
B．（x+y）2＝x5+y2+2xy，故B错误；
C.5x2•x3＝3x2，故C错误；
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2，故D正确．
故选：D．
4．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．7，8，9 D．5a，12a，13a（a＞0）
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+82≠48，
∴以2，3，2为边不能组成直角三角形；
B．∵42+52≠63，
∴以4，5，4为边不能组成直角三角形；
C．∵72+72≠94，
∴以7，8，4为边不能组成直角三角形；
D．∵（5a）2+（12a）5＝（13a）2，
∴以5a，12a，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
B、∵AC＝DF，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
C、∵AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠C＝∠DFE＝90°，符合题意；
故选：D．
6．（4分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】先利用二次根式的混合运算计算结果，再估算结果．
【解答】解：×+
＝+
＝+
＝2．
∵3＜2＜4，
∴×+的运算结果应在3和4之间．
故选：C．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠B＝∠D，然后求出∠B，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可求出∠A．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
8．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形；
②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形；
③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形；
④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形；
故选：B．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，BN＝m，AN＝n（ ）
A．+n B．m+ C． D．
【分析】首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△NAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵N为CD中点，
∴CN＝DN＝CD＝，
∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DNA，∠D＝3∠CNB，
∴∠DNA+∠CNB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°
即△NAB为直角三角形，
∵BN＝m，AN＝n，
∴CD＝AB＝＝．
故选：D．
10．（4分）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，按此规律，则第⑩个图中小三角形的个数是（ ）
A．82 B．86 C．90 D．94
【分析】本题的图形规律可以两部分来看，
（1）观察最下面一行变化规律列出代数式；
（2）观察剩余上面部分的规律并列出代数式；
综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果．
【解答】解：图①中三角形的个数为5＝2×3+1+2；
图②中三角形的个数为10＝4×2+1+4+3；
图③中三角形的个数为16＝2×6+1+2+6+4；
图④中三角形的个数为23＝2×5+1+2+3+4+5；
图⑤中三角形的个数为31＝8×5+1+5+3+4+2+6；
.....．
图⑩中三角形的个数为：
2×10+4+2+3+8+5+6+3+8+9+10+11＝86．
故选：B．
11．（4分）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【分析】先解出不等式组，根据不等式组有解求出a的范围；再求出方程的解，分式方程注意要检验增根；最后根据分式方程有整数解求出a的值，进而求出所有整数a的和．
【解答】解：
解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x＞a，
∵这个不等式组有解，
∴a＜3．
＝﹣2，
ay﹣5﹣3＝﹣2（7﹣y），
ay﹣4＝﹣8+4y，
（a﹣2）y＝﹣4，
y＝．
∵避免出现增根，
∴4﹣y≠3，
∴y≠4，
∴≠4，
∴2﹣a≠2．
又∵要使y为整数，
∴2﹣a只能取±4，±6，
∵a＜4，
∴a只能等于﹣2，5，3，
∴﹣2+2+3＝1．
故选：B．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，连接MB，MC，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，则BM＝CM；②当t＝2时△MNC＝S△EBM；③若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
【分析】由“ASA”可证△DME≌△BNE，可得DM＝BN，ME＝NE，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC，
∵点E是BD的中点，
∴DE＝BE，
在△DME和△BNE中，
，
∴△DME≌△BNE（ASA），
∴DM＝BN，ME＝NE，
∵t＝1，
∴AM＝DM＝AD，
∴BN＝BC＝CN，
∴只有当MN⊥BC时，CM＝BM，
∴①错误，
当t＝8时，则DM＝2AM，
∴BN＝2CN，
∴S△BMN＝8S△MNC，
∵ME＝EN，
∴S△BEM＝S△BMN，
∴S△BEM＝S△MNC，
故②正确，
若△ABM≌△NMC，则BM＝MC，
∴MN⊥BD不一定成立，故③错误，
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上
13．（4分）计算：+（）0﹣（）﹣2＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣7
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：1+2x≥2，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
15．（4分）比较大小：（1）2 ＜ 3，（2） ＞ ．
【分析】（1）比较这两个正数的大小，我们可以比较它们的平方；
（2）左边这个式子分子、分母都乘以+，这个式子的值不变，右边这个式子分子、分母都乘以+，这个式子的值也不变，但是发现它们的分子都是1，通过比较分母的大小就可以比较出大小，然后根据两个分子相同的分数比较大小，分母大的反而小来比较大小．
【解答】解：（1）∵（2）2＝22×（）2＝5×11＝44，
（3）7＝32×（）2＝9×5＝45，
44＜45，
∴2＜3；
（2）﹣＝，
﹣＝，
∵+＜+，
∴＞，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＜，＞．
16．（4分）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简的结果是 ﹣3a+b﹣c ．
【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，
∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c
＝﹣3a+b﹣c，
故答案为：﹣3a+b﹣c．
17．（4分）点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB＝45°，则当△PMN的周长的最小时∠MPN＝ 90° ，△PMN的周长最小值为 6 ．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D，OD，N是CD与OA，△PMN的周长最短．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP＝2∠AOP，OC＝OP，
同理，∠DOP＝2∠BOP
∴∠COD＝∠COP+∠DOP＝7（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，OC＝OD．
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∵∠OPM＝∠OCM＝45°，∠OPN＝∠ODN＝45°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝90°，
则CD＝OC＝＝6．
故答案为：90°，3．
18．（4分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，PD＝，∠APB＝135° 13 ．
【分析】将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，由旋转的性质可求PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，可求PH的长，在Rt△DPH中，由勾股定理可求DH的长，在Rt△ADE中，由勾股定理可求AD2，即可求解．
【解答】解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，
∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，
∴PB＝DH，AP＝AH＝1，
∴PH＝AP＝，
∴∠PHD＝90°，
∴DH＝＝＝2，
∵∠AHD＝135°，
∴∠AHE＝45°，
∵AE⊥DH，
∴∠AHE＝∠HAE＝45°，
∴AE＝EH，AH＝，
∴AE＝EH＝，
∴DE＝，
∵AD6＝AE2+DE2＝13，
∴正方形的面积为13，
故答案为：13．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，且DE＝DC，∠EAB＝∠BDE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△ADC，可得∠C＝∠E，由等腰三角形的判定可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）如图，
∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠C＝∠E，
∵∠EAB＝∠BDE，∠AOE＝∠BOD，
∴∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠E＝65°．
20．（10分）分式化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝+
＝
＝．
21．（10分）计算：
（1）；
（2）﹣（）×+（+1）2．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4×÷5
＝3÷5
＝；
（2）原式＝﹣﹣2+1
＝2．
22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；
A1，B1，C5三点的坐标分别为：（3，﹣4），﹣5），﹣1）；
（2）△A1B4C1的面积＝3×6﹣2×2﹣8×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
23．（10分）已知x＝，y＝．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值；
（2）求代数式﹣xy的值．
【分析】（1）先将原式化为2x2+4xy+2y2﹣5xy，然后求出x+y与xy的值，最后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2x2+4xy+2y2﹣2xy
＝2（x+y）2﹣6xy，
当x＝，y＝时，
∴x+y＝2﹣+2+，
xy＝＝1，
∴原式＝2×42﹣5×3
＝2×16﹣5
＝27．
（2）x＝＝6﹣，
原式＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣1
＝+1﹣1
＝．
24．（10分）夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．
（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完
（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，结果第二周的总销售量额为30000元，求a的值．
【分析】（1）设小王销售B款的价格为每件x元，则A款的价格为每件（2x﹣10）元，由题意得等量关系：A款的总售价+B款的总售价＝25000+5000，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）A款的原售价×（1+a%）×原销量×（1﹣a%）+B款的原售价×（1﹣a%）×销量＝总销售量额30000元，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设小王销售B款的价格为每件x元，由题意得：
250×（2x﹣10）+150x＝25000+5000，
解得：x＝50，
答：小王销售B款的价格为每件50元；
（2）由题意得：90（1+a%）×250（1﹣a%）+50（6﹣a%）×150＝30000，
令a%＝m，整理得：5m2﹣m＝8，
解得：m1＝20%，m2＝2（舍去），
∴a＝20，
答：a的值为20．
25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，取BC的中点F，连接OF并延长交AC的垂线于点G．
（1）若BC＝8，求△ABC的面积；
（2）求证：CG+2BD＝BC．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答即可；
（2）连接OB，利用三角形内角和得出∠GCF＝45°，进而利用ASA证明△OBF与△GCF全等，最后利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵BC＝AC，∠ACB＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC•sin45°＝4，
∴；
（2）连接OB，
∵BC＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝67.5°，
∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠OBD＝67.5°﹣22.8°＝45°，
∵GC⊥AC，∠ACD＝45°，
∴∠GCF＝45°，
在△OBF与△GCF中，
，
∴△OBF≌△GCF（ASA），
∵BC＝8，CD＝4，
∴BD＝8﹣4，OB＝CG＝，
∴CG+2BD＝（7+）BD＝（2+）＝4×（2﹣2）＝8＝BC，
∴CG+7BD＝BC．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，作DE的中垂线交AB于点F，交CD于点G，连接EG．
（1）直接写出线段EG、EC、AF的数量关系，不需证明；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，DE的中垂线与AB相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点E在BC的延长线上时，DE的中垂线与AB的延长线相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图1中，结论：EG＝AF+EC．证明四边形ADTF是矩形，△TFG≌△CDE（ASA），可得结论．
（2）如图2中，猜想：EG＝EC+AF．证明方法类似（1）．
（3）如图3中，猜想：EG＝AF﹣EC．证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）如图1中，结论：EG＝AF+EC．
理由：过点F作FT⊥CD于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠FGT+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT+TG＝AF+EC．
（2）如图2中，猜想：EG＝EC+AF．
理由：过点F作FT⊥CD于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠FGT+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT+TG＝AF+EC．
（3）如图8中，猜想：EG＝AF﹣EC．
理由：过点F作FT⊥CD交DC的延长线于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠PDG+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT﹣TG＝AF﹣EC．
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）牛年到啦，祝同学们新年快乐哦！从数学角度看，以下哪张图是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．＝1 B．＝ C． D．
3．（4分）整式的乘法计算正确的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2+3
B．（x+y）2＝x2+y2
C．6x2•x3＝3x6
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2
4．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．7，8，9 D．5a，12a，13a（a＞0）
5．（4分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
6．（4分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
8．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，BN＝m，AN＝n（ ）
A．+n B．m+ C． D．
10．（4分）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，按此规律，则第⑩个图中小三角形的个数是（ ）
A．82 B．86 C．90 D．94
11．（4分）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，连接MB，MC，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，则BM＝CM；②当t＝2时△MNC＝S△EBM；③若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上
13．（4分）计算：+（）0﹣（）﹣2＝ ．
14．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
15．（4分）比较大小：（1）2 3，（2） ．
16．（4分）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简的结果是 ．
17．（4分）点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB＝45°，则当△PMN的周长的最小时∠MPN＝ ，△PMN的周长最小值为 ．
18．（4分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，PD＝，∠APB＝135° ．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，且DE＝DC，∠EAB＝∠BDE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
20．（10分）分式化简：
（1）；
（2）．
21．（10分）计算：
（1）；
（2）﹣（）×+（+1）2．
22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
23．（10分）已知x＝，y＝．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值；
（2）求代数式﹣xy的值．
24．（10分）夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．
（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完
（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，结果第二周的总销售量额为30000元，求a的值．
25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，取BC的中点F，连接OF并延长交AC的垂线于点G．
（1）若BC＝8，求△ABC的面积；
（2）求证：CG+2BD＝BC．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，作DE的中垂线交AB于点F，交CD于点G，连接EG．
（1）直接写出线段EG、EC、AF的数量关系，不需证明；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，DE的中垂线与AB相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点E在BC的延长线上时，DE的中垂线与AB的延长线相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明．
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）牛年到啦，祝同学们新年快乐哦！从数学角度看，以下哪张图是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：A．
2．（4分）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．＝1 B．＝ C． D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、﹣＝8﹣；
B、+＝2+；
C、×＝2；
D、÷＝，故此选项错误；
故选：C．
3．（4分）整式的乘法计算正确的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2+3
B．（x+y）2＝x2+y2
C．6x2•x3＝3x6
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2
【分析】根据平方差公式、完全平方公式计、同底数幂相乘法则计算判断即可．
【解答】解：A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故A错误；
B．（x+y）2＝x5+y2+2xy，故B错误；
C.5x2•x3＝3x2，故C错误；
D．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣xy﹣y2，故D正确．
故选：D．
4．（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．7，8，9 D．5a，12a，13a（a＞0）
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+82≠48，
∴以2，3，2为边不能组成直角三角形；
B．∵42+52≠63，
∴以4，5，4为边不能组成直角三角形；
C．∵72+72≠94，
∴以7，8，4为边不能组成直角三角形；
D．∵（5a）2+（12a）5＝（13a）2，
∴以5a，12a，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
B、∵AC＝DF，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
C、∵AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠C＝∠DFE＝90°，符合题意；
故选：D．
6．（4分）估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】先利用二次根式的混合运算计算结果，再估算结果．
【解答】解：×+
＝+
＝+
＝2．
∵3＜2＜4，
∴×+的运算结果应在3和4之间．
故选：C．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠B＝∠D，然后求出∠B，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可求出∠A．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
8．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形；
②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形；
③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形；
④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形；
故选：B．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，BN＝m，AN＝n（ ）
A．+n B．m+ C． D．
【分析】首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△NAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵N为CD中点，
∴CN＝DN＝CD＝，
∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DNA，∠D＝3∠CNB，
∴∠DNA+∠CNB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°
即△NAB为直角三角形，
∵BN＝m，AN＝n，
∴CD＝AB＝＝．
故选：D．
10．（4分）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，按此规律，则第⑩个图中小三角形的个数是（ ）
A．82 B．86 C．90 D．94
【分析】本题的图形规律可以两部分来看，
（1）观察最下面一行变化规律列出代数式；
（2）观察剩余上面部分的规律并列出代数式；
综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果．
【解答】解：图①中三角形的个数为5＝2×3+1+2；
图②中三角形的个数为10＝4×2+1+4+3；
图③中三角形的个数为16＝2×6+1+2+6+4；
图④中三角形的个数为23＝2×5+1+2+3+4+5；
图⑤中三角形的个数为31＝8×5+1+5+3+4+2+6；
.....．
图⑩中三角形的个数为：
2×10+4+2+3+8+5+6+3+8+9+10+11＝86．
故选：B．
11．（4分）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【分析】先解出不等式组，根据不等式组有解求出a的范围；再求出方程的解，分式方程注意要检验增根；最后根据分式方程有整数解求出a的值，进而求出所有整数a的和．
【解答】解：
解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x＞a，
∵这个不等式组有解，
∴a＜3．
＝﹣2，
ay﹣5﹣3＝﹣2（7﹣y），
ay﹣4＝﹣8+4y，
（a﹣2）y＝﹣4，
y＝．
∵避免出现增根，
∴4﹣y≠3，
∴y≠4，
∴≠4，
∴2﹣a≠2．
又∵要使y为整数，
∴2﹣a只能取±4，±6，
∵a＜4，
∴a只能等于﹣2，5，3，
∴﹣2+2+3＝1．
故选：B．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，连接MB，MC，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，则BM＝CM；②当t＝2时△MNC＝S△EBM；③若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
【分析】由“ASA”可证△DME≌△BNE，可得DM＝BN，ME＝NE，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC，
∵点E是BD的中点，
∴DE＝BE，
在△DME和△BNE中，
，
∴△DME≌△BNE（ASA），
∴DM＝BN，ME＝NE，
∵t＝1，
∴AM＝DM＝AD，
∴BN＝BC＝CN，
∴只有当MN⊥BC时，CM＝BM，
∴①错误，
当t＝8时，则DM＝2AM，
∴BN＝2CN，
∴S△BMN＝8S△MNC，
∵ME＝EN，
∴S△BEM＝S△BMN，
∴S△BEM＝S△MNC，
故②正确，
若△ABM≌△NMC，则BM＝MC，
∴MN⊥BD不一定成立，故③错误，
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上
13．（4分）计算：+（）0﹣（）﹣2＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣7
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：1+2x≥2，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
15．（4分）比较大小：（1）2 ＜ 3，（2） ＞ ．
【分析】（1）比较这两个正数的大小，我们可以比较它们的平方；
（2）左边这个式子分子、分母都乘以+，这个式子的值不变，右边这个式子分子、分母都乘以+，这个式子的值也不变，但是发现它们的分子都是1，通过比较分母的大小就可以比较出大小，然后根据两个分子相同的分数比较大小，分母大的反而小来比较大小．
【解答】解：（1）∵（2）2＝22×（）2＝5×11＝44，
（3）7＝32×（）2＝9×5＝45，
44＜45，
∴2＜3；
（2）﹣＝，
﹣＝，
∵+＜+，
∴＞，
∴﹣＞﹣．
故答案为：＜，＞．
16．（4分）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简的结果是 ﹣3a+b﹣c ．
【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，
∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c
＝﹣3a+b﹣c，
故答案为：﹣3a+b﹣c．
17．（4分）点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB＝45°，则当△PMN的周长的最小时∠MPN＝ 90° ，△PMN的周长最小值为 6 ．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D，OD，N是CD与OA，△PMN的周长最短．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP＝2∠AOP，OC＝OP，
同理，∠DOP＝2∠BOP
∴∠COD＝∠COP+∠DOP＝7（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，OC＝OD．
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∵∠OPM＝∠OCM＝45°，∠OPN＝∠ODN＝45°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝90°，
则CD＝OC＝＝6．
故答案为：90°，3．
18．（4分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，PD＝，∠APB＝135° 13 ．
【分析】将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，由旋转的性质可求PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，可求PH的长，在Rt△DPH中，由勾股定理可求DH的长，在Rt△ADE中，由勾股定理可求AD2，即可求解．
【解答】解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，
∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，
∴PB＝DH，AP＝AH＝1，
∴PH＝AP＝，
∴∠PHD＝90°，
∴DH＝＝＝2，
∵∠AHD＝135°，
∴∠AHE＝45°，
∵AE⊥DH，
∴∠AHE＝∠HAE＝45°，
∴AE＝EH，AH＝，
∴AE＝EH＝，
∴DE＝，
∵AD6＝AE2+DE2＝13，
∴正方形的面积为13，
故答案为：13．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.
19．（10分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，且DE＝DC，∠EAB＝∠BDE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△ADC，可得∠C＝∠E，由等腰三角形的判定可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）如图，
∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠C＝∠E，
∵∠EAB＝∠BDE，∠AOE＝∠BOD，
∴∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠E＝65°．
20．（10分）分式化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝+
＝
＝．
21．（10分）计算：
（1）；
（2）﹣（）×+（+1）2．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4×÷5
＝3÷5
＝；
（2）原式＝﹣﹣2+1
＝2．
22．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；
A1，B1，C5三点的坐标分别为：（3，﹣4），﹣5），﹣1）；
（2）△A1B4C1的面积＝3×6﹣2×2﹣8×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
23．（10分）已知x＝，y＝．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值；
（2）求代数式﹣xy的值．
【分析】（1）先将原式化为2x2+4xy+2y2﹣5xy，然后求出x+y与xy的值，最后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2x2+4xy+2y2﹣2xy
＝2（x+y）2﹣6xy，
当x＝，y＝时，
∴x+y＝2﹣+2+，
xy＝＝1，
∴原式＝2×42﹣5×3
＝2×16﹣5
＝27．
（2）x＝＝6﹣，
原式＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣xy
＝﹣1
＝+1﹣1
＝．
24．（10分）夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．
（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完
（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，结果第二周的总销售量额为30000元，求a的值．
【分析】（1）设小王销售B款的价格为每件x元，则A款的价格为每件（2x﹣10）元，由题意得等量关系：A款的总售价+B款的总售价＝25000+5000，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）A款的原售价×（1+a%）×原销量×（1﹣a%）+B款的原售价×（1﹣a%）×销量＝总销售量额30000元，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设小王销售B款的价格为每件x元，由题意得：
250×（2x﹣10）+150x＝25000+5000，
解得：x＝50，
答：小王销售B款的价格为每件50元；
（2）由题意得：90（1+a%）×250（1﹣a%）+50（6﹣a%）×150＝30000，
令a%＝m，整理得：5m2﹣m＝8，
解得：m1＝20%，m2＝2（舍去），
∴a＝20，
答：a的值为20．
25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，取BC的中点F，连接OF并延长交AC的垂线于点G．
（1）若BC＝8，求△ABC的面积；
（2）求证：CG+2BD＝BC．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答即可；
（2）连接OB，利用三角形内角和得出∠GCF＝45°，进而利用ASA证明△OBF与△GCF全等，最后利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵BC＝AC，∠ACB＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC•sin45°＝4，
∴；
（2）连接OB，
∵BC＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝67.5°，
∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠OBD＝67.5°﹣22.8°＝45°，
∵GC⊥AC，∠ACD＝45°，
∴∠GCF＝45°，
在△OBF与△GCF中，
，
∴△OBF≌△GCF（ASA），
∵BC＝8，CD＝4，
∴BD＝8﹣4，OB＝CG＝，
∴CG+2BD＝（7+）BD＝（2+）＝4×（2﹣2）＝8＝BC，
∴CG+7BD＝BC．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤
26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，作DE的中垂线交AB于点F，交CD于点G，连接EG．
（1）直接写出线段EG、EC、AF的数量关系，不需证明；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，DE的中垂线与AB相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点E在BC的延长线上时，DE的中垂线与AB的延长线相交于点F，猜想此时EG、EC、AF的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图1中，结论：EG＝AF+EC．证明四边形ADTF是矩形，△TFG≌△CDE（ASA），可得结论．
（2）如图2中，猜想：EG＝EC+AF．证明方法类似（1）．
（3）如图3中，猜想：EG＝AF﹣EC．证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）如图1中，结论：EG＝AF+EC．
理由：过点F作FT⊥CD于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠FGT+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT+TG＝AF+EC．
（2）如图2中，猜想：EG＝EC+AF．
理由：过点F作FT⊥CD于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠FGT+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT+TG＝AF+EC．
（3）如图8中，猜想：EG＝AF﹣EC．
理由：过点F作FT⊥CD交DC的延长线于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ADT＝∠FTD＝90°，
∴四边形ADTF是矩形，
∴AD＝FT＝DC，AF＝DT，
∵FG⊥DE，
∴∠DPG＝∠FTG＝∠C＝90°，
∴∠TFG+∠FGT＝90°，∠PDG+∠EDC＝90°，
∴∠TFG＝∠CDE，
∴△TFG≌△CDE（ASA），
∴EC＝TG，
∵FG垂直平分线段DE，
∴GD＝GE，
∴EG＝DT﹣TG＝AF﹣EC．
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