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2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷 解析版
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2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
3．（4分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣
4．（4分）在实数3.14，，1.，，，，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．30000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．500名初中生是样本容量
D．每名初中生的体重是个体
7．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ．
A．9是81的算术平方根，即；
B．a2的平方根是；
C．1的立方根是±1；
D．与数轴上的点一一对应的是实数．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为 ．
12．（4分）已知2x＝3，2y＝5，则22x+y﹣1＝ ．
13．（4分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ．
14．（4分）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为 ．
三、解答题（共40分）
16．（16分）计算
（1）82014×（﹣0.125）2015；
（2）；
（3）；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）．
17．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2]÷y；其中|x﹣|+（y+2）2＝0．
18．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A类表示“0次”B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”，E类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4分）若的小数部分为a，则a（a+4）＝ ．
21．（4分）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ （结果可用幂的形式表示）．
22．（4分）在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是 ．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
24．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DP，则∠A的度数为 ．
二、解答题（共3小题，每小题10分）
25．（10分）暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、1、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
26．（10分）如果三个正整数a，b，c满足：a2+b2＝c2，那么我们称这一组数为勾股数．
例如：32+42＝52，则3、4、5是一组勾股数，42+52≠62，则4、5、6不是一组勾股数．
（1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝，b＝mn，c＝（m，n为正整数，m＞n）时，a，b，c，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．
27．（10分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3，求△ABC中AB边上的高．
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：A．
3．（4分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣
【分析】根据＝|a|，×＝（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；
B、+＝+2＝3，故原题计算错误；
C、＝＝4，故原题计算正确；
D、2和不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
4．（4分）在实数3.14，，1.，，，，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数．
【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
＝3，是整数，属于有理数；
1.是循环小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，共3个．
故选：C．
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
【分析】前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，速度×时间＝路程．
甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；
求出两图象的交点坐标，3秒时两速度大小相等，3s前甲的图象在乙的下方，所以3秒前路程不相等；
图象在上方的，说明速度大．
【解答】解：A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4＝48米，故A正确；
B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加＝4米秒/，故B正确；
C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间），将v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，则t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C错误；
D、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D正确；
由于该题选择错误的，
故选：C．
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．30000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．500名初中生是样本容量
D．每名初中生的体重是个体
【分析】根据①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．
【解答】解：A、30000名初中生是总体，说法错误，应为30000名初中生的体重是总体，故此选项错误；
B、500名初中生是总体的一个样本，说法错误，应为500名初中生的体重是总体的一个样本，故此选项错误；
C、500名初中生是样本容量，说法错误，应为500是样本容量，故此选项错误；
D、每名初中生的体重是个体，说法正确，故此选项正确；
故选：D．
7．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
8．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD和△ADC的周长的差，
＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD），
＝AB﹣AC，
＝5﹣3，
＝2，
故选：C．
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
故选：A．
10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ABC ．
A．9是81的算术平方根，即；
B．a2的平方根是；
C．1的立方根是±1；
D．与数轴上的点一一对应的是实数．
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及数轴的特点，分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、9是81的算术1的立方根是平方根，即＝9；
B、a2的平方根是±a；
C、1的立方根是1；
D、与数轴上的点一一对应的数是实数；
写成式子不正确的是ABC；
故答案为：ABC．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为 4×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000004＝4×10﹣8．
故答案为：4×10﹣8．
12．（4分）已知2x＝3，2y＝5，则22x+y﹣1＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：22x+y﹣1＝22x×2y÷2
＝（2x）2×2y÷2
＝9×5÷2
＝，
故答案为：．
13．（4分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ±12 ．
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±12，
故答案为：±12
14．（4分）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为 ．
【分析】先确定线段MN的长在线段AB的长度中所占的比例，根据此比例即可解答．
【解答】解：AB间距离为10，MN的长为2，故以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为＝．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为 70° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝25°，
∴∠DAC＝25°，
∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，
故答案为：70°．
三、解答题（共40分）
16．（16分）计算
（1）82014×（﹣0.125）2015；
（2）；
（3）；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）．
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（3）直接分母有理化，再利用零指数幂的性质化简得出答案；
（4）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）82014×（﹣0.125）2015
＝﹣（8×0.125）2014×0.125
＝﹣0.125；
（2）
＝3+﹣2
＝﹣2；
（3）
＝﹣1
＝﹣﹣1；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）
＝3x2•16y6÷（﹣6xy）
＝48x2y6÷（﹣6xy）
＝﹣8xy5．
17．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2]÷y；其中|x﹣|+（y+2）2＝0．
【分析】直接利用乘法公式化简再合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2）÷y
＝4xy÷y
＝4x，
∵|x﹣|+（y+2）2＝0，
∴x＝，y＝﹣2，
当x＝时，
原式＝4×＝2．
18．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A类表示“0次”B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”，E类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 20 ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【分析】（1）先利用B类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出D类人数所占的百分比即可得到a的值；
（2）先计算出C类人数，再补全条形统计图，然后用D类人数所占百分比乘以360°得到扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）利用E类人数除以总人数得到恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝＝20%，即a＝20；
故答案为20；
（2）C类人数为50﹣8﹣12﹣10﹣4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝＝＝．
一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4分）若的小数部分为a，则a（a+4）＝ 2 ．
【分析】先根据2＜＜3得出的整数部分为2，从而知其小数部分a＝﹣2，代入计算可得．
【解答】解：∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为﹣2，即a＝﹣2，
则a（a+4）
＝（﹣2）（+2）
＝（）2﹣22
＝6﹣4
＝2，
故答案为：2．
21．（4分）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 （结果可用幂的形式表示）．
【分析】先添加因式（2﹣1），然后连续多次运用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1），
＝（28﹣1）（28+1），
＝216﹣1．
22．（4分）在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是 20 ．
【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
【解答】解：当点P在BC上时，y＝S△ABP＝AB•BP，
∵AB是定值，
∴点P从点B到C的过程中，y逐渐增加，增加到点P到点C时，增加到最大，
从图（2）知，x＝4时增加到最大，
∴BC＝4，
当点P在CD上时，y＝S△ABP＝AB•BC，
∵BC，AB是定值，所以y始终保持不变，
从（2）知，x从4到9时，y保持不变，
∴CD＝9﹣4＝5，
所以矩形ABCD的面积为：4×5＝20．
故答案为：20
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
【分析】在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴根据对称知，EF＝EF′，
∵，
∴，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为．
24．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DP，则∠A的度数为 36° ．
【分析】由题意可得点P是△ABC的内心，连接AP，则AP平分∠BAC，设∠A＝2x，分别表示出∠PBC，∠PCD，在△APD中利用三角形的内角和为180°，可得出x的值，继而得出答案．
【解答】解：连接AP，
∵P为其底角平分线的交点，
∴点P是△ABC的内心，
∴AP平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
设∠A＝2x，则∠DAP＝x，∠PBC＝∠PCB＝45°﹣x，
∵DA＝DP，
∴∠DAP＝∠DPA，
由折叠的性质可得：∠PDC＝∠PBC＝45°﹣x，
则∠ADP＝180°﹣∠PDC＝135°+x，
在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP＝180°，即x+x+135°+x＝180°，
解得：x＝18，
则∠A＝2x＝36°．
故答案为：36°．
二、解答题（共3小题，每小题10分）
25．（10分）暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、1、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是 1000 米， 乙 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
【分析】（1）根据函数图象，可以得到这次比赛的全程和哪个队先到达终点；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙与甲相遇时乙的速度；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米．
【解答】解：（1）由图象可得，
这次比赛的全程是1000米，乙队先到达终点，
故答案为：1000，乙；
（2）由图可知，
乙与甲相遇时乙的速度为：（1000﹣400）÷（3.8﹣2.2）＝600÷1.6＝375（米/分钟），
即乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟；
（3）在乙队与甲相遇之前，设他们a时相距100米，
当0＜t≤2.2时，乙的速度为：400÷2.2＝（米/分钟），甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），
（250﹣）a＝100，
解得，a＝，
当2.2＜t＜x时，乙的速度为：375米/分钟，甲的速度为250米/分钟，
250a﹣400﹣375（a﹣2.2）＝100，
解得，a＝，
由上可得，在乙队与甲相遇之前，他们时或时相距100米．
26．（10分）如果三个正整数a，b，c满足：a2+b2＝c2，那么我们称这一组数为勾股数．
例如：32+42＝52，则3、4、5是一组勾股数，42+52≠62，则4、5、6不是一组勾股数．
（1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝，b＝mn，c＝（m，n为正整数，m＞n）时，a，b，c，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．
【分析】（1）分别计算出a2+b2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，于是得到a2+b2＝c2，即可得到结论；
（2）讨论：①当x＝37时，利用（m2﹣52）＝37计算出m，然后分别计算出y和z；②当y＝37时，利用5m＝37，解得m＝，不合题意舍去；③当z＝37时，利用37＝（m2+n2）求出m＝±7，从而得到当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．
【解答】解：（1）∵a2+b2＝（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
c2＝（2n2+2n+1）2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴a2+b2＝c2，
∵n为正整数，
∴a、b、c是一组勾股数；
（2）解：∵a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且c为直角边，
∵n＝5，
∴a＝（m2﹣52），b＝5m，c＝（m2+25），
∵直角三角形的一边长为37，
∴分三种情况讨论，
①当a＝37时，（m2﹣52）＝37，
解得m＝±3（不合题意，舍去）
②当b＝37时，5m＝37，
解得m＝（不合题意舍去）；
③当c＝37时，37＝（m2+n2），
解得m＝±7，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，
∴m＝7，
把m＝7代入①②得，a＝12，b＝35．
综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．
27．（10分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3，求△ABC中AB边上的高．
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
【分析】（1）先由AM＝BM＝ABcos45°＝3，MC＝2可得BC＝5，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠E．
【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝ABcos45°＝3，
∵MC＝2，
∴BC＝5，
∴AC＝，
∴△ABC中AB边上的高＝；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，
因此BD＝CE，
，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
故BG＝CE，∠G＝∠E，
所以BD＝CE＝BG，
因此∠BDG＝∠G＝∠E．
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
3．（4分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣
4．（4分）在实数3.14，，1.，，，，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．30000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．500名初中生是样本容量
D．每名初中生的体重是个体
7．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ．
A．9是81的算术平方根，即；
B．a2的平方根是；
C．1的立方根是±1；
D．与数轴上的点一一对应的是实数．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为 ．
12．（4分）已知2x＝3，2y＝5，则22x+y﹣1＝ ．
13．（4分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ．
14．（4分）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为 ．
三、解答题（共40分）
16．（16分）计算
（1）82014×（﹣0.125）2015；
（2）；
（3）；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）．
17．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2]÷y；其中|x﹣|+（y+2）2＝0．
18．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A类表示“0次”B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”，E类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4分）若的小数部分为a，则a（a+4）＝ ．
21．（4分）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ （结果可用幂的形式表示）．
22．（4分）在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是 ．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
24．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DP，则∠A的度数为 ．
二、解答题（共3小题，每小题10分）
25．（10分）暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、1、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
26．（10分）如果三个正整数a，b，c满足：a2+b2＝c2，那么我们称这一组数为勾股数．
例如：32+42＝52，则3、4、5是一组勾股数，42+52≠62，则4、5、6不是一组勾股数．
（1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝，b＝mn，c＝（m，n为正整数，m＞n）时，a，b，c，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．
27．（10分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3，求△ABC中AB边上的高．
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
2020-2021学年重庆八中八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分共40分）
1．（4分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：A．
3．（4分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣
【分析】根据＝|a|，×＝（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；
B、+＝+2＝3，故原题计算错误；
C、＝＝4，故原题计算正确；
D、2和不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
4．（4分）在实数3.14，，1.，，，，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数．
【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
＝3，是整数，属于有理数；
1.是循环小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，共3个．
故选：C．
5．（4分）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
【分析】前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，速度×时间＝路程．
甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；
求出两图象的交点坐标，3秒时两速度大小相等，3s前甲的图象在乙的下方，所以3秒前路程不相等；
图象在上方的，说明速度大．
【解答】解：A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4＝48米，故A正确；
B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加＝4米秒/，故B正确；
C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间），将v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，则t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C错误；
D、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D正确；
由于该题选择错误的，
故选：C．
6．（4分）某地教育系统为了解本地区30000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．30000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．500名初中生是样本容量
D．每名初中生的体重是个体
【分析】根据①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．
【解答】解：A、30000名初中生是总体，说法错误，应为30000名初中生的体重是总体，故此选项错误；
B、500名初中生是总体的一个样本，说法错误，应为500名初中生的体重是总体的一个样本，故此选项错误；
C、500名初中生是样本容量，说法错误，应为500是样本容量，故此选项错误；
D、每名初中生的体重是个体，说法正确，故此选项正确；
故选：D．
7．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
8．（4分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD和△ADC的周长的差，
＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD），
＝AB﹣AC，
＝5﹣3，
＝2，
故选：C．
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
故选：A．
10．（4分）下列语句及写成式子不正确的是 ABC ．
A．9是81的算术平方根，即；
B．a2的平方根是；
C．1的立方根是±1；
D．与数轴上的点一一对应的是实数．
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及数轴的特点，分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、9是81的算术1的立方根是平方根，即＝9；
B、a2的平方根是±a；
C、1的立方根是1；
D、与数轴上的点一一对应的数是实数；
写成式子不正确的是ABC；
故答案为：ABC．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为 4×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000004＝4×10﹣8．
故答案为：4×10﹣8．
12．（4分）已知2x＝3，2y＝5，则22x+y﹣1＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：22x+y﹣1＝22x×2y÷2
＝（2x）2×2y÷2
＝9×5÷2
＝，
故答案为：．
13．（4分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ±12 ．
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±12，
故答案为：±12
14．（4分）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为 ．
【分析】先确定线段MN的长在线段AB的长度中所占的比例，根据此比例即可解答．
【解答】解：AB间距离为10，MN的长为2，故以随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段MN上的概率为＝．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为 70° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝25°，
∴∠DAC＝25°，
∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，
故答案为：70°．
三、解答题（共40分）
16．（16分）计算
（1）82014×（﹣0.125）2015；
（2）；
（3）；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）．
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（3）直接分母有理化，再利用零指数幂的性质化简得出答案；
（4）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）82014×（﹣0.125）2015
＝﹣（8×0.125）2014×0.125
＝﹣0.125；
（2）
＝3+﹣2
＝﹣2；
（3）
＝﹣1
＝﹣﹣1；
（4）3x2•（4y3）2÷（﹣6xy）
＝3x2•16y6÷（﹣6xy）
＝48x2y6÷（﹣6xy）
＝﹣8xy5．
17．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2]÷y；其中|x﹣|+（y+2）2＝0．
【分析】直接利用乘法公式化简再合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2）÷y
＝4xy÷y
＝4x，
∵|x﹣|+（y+2）2＝0，
∴x＝，y＝﹣2，
当x＝时，
原式＝4×＝2．
18．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
19．（8分）2018年3月16日，重庆大学图书馆与重庆市第一中学校签署了战略合作协议，重庆大学图书馆对我校师生免费开放．5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A类表示“0次”B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”，E类表示“4次及以上“．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 20 ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【分析】（1）先利用B类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出D类人数所占的百分比即可得到a的值；
（2）先计算出C类人数，再补全条形统计图，然后用D类人数所占百分比乘以360°得到扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）利用E类人数除以总人数得到恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝＝20%，即a＝20；
故答案为20；
（2）C类人数为50﹣8﹣12﹣10﹣4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝＝＝．
一、填空题（共5小题，每小题4分）
20．（4分）若的小数部分为a，则a（a+4）＝ 2 ．
【分析】先根据2＜＜3得出的整数部分为2，从而知其小数部分a＝﹣2，代入计算可得．
【解答】解：∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为﹣2，即a＝﹣2，
则a（a+4）
＝（﹣2）（+2）
＝（）2﹣22
＝6﹣4
＝2，
故答案为：2．
21．（4分）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 （结果可用幂的形式表示）．
【分析】先添加因式（2﹣1），然后连续多次运用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1），
＝（28﹣1）（28+1），
＝216﹣1．
22．（4分）在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是 20 ．
【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
【解答】解：当点P在BC上时，y＝S△ABP＝AB•BP，
∵AB是定值，
∴点P从点B到C的过程中，y逐渐增加，增加到点P到点C时，增加到最大，
从图（2）知，x＝4时增加到最大，
∴BC＝4，
当点P在CD上时，y＝S△ABP＝AB•BC，
∵BC，AB是定值，所以y始终保持不变，
从（2）知，x从4到9时，y保持不变，
∴CD＝9﹣4＝5，
所以矩形ABCD的面积为：4×5＝20．
故答案为：20
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
【分析】在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴根据对称知，EF＝EF′，
∵，
∴，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为．
24．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DP，则∠A的度数为 36° ．
【分析】由题意可得点P是△ABC的内心，连接AP，则AP平分∠BAC，设∠A＝2x，分别表示出∠PBC，∠PCD，在△APD中利用三角形的内角和为180°，可得出x的值，继而得出答案．
【解答】解：连接AP，
∵P为其底角平分线的交点，
∴点P是△ABC的内心，
∴AP平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
设∠A＝2x，则∠DAP＝x，∠PBC＝∠PCB＝45°﹣x，
∵DA＝DP，
∴∠DAP＝∠DPA，
由折叠的性质可得：∠PDC＝∠PBC＝45°﹣x，
则∠ADP＝180°﹣∠PDC＝135°+x，
在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP＝180°，即x+x+135°+x＝180°，
解得：x＝18，
则∠A＝2x＝36°．
故答案为：36°．
二、解答题（共3小题，每小题10分）
25．（10分）暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、1、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是 1000 米， 乙 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
【分析】（1）根据函数图象，可以得到这次比赛的全程和哪个队先到达终点；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙与甲相遇时乙的速度；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米．
【解答】解：（1）由图象可得，
这次比赛的全程是1000米，乙队先到达终点，
故答案为：1000，乙；
（2）由图可知，
乙与甲相遇时乙的速度为：（1000﹣400）÷（3.8﹣2.2）＝600÷1.6＝375（米/分钟），
即乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟；
（3）在乙队与甲相遇之前，设他们a时相距100米，
当0＜t≤2.2时，乙的速度为：400÷2.2＝（米/分钟），甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），
（250﹣）a＝100，
解得，a＝，
当2.2＜t＜x时，乙的速度为：375米/分钟，甲的速度为250米/分钟，
250a﹣400﹣375（a﹣2.2）＝100，
解得，a＝，
由上可得，在乙队与甲相遇之前，他们时或时相距100米．
26．（10分）如果三个正整数a，b，c满足：a2+b2＝c2，那么我们称这一组数为勾股数．
例如：32+42＝52，则3、4、5是一组勾股数，42+52≠62，则4、5、6不是一组勾股数．
（1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝，b＝mn，c＝（m，n为正整数，m＞n）时，a，b，c，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．
【分析】（1）分别计算出a2+b2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，于是得到a2+b2＝c2，即可得到结论；
（2）讨论：①当x＝37时，利用（m2﹣52）＝37计算出m，然后分别计算出y和z；②当y＝37时，利用5m＝37，解得m＝，不合题意舍去；③当z＝37时，利用37＝（m2+n2）求出m＝±7，从而得到当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．
【解答】解：（1）∵a2+b2＝（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
c2＝（2n2+2n+1）2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴a2+b2＝c2，
∵n为正整数，
∴a、b、c是一组勾股数；
（2）解：∵a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且c为直角边，
∵n＝5，
∴a＝（m2﹣52），b＝5m，c＝（m2+25），
∵直角三角形的一边长为37，
∴分三种情况讨论，
①当a＝37时，（m2﹣52）＝37，
解得m＝±3（不合题意，舍去）
②当b＝37时，5m＝37，
解得m＝（不合题意舍去）；
③当c＝37时，37＝（m2+n2），
解得m＝±7，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，
∴m＝7，
把m＝7代入①②得，a＝12，b＝35．
综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．
27．（10分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AM＝3，MC＝2，AB＝3，求△ABC中AB边上的高．
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
【分析】（1）先由AM＝BM＝ABcos45°＝3，MC＝2可得BC＝5，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠E．
【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝ABcos45°＝3，
∵MC＝2，
∴BC＝5，
∴AC＝，
∴△ABC中AB边上的高＝；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，
因此BD＝CE，
，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
故BG＝CE，∠G＝∠E，
所以BD＝CE＝BG，
因此∠BDG＝∠G＝∠E．
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