2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期末数学试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右倒正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列各数中，最小的数是　　
A． B． C．2 D．0
2．（4分）下列图形不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）2020年12月4日，中国量子计算原型机“九章”问世，当求解5000万个样本的高斯玻璃取样时，“九章”只需要200秒．其中数据5000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．（4分）估计的值应在　　
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（4分）如图，与△位似，点为位似中心．已知，的面积为3，则△的面积为　　

A．6 B．9 C．12 D．27
6．（4分）把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，，按此规律排列下去，第⑧个图形中小圆圈的个数是　　
A．53 B．52 C．45 D．44
7．（4分）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（4分）下列命题是真命题的是　　
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
9．（4分）如图，在某商场下有三层地下车库，车库底点右侧水平距离80米处的点有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离米，在坡顶点处测得商场楼顶点的仰角为，已知商场高120米，若把近似看成与地面垂直，且、、、、在同一平面内，则地下车库的高度约为　　（参考数据：，，

A．11.8米 B．16.5米 C．17.2米 D．17.5米
10．（4分）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．4 B．5 C．11 D．12
11．（4分）如图，在中，点是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点，连接．若，，，则点到的距离为　　

A． B． C． D．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与坐标原点重合，连接，过点作，交轴负半轴于点，连接，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为15，则的值是　　

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
13．（4分）计算：　　．
14．（4分）一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别标有“，，0，1，4，5”这六个数，若将第一次投掷骰子正面向上的数记为，第二次投掷骰子正面向上的数记为，则点在第四象限的概率为 　　．
15．（4分）如图，在平行四边形中，，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，则图中阴影部分面积为　　（结果保留．

16．（4分）已知抛物线的对称轴是直线．其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是　　（填写序号）．

17．（4分）一天，中午放学后，双福育才中学九年级1班的小明和小亮一起从1班前往相距1班60米的高中部食堂就餐，他们同时出发，同向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小明不慎将饭卡落在地班、高中部食堂、地点在同一直线上且饭卡落在地后不再移动），第6秒时小明才发现并迅速掉头以原速去捡饭卡，捡饭卡时用了1秒，捡到饭卡后，小明将速度提升到小亮速度的两倍迅速往高中部食堂匀速跑去，小明掉头的时间忽略不计．如图是两人之间的距离（米与小明出发的时间（秒之间的函数图象，则当小明到达高中部食堂时，小亮离高中部食还有 　　米．

18．（4分）如图，是等边三角形，分别过点，作，，与交于点，且，作的中垂线，点为直线上任一点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，点是线段的中点，连接，则的最大值为　　．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
19．（10分）已知：在中，，交于，平分交于，过点作交于．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

20．（10分）随着寒冬的来临，“新冠”疫情再次肆虐，育才中学为让学生了解“新冠病毒”传染情况，增强学生的防护意识，开展了“远离新冠珍爱生命”的防“新冠”安全知识测试活动，现从学校八、九年级中各随机抽取15名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级15名学生的测试成绩是：8，7，9，9，5，9，9，8，9，9，5，8，8，9，8．
八、九年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
八年级
8

8

九年级
8
9


九年级15名学生的测试成绩条形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的，，的值；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握防“新冠”安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）育才中学八年级、九年级各1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动获得成绩优秀的学生人数是多少？

21．（10分）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此12，20，28这三个数都是“连续合数”．
材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中，，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”．
（1）请判断84是否是“连续合数”，并证明任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；
（2）已知三位数（其中、、为整数，且，满足既是“连续合数”又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值．
22．（10分）参照探究函数的过程与方法，探究函数的图象和性质．小明经历了列表取值、描点、连线等过程：




























（1）选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；

（2）结合函数图象，写出它的一条性质；
（3）若该函数图象与直线有3个交点，请直接写出的取值范围．
23．（10分）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了、两种地砖，其中50套公寓全用种地砖铺满，另外50套公寓全用种地砖铺满，种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，种地砖是每块面积为0.16平方米的正方形，且种地砖每块的进价比种地砖每块的进价高40元，购进，两种地砖共花费350000元（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）．
（1）求、两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满种地砖的公寓套数增加了，铺满种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加，种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但种地砖每块进价保持不变，最后购进、两种地砖的总花费比原计划增加了，求的值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点左侧），且点的坐标为，，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过作，交抛物线于点，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值；
（3）将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为，连接，将线段沿轴平移得到线段为的对应点，为的对应点），直线与轴交于点，点为原抛物线对称轴上一点，连接，，△能否成为以为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

四、解答题：（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．（8分）为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且．
（1）如图1，若，，连接，为的中点，连接，求线段的长；
（2）如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接、，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，请直接用含的式子表示的长．


2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右倒正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列各数中，最小的数是　　
A． B． C．2 D．0
【解答】解：如图所示，
，
所以最下的数是．
故选：．
2．（4分）下列图形不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
3．（4分）2020年12月4日，中国量子计算原型机“九章”问世，当求解5000万个样本的高斯玻璃取样时，“九章”只需要200秒．其中数据5000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
4．（4分）估计的值应在　　
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解：，
，
在4和5之间，
故选：．
5．（4分）如图，与△位似，点为位似中心．已知，的面积为3，则△的面积为　　

A．6 B．9 C．12 D．27
【解答】解：与△位似，
△，，
△，
，
，
的面积为3，
△的面积为，
故选：．
6．（4分）把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，，按此规律排列下去，第⑧个图形中小圆圈的个数是　　
A．53 B．52 C．45 D．44
【解答】解：第①个图形中一共有个小圆圈，
第②个图形中一共有个小圆圈，
第③个图形中一共有个小圆圈，
，
按此规律排列下去，第⑧个图形中小圆圈的个数是，
故选：．
7．（4分）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，如图，

为切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
8．（4分）下列命题是真命题的是　　
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【解答】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：．
9．（4分）如图，在某商场下有三层地下车库，车库底点右侧水平距离80米处的点有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离米，在坡顶点处测得商场楼顶点的仰角为，已知商场高120米，若把近似看成与地面垂直，且、、、、在同一平面内，则地下车库的高度约为　　（参考数据：，，

A．11.8米 B．16.5米 C．17.2米 D．17.5米
【解答】解：如图，过点作，垂足为，作交的延长线于点，
得矩形,

,,
由题意得，，米，米，米，
在中，
山坡的坡度，
,
设米，则米，由勾股定理可得米，
，
解得，
（米，（米，
（米，
设米，则米，
米，
在中，

,
解得,
的高度约为17.5米．
故选：．
10．（4分）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．4 B．5 C．11 D．12
【解答】解：关于的一元一次不等式组的解集为，
．
．
关于的分式方程的解为，
又关于的分式方程的解为非负数，
．
．
由于分式方程有可能产生增根，
，
．
综上，的取值范围为：且．
为整数，
或或3或5．
所有满足条件的整数的值之和为：．
故选：．
11．（4分）如图，在中，点是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点，连接．若，，，则点到的距离为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，延长交于点，作于点，如图所示，
由折叠的性质可得：，，
则为的中垂线，
故，
为中点，
，，，
，，
，
即，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
．
故选：．

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与坐标原点重合，连接，过点作，交轴负半轴于点，连接，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为15，则的值是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点作于，过点作于．
，
是的中位线，
，．
，在上，
．
，
，
，即．
．
四边形是菱形，
．
，
．
．
．
图象经过第二象限，
．

故选：．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
13．（4分）计算：　　．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
14．（4分）一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别标有“，，0，1，4，5”这六个数，若将第一次投掷骰子正面向上的数记为，第二次投掷骰子正面向上的数记为，则点在第四象限的概率为 　　．
【解答】解：列表得：
第一次
第二次


0
1
4
5














0






1






4






5






共有36种等可能的结果，其中点在第四象限的有6种，
点在第四象限的概率为．
故答案为：．
15．（4分）如图，在平行四边形中，，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，则图中阴影部分面积为　　（结果保留．

【解答】解：连接，，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
为的中点，
，
，
．
故答案为．
16．（4分）已知抛物线的对称轴是直线．其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是　①③④　（填写序号）．

【解答】解：由抛物线开口向下可知：，
抛物线与轴交点在正半轴可得：，
而抛物线对称轴是直线，
，即，
，
，①正确；
抛物线与轴有两个交点，
△，即，
，故②不正确；
抛物线的对称轴是直线，与轴一个交点是，
关于直线的对称点即是抛物线与轴的另一个交点，
将代入得：，
而，
，故③正确；
抛物线与轴两个交点为和，
由图象可知：当时，函数图象在轴上方，
当时，，故④正确；
故答案为：①③④．
17．（4分）一天，中午放学后，双福育才中学九年级1班的小明和小亮一起从1班前往相距1班60米的高中部食堂就餐，他们同时出发，同向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小明不慎将饭卡落在地班、高中部食堂、地点在同一直线上且饭卡落在地后不再移动），第6秒时小明才发现并迅速掉头以原速去捡饭卡，捡饭卡时用了1秒，捡到饭卡后，小明将速度提升到小亮速度的两倍迅速往高中部食堂匀速跑去，小明掉头的时间忽略不计．如图是两人之间的距离（米与小明出发的时间（秒之间的函数图象，则当小明到达高中部食堂时，小亮离高中部食还有 　12　米．

【解答】解：如图：

由题意可得第6秒时，两人之间的距离为12米，
第8秒时，两人之间的距离为8米，且捡饭卡时用了1秒，
设小明的速度为米秒，小亮的速度为米秒，
可得，
解得，
小明的速度为8米秒，小亮的速度为6米秒，
小明到达食堂用时秒，
此时小亮距离食堂米，
故答案为：12．
18．（4分）如图，是等边三角形，分别过点，作，，与交于点，且，作的中垂线，点为直线上任一点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，点是线段的中点，连接，则的最大值为　　．

【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，

与关于对称，
是的垂直平分线，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
中，，
，
是的中点，是等边三角形，
，，，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
点在以为圆心，半径为的圆上移动，
，
当且仅当、、三点共线时，的最大值是，
的最大值是．
故答案为：．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
19．（10分）已知：在中，，交于，平分交于，过点作交于．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【解答】解：（1）平分，
，
在和中，
，
，
．

（2），
，
，
，
，
，
，
．
20．（10分）随着寒冬的来临，“新冠”疫情再次肆虐，育才中学为让学生了解“新冠病毒”传染情况，增强学生的防护意识，开展了“远离新冠珍爱生命”的防“新冠”安全知识测试活动，现从学校八、九年级中各随机抽取15名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级15名学生的测试成绩是：8，7，9，9，5，9，9，8，9，9，5，8，8，9，8．
八、九年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
八年级
8

8

九年级
8
9


九年级15名学生的测试成绩条形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的，，的值；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握防“新冠”安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）育才中学八年级、九年级各1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动获得成绩优秀的学生人数是多少？

【解答】解：（1）由题意可得，
，，，
即，，的值分别为9，8，；
（2）八年级学生掌握防“新冠”安全知识更好，
理由：八年级的优秀率好于九年级，故八年级学生掌握防“新冠”安全知识更好；
（3）由题意可得，


（人，
答：估计参加此次测试活动获得成绩优秀的学生人有2240人．
21．（10分）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此12，20，28这三个数都是“连续合数”．
材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中，，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”．
（1）请判断84是否是“连续合数”，并证明任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；
（2）已知三位数（其中、、为整数，且，满足既是“连续合数”又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值．
【解答】解：（1），
是“连续合数”；
设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为和为整数），
“连续合数”为，
为整数，
为奇数，
即任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；

（2）三位数是“行知数”，
，
三位数为
由（1）知，任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍，
是4的奇数倍，
，，，
，
或16或20或24或28或32或36或40或44或48或52，
，
或20或24或32或40或44或52，
或或或或或或，
或或或或或或，
所有符合条件的三位数为132或220或572．
22．（10分）参照探究函数的过程与方法，探究函数的图象和性质．小明经历了列表取值、描点、连线等过程：




























（1）选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中描点、画出函数图象；

（2）结合函数图象，写出它的一条性质；
（3）若该函数图象与直线有3个交点，请直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）列表：






0
1
2
3
4
5
6








4
3
2
1
0
1

描点、连线，画出图象如图，

（2）观察图象，当时，随的增大而减小；
（3）由图象可知，该函数图象与直线有3个交点，的取值范围是．
23．（10分）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了、两种地砖，其中50套公寓全用种地砖铺满，另外50套公寓全用种地砖铺满，种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，种地砖是每块面积为0.16平方米的正方形，且种地砖每块的进价比种地砖每块的进价高40元，购进，两种地砖共花费350000元（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）．
（1）求、两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满种地砖的公寓套数增加了，铺满种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加，种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但种地砖每块进价保持不变，最后购进、两种地砖的总花费比原计划增加了，求的值．
【解答】解：（1）每套公寓需要铺种地砖的数量为（块，
每套公寓需要铺种地砖的数量为（块．
设种地砖每块的进价为元，则种地砖每块的进价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：种地砖每块的进价为60元，种地砖每块的进价为20元．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为50．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点左侧），且点的坐标为，，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过作，交抛物线于点，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值；
（3）将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为，连接，将线段沿轴平移得到线段为的对应点，为的对应点），直线与轴交于点，点为原抛物线对称轴上一点，连接，，△能否成为以为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）直线的解析式为，
令，则，
，，
将，，，代入，
得，
，
；
（2）如图1，过点作轴的垂线交直线于点，

中令，则，
，
，
，，，，
，
，
，
设，，
，
，
当时，有最大值，
，
的最大值为；
（3）存在点，使△成为以为直角边的等腰直角三角形；理由如下：
，
函数的顶点坐标为，，
向左平移个单位长度，
平移后的顶点，
，，
，，
，
，
点为原抛物线对称轴上一点，
点的横坐标为，
分四种情况讨论：
①如图2，当，点在轴正半轴时，

过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
△，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，；
②如图3，当，点在轴正半轴时，

过点作轴的垂线，过点、分别作轴的垂线，分别与交于点、，
，
，
，
，
，
△，
，，
，
，
，
，
，
，
，；
③如图4，当，点在轴上方时，

过点作轴的垂线，过点、作轴的垂线，分别交于点、，
同理，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
④如图5，当，点在轴下方时，

过点作轴，交于点，
同理，，
，，
，
，
，
，
，
，
，；
综上所述：△成为以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为，或，或，或，．
四、解答题：（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．（8分）为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且．
（1）如图1，若，，连接，为的中点，连接，求线段的长；
（2）如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接、，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，请直接用含的式子表示的长．

【解答】解：（1）三角形是等边三角形，，
，，
，
过点作垂直于点，
，
，
，，
，，，
，
，
，
为的中点，
；
（2）取的中点，取的中点，连接、、、，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）由（2）可知，，
，
，
，
，
作且，连接、，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
．



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日期：2021/12/16 17:09:41；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122