人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试单元测试同步测试题

这是一份人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试单元测试同步测试题，共18页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 已知非零向量a→，b→的夹角为θ，且满足2a→+b→⊥b→，|a→|csθ=−2，则a→⋅b→=( )
A.−4B.−6C.−7D.−8

2. 已知向量a→=1,−2，b→=m,4，且a→//b→，那么a→−2b→等于( )
A.−5,10B.5,−10C.4,−8D.−4,8

3. 平面向量a→=(1, x)，b→=(−2, 3)，若a→ // b→，则实数x的值为( )
A.−6B.23C.−32D.0

4. 已知点O为△ABC所在平面内一点，OA→2=OB→2=OC→2，若AB→+AC→=2AO→，且|AC→|=|AO→|，则AB→与BC→的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

5. 设向量a→=(4, 2)，b→=(1, −1)，则(2a→−b→)⋅b→等于( )
A.2B.−2C.−12D.12

6. 已知|a→|=1，b→=(0, 2)，且a→⋅b→=1，则向量a→与b→夹角的大小为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2

7. 已知两个力F1＝(4, 2)，F2＝(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（ ）
A.(−2, −5)B.(2, 5)C.(−5, −2)D.(5, 2)

8. 已知向量a→=3,1，b→=2k−1,k，且a→+b→//a→，则k的值是( )
A.−1B.37C.−35D.35

9. 已知△ABC的一内角A=π3，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|=|OB|=|OC|，设AO→=mAB→+nAC→，则m+n的最大值为( )
A.23B.1C.43D.2

10. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB→+AD→=λAO→，则实数λ等于（ ）
A.4B.3C.2D.1

11. 已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD=8，∠ADC=120∘，若AM→=λAD→(0≤λ≤1)，则|MA→+MB→|的最小值为（ ）
A.4B.42C.43D.8

12. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，P是△ABC内部不同的两点，且满足AD→=14(AB→+AC→)，AP→=AD→+18BC→，则△ADP的面积为( )
A.34B.33C.32D.3
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 已知向量|a→|=2，|b→|=1，且a→与b→的夹角为45∘，则a→在b→方向上的投影为________．

14. 设向量a→=(2, 3)，向量b→=(6, t)，若a→与b→夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．

15. 已知向量 a→=(4m+2,6)，b→=(2,m) ,若向量a→，b→反向，则实数m的值为_________.

16. 已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f(λ)=|AP→−λAB→|(λ∈R)的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为43，则线段AB的长度为________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ， ）

17. 已知点Am,2，B1,1，C2,4．
(1)若|CA→+CB→|最小，求实数m的值；

(2)若CA→与CB→夹角的余弦值为55，求实数m的值．

18. 化简：
（1）AB→+BC→+CA→

(2)(AB→+MB→)+BO→+OM→

（3）OA→+OC→+BO→+CO→

（4）AB→−AC→+BD→−CD→

（5）OA→−OD→+AD→

（6）AB→−AD→−DC→

（7）NQ→+QP→+MN→−MP→．

19. 如图，扇形OAB的圆心角为90∘，OA=2，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点．

(1)若∠BON=30∘，试用向量OA→,OB→表示向量ON→；

(2)求MB→⋅ON→的取值范围．

20. 已知a→=(csα, sinα)，b→=(csβ, sinβ)，0<β<α<π．
(1)若|a→−b→|=2，求证：a→⊥b→；

(2)设c→=(0, 1)，若a→+b→=c→，求α，β的值．

21. 已知向量a→=3csθ,sinθ，θ∈−π2,π2，向量b→=3,−13．
(1)若a→//b→，求θ的值；

(2)若θ=π6，求a→，b→夹角的余弦值．
参考答案与试题解析
2021年人教A版必修4数学第2章 平面向量单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
命题意图本题主要考查向量的模，数量积的运算．
【解答】
解：∵ 2a→+b→⊥b→，
∴ 2a→+b→⋅b→=0，
即2a→⋅b→+|b→|2=0，
即2|a→|csθ×|b→|+|b→|2=0，
解得|b→|=4，
∴ a→⋅b→=−8.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得(−2)m=1×4=4，解可得m的值，即可得b的坐标，结合向量的坐标计算公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→=1,−2，b→=m,4，
若a→//b→，则有−2m=4，解可得m=−2，
则b→=−2,4，
则a→−2b→=5,−10．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．
【解答】
解：平面向量a→=(1, x)，b→=(−2, 3)，且a→ // b→，
由两个向量共线的性质得1×3−(−2)x=0，
解得x=−32.
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由题意可得O为△ABC的外心，也是BC的中点，∠A=π2，设AC=1，则BC=2，由此求得∠B的值，可得AB→与BC→的夹角的值．
【解答】
解：∵ 点O为△ABC所在平面内一点，OA→2=OB→2=OC→2，
∴ O为△ABC的外心；
如图所示：
若AB→+AC→=2AO→，则O也是BC的中点，
∴ △ABC为直角三角形，∠A=π2；
∵ |AC→|=|AO→|，设AC=1，则BC=2，
∴ AB=BC2−AC2=3，
∴ AB→与BC→的夹角为π−∠B=π−π6=5π6.
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
先计算2a→−b→的坐标，再计算(2a→−b→)⋅b→．
【解答】
解：依题易得2a→−b→=(7, 5)，
所以(2a→−b→)⋅b→=7−5=2．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积
【解析】
利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】
解：∵ |a→|=1，b→=(0, 2)，且a→⋅b→=1，
∴ cs=|a→||b→|˙=11×0+22=12．
∴ 向量a→与b→夹角的大小为π3．
故选：C．
7.
【答案】
A
【考点】
向量的三角形法则
【解析】
由题意即可得出F3→=−(F1→+F2→)，代入F1→,F2→的坐标即可得出力F3→的坐标．
【解答】
根据题意知，F3→=−(F1→+F2→)=−(2,5)=(−2,−5)．
8.
【答案】
A
【考点】
平行向量的性质
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据题意，求出a→+b→，再由(a→+ b→) // a→，求出k的值．
【解答】
解：∵ a→=3,1，b→=2k−1,k，
∴ a→+b→=2k+2,k+1，
又a→+b→//a→，则2k+2−3k+1=0，
解得k=−1.
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
向量的共线定理
向量的加法及其几何意义
向量的几何表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，点O为△ABC外接圆的圆心，延长AO交BC与点D，
设AO→=λAD→，即AD→=1λAO→，
则AD=mλAB→+nλAC→，
∵ B, D, C三点共线，
∴ mλ+nλ=1，即m+n=λ.
当AB=AC时，点O既是外心，也是重心，此时m+n取得最大值，m+n=23.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：∵ 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴ AB→+AD→=AC→=2AO→，
∵ AB→+AD→=λAO→，
∴ λ=2．
故选：C．
11.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
向量的加法及其几何意义
【解析】
本题考查共线向量的基本定理、向量加法的坐标形式．
【解答】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(8,0)，D(2,23)，AM→=λAD→(0≤λ≤1)，
因为AD→=(2,23)，
则M(2λ,23λ)，
故MA→=(−2λ,−23λ)，MB→=(8−2λ,−23λ)，
则MA→+MB→=(8−4λ,−43λ)，
则|MA→+MB→|=(8−4λ)2+(−43λ)2
=8λ−122+34≥43．
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量坐标表示的应用
【解析】
以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B，C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得AD→，AP→，利用△APD的面积公式即可得出．
【解答】
解：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵ 等边三角形△的边长为4，
∴ B(−2, −23)，C(2, −23)，
由题知：AD→=14(AB→+AC→)
=14[(−2, −23)+(2, −23)]
=(0, −3)，
AP→=AD→+18BC→
=(0, −3)+18(4, 0)
=(12, −3)，
∴ △ADP的面积为：
S=12|AD→|⋅|DP→|
=12×3×12
=34.
故选A.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
2
【考点】
向量的投影
【解析】
根据b→在a→方向上的投影为|b→|⋅cs，运算求得结果．
【解答】
解：根据a→在b→方向上的投影为|a→|⋅cs=2×cs45∘=2.
故答案为：2．
14.
【答案】
(−∞, −4)
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由题意可得a→⋅b→<0，且a→、b→不共线，即2×6+3t<062≠t3 ，由此求得实数t的取值范围．
【解答】
若a→与b→夹角为钝角，向量a→=(2, 3)，向量b→=(6, t)，
则a→⋅b→<0，且a→、b→不共线，∴ 2×6+3t<062≠t3 ，求得t<−4，
15.
【答案】
−2
【考点】
向量的共线定理
相等向量与相反向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为向量a→，b→反向，设a→=λb→，
所以4m+2=2λ，6=λm，
解得λ=−3，m=−2.
故答案为：−2.
16.
【答案】
423
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
设λAB→=AC→，则f(λ)=|AP→−λAB→|=|AP→−AC→|=|CP→|，点C在直线AB上，故f(λ)的最小值M为点P到AB的距离，由此可得结论
【解答】
解：设λAB→=AC→，则f(λ)=|AP→−λAB→|=|AP→−AC→|=|CP→|，
∵ λAB→=AC→，
∴ 点C在直线AB上，
∴ f(λ)的最小值m为点P到AB的距离，
∴ mmax=43，
∴ |AB→|=21−(43−1)2=423，
故答案为：423，
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）
17.
【答案】
解：(1)由题意CA→=m−2,−2，
CB→=−1,−3，
所以CA→+CB→=m−3,−5，
所以|CA→+CB→|=m−32+25，
所以当m=3时，|CA→+CB→|最小．
(2)由题意，cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，
所以−(m−2)+6m−22+4×10=55，
整理可得52×m−22+4=58−m，
将上述等式整理可得
2m−22+8=m−82，
整理可得m2+8m−48=m+12m−4=0，
所以m=−12或m=4．
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
(1)根据题意写出CA→、CB→，从而可以写出|CA→+CB→|的表达式，进而可以求出当|CA→+CB→|最小时m的值．
(2)由题意得到cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，从而可以求出m的值．
【解答】
解：(1)由题意CA→=m−2,−2，
CB→=−1,−3，
所以CA→+CB→=m−3,−5，
所以|CA→+CB→|=m−32+25，
所以当m=3时，|CA→+CB→|最小．
(2)由题意，cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，
所以−(m−2)+6m−22+4×10=55，
整理可得52×m−22+4=58−m，
将上述等式整理可得
2m−22+8=m−82，
整理可得m2+8m−48=m+12m−4=0，
所以m=−12或m=4．
18.
【答案】
解：(1)AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AC→−AC→=0→；
(2)(AB→+MB→)+BO→+OM→=AB→+(MB→+BO→)+OM→=AB→+MO→−MO→=AB→；
（3）OA→+OC→+BO→+CO→=(OA→−OB→)+(OC→−OC→)=BA→+0→=BA→；
（4）AB→−AC→+BD→−CD→=(AB→−AC→)+(BD→+DC→)=CB→+BC→=0→；
（5）OA→−OD→+AD→=(OA→−OD→)+AD→=DA→+AD→=DA→−DA→=0→；
（6）AB→−AD→−DC→=(AB→−AD→)−DC→=DB→−DC→=CB→；
（7）NQ→+QP→+MN→−MP→=(NQ→+QP→)+(MN→−MP→)=NP→+PN→=0→．
【考点】
向量的减法及其几何意义
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．
【解答】
解：(1)AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AC→−AC→=0→；
(2)(AB→+MB→)+BO→+OM→=AB→+(MB→+BO→)+OM→=AB→+MO→−MO→=AB→；
（3）OA→+OC→+BO→+CO→=(OA→−OB→)+(OC→−OC→)=BA→+0→=BA→；
（4）AB→−AC→+BD→−CD→=(AB→−AC→)+(BD→+DC→)=CB→+BC→=0→；
（5）OA→−OD→+AD→=(OA→−OD→)+AD→=DA→+AD→=DA→−DA→=0→；
（6）AB→−AD→−DC→=(AB→−AD→)−DC→=DB→−DC→=CB→；
（7）NQ→+QP→+MN→−MP→=(NQ→+QP→)+(MN→−MP→)=NP→+PN→=0→．
19.
【答案】
解：(1)如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
则O0,0,A0,2,B2,0,N3,1,
所以OA→=0,2,OB→=2,0,ON→=3,1.
设ON→=xOA→+yOB→,
则2x=1,2y=3，
解得x=12,y=32,
所以ON→=12OA→+32OB→.
(2)设∠BON=θ0∘≤θ≤90∘，则N2csθ,2sinθ,M0,1,
则MB→=2,−1,ON→=2csθ,2sinθ.
所以MB→⋅ON→=4csθ−2sinθ=25cs(θ+φ)，
其中csφ=255,sinφ=55(φ为锐角）．
因为0∘≤θ≤90∘，
所以φ≤0+φ≤φ+90∘.
则csθ+φmax=csφ=255,
cs0+φmin=cs90∘+φ=−sinφ=−55,
所以MB→⋅ON→的取值范围为−2,4.
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
向量在几何中的应用
平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
则O0,0,A0,2,B2,0,N3,1,
所以OA→=0,2,OB→=2,0,ON→=3,1.
设ON→=xOA→+yOB→,
则2x=1,2y=3，
解得x=12,y=32,
所以ON→=12OA→+32OB→.
(2)设∠BON=θ0∘≤θ≤90∘，则N2csθ,2sinθ,M0,1,
则MB→=2,−1,ON→=2csθ,2sinθ.
所以MB→⋅ON→=4csθ−2sinθ=25cs(θ+φ)，
其中csφ=255,sinφ=55(φ为锐角）．
因为0∘≤θ≤90∘，
所以φ≤0+φ≤φ+90∘.
则csθ+φmax=csφ=255,
cs0+φmin=cs90∘+φ=−sinφ=−55,
所以MB→⋅ON→的取值范围为−2,4.
20.
【答案】
解：(1)由a→=(csα, sinα)，b→=(csβ, sinβ)，
则a→−b→=(csα−csβ, sinα−sinβ)，
由|a→−b→|2=(csα−csβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2(csαcsβ+sinαsinβ)=2，
得csαcsβ+sinαsinβ=0．
所以a→⋅b→=0．即a→⊥b→；
(2)由a→+b→=(csα+csβ,sinα+sinβ)=(0,1)
得csα+csβ=0①sinα+sinβ=1②，①​2+②​2得：cs(α−β)=−12．
因为0<β<α<π，所以0<α−β<π．
所以α−β=23π，α=23π+β，
代入②得：sin(23π+β)+sinβ=32csβ+12sinβ=sin(π3+β)=1．
因为π3<π3+β<43π．所以π3+β=π2．
所以，α=56π，β=π6．
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的余弦公式
求两角和与差的正弦
【解析】
(1)由给出的向量a→，b→的坐标，求出a→−b→的坐标，由模等于2列式得到csαcsβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；
(2)由向量坐标的加法运算求出a→+b→，由a→+b→=(0, 1)列式整理得到α−β=23π，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．
【解答】
解：(1)由a→=(csα, sinα)，b→=(csβ, sinβ)，
则a→−b→=(csα−csβ, sinα−sinβ)，
由|a→−b→|2=(csα−csβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2(csαcsβ+sinαsinβ)=2，
得csαcsβ+sinαsinβ=0．
所以a→⋅b→=0．即a→⊥b→；
(2)由a→+b→=(csα+csβ,sinα+sinβ)=(0,1)
得csα+csβ=0①sinα+sinβ=1②，①​2+②​2得：cs(α−β)=−12．
因为0<β<α<π，所以0<α−β<π．
所以α−β=23π，α=23π+β，
代入②得：sin(23π+β)+sinβ=32csβ+12sinβ=sin(π3+β)=1．
因为π3<π3+β<43π．所以π3+β=π2．
所以，α=56π，β=π6．
21.
【答案】
解：(1)因为a→//b→，a→=3csθ,sinθ，b→=3,−13，
所以−csθ−3sinθ=0，
解得tanθ=−33，
又θ∈−π2,π2，
所以θ=−π6．
(2)若θ=π6，则a→=3csθ,sinθ=332,12，
所以a→⋅b→=332×3−13×12=133.
设a→，b→的夹角为α，
因为|a→|=3322+122=7，
|b→|=3+19=273，
所以csα=133273×7=1314.
【考点】
平行向量的性质
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的坐标运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为a→//b→，a→=3csθ,sinθ，b→=3,−13，
所以−csθ−3sinθ=0，
解得tanθ=−33，
又θ∈−π2,π2，
所以θ=−π6．
(2)若θ=π6，则a→=3csθ,sinθ=332,12，
所以a→⋅b→=332×3−13×12=133.
设a→，b→的夹角为α，
因为|a→|=3322+122=7，
|b→|=3+19=273，
所以csα=133273×7=1314.