数学人教版新课标A第二章 平面向量综合与测试同步练习题

第二章检测(A)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　)

A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)

解析:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.

答案:A

2.已知A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则等于(　　)

A.11 B.5 C.-1 D.-2

解析:=(2,-3),=(2,2),则=2×2-3×2=-2.

答案:D

3.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于 (　　)

A.- B. C.- D.0

解析:由a∥b知1×2-m2=0,即m=或-.

答案:C

4.已知向量a,b的夹角为,且a=(-1,1),|b|=2,则|2a+b|=(　　)

A.1 B.

C.2 D.4

解析:因为a=(-1,1),所以|a|=.

又因为a,b的夹角为,|b|=2,所以|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos =8+4-4×2×=4,所以|2a+b|=2,故选C.

答案:C

5.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 (　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A中e1=0e2,B中e1,e2为两个不共线向量,C中e2=2e1,D中e2=-e1.故选B.

答案:B

6.已知边长为3的菱形ABCD,∠DAB==2,则=(　　)

A.- B.- C.- D.

解析:=()·()=()·

=×22-32-×2×3cos=-,故选C.

答案:C

7.下列说法正确的个数为(　　)

①;

②已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<9;

③向量e1=(2,-3),e2=能作为平面内所有向量的一组基底;

④若a∥b,则a在b上的投影为|a|.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①正确;②由a·b<0,得k<9,由a∥b,得k=-1,此时,a=-2b,

∴k<9,且k≠-1,故②错;

③∵e1=4e2,∴e1与e2共线,不能作为基底;

④由a∥b,若a与b同向,则a在b方向上的投影为|a|,若a与b方向相反,则a在b方向上的投影为-|a|.

答案:A

8.在△ABC中,已知D为边AB上的一点,若=2+λ,则λ=(　　)

A. B. C.- D.-

解析:∵)=,∴λ=.

答案:A

9.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且a⊥c,则的值为(　　)

A. B. C.2 D.

解析:∵c=a+b,a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos 120°=|a|2-|a||b|=0,

∴|a|2=|a||b|,∴.

答案:A

10.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有(　　)

A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a=b

解析:f(x)=(xa+b)·(a-xb)=xa2-x2a·b+a·b-xb2=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b,

因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0.

又a,b是非零向量,所以a⊥b.

答案:B

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. 

解析:|b|=,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=.

答案:

12.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为　　　　. 

解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),

∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,

∴-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.

答案:-1

13.已知a=(1,2),b=(-2,log2m),若|a·b|=|a||b|,则正数m的值等于　　　　　. 

解析:∵|a·b|=|a||b|,∴a∥b,

∴log2m=-4,∴m=2-4=.

答案:

14.设O,A,B,C为平面内四点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|2+|b|2+|c|2=　　　　　. 

解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.

答案:6

15.如图,在▱ABCD中,P在对角线AC上,且AP=AC,用基底表示,则=　　　　　. 

解析:∵=2,

∴=-.

答案:-

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A(16,12),B(-5,15).

(1)求||,||;

(2)求∠OAB.

解:(1)∵=(16,12),=(-21,3),

∴||==20,

||==15.

(2)=(-16,-12)·(-21,3)=300,

则cos∠OAB=,

又∠OAB∈[0,π],故∠OAB=.

17.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知▱ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1).

(1)求对角线AC及BD的长;

(2)若实数t满足(+t)·=0,求t的值.

解:(1)设顶点D的坐标为(x,y).在▱ABCD中,由,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D的坐标为(1,4),所以||=4,||=2.

(2)因为=(-3,-5),=(-2,-1),(+t)·=0,

所以+t=6+5+5t=0,所以t=-.

18.(9分)设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=,a与b不共线.

(1)证明向量a+b与a-b垂直;

(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.

(1)证明a+b=,a-b=,(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,

∴(a+b)⊥(a-b).

(2)解由题意知(a+b)2=(a-b)2,得a·b=0,

∴-cos α+sin α=0,

得tan α=.又0≤α<2π,得α=或α=.

19.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角θ的余弦值.

解:以直角边所在直线为x轴、y轴建立如图平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,6),

设AF,BE分别为OB,OA边上的中线,则E(2,0),F(0,3).

因为=(-4,3),=(2,-6),

所以cos θ==-.

所以两中线所成钝角的余弦值为-.

20.(10分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.

(2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4a2-4a·b-3b2=61.

又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6.

∴cos θ==-,∴θ=120°.

(2)设存在点M,且=λ=(6λ,3λ)(0<λ≤1),

∴=(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).

∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,

∴45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=,

∴=(2,1)或.

∴存在M(2,1)或M满足题意.