高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试单元测试精练

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试单元测试精练，共20页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. （甘肃二诊）若sinα=1213，且α为第二象限角，则tanα的值为（ ）
A.−125B.125C.125D.512

2. 下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数是（ ）
A.y=tan2xB.y=csxC.y=cs2xD.y=sin2x

3. 已知sin(π3−α)=13，则cs(5π6−α)=（ ）
A.13B.−13C.223D.−23

4. 已知角α的终边上一点P的坐标为(sin2π3, cs2π3)，则sinα的值为（ ）
A.12B.−12C.32D.−32

5. 下列关系中，正确的是( )
A.sin160∘C.sin160∘
6. 若α=2，则α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

7. 将函数f(x)=sin(2x−π4)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π12个单位长度，所得图像的一条对称轴的方程是（ ）
A.x=3π16B.x=7π24C. x=2π3 D.x=5π6

8. 如图，直线2x+2y−3=0经过函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π)的最高点M和相邻的最低点N，则( )

A.ω=π2，φ=π4B.ω=π，φ=0C.ω=π2，φ=−π4D.ω=π，φ=π2

9. 函数f(x)=sin(x+π2)图象的一个对称中心为（ ）
A.(π2, 0)B.(0, 1)C.(0, 0)D.(−π4, 0)

10. 在△ABC中，“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11. 关于下列命题：正确的命题是( )
A.函数y=tanx在第一象限是增函数
B.函数y=cs2(π4−x)是偶函数
C.函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上是增函数
D.函数y=4sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6, 0)

12. 已知函数f(x)=cs(2ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期为π，将其图象向右平移π6个单位后得函数g(x)=cs2x的图象，则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=2π3对称B.关于直线x=π6对称
C.关于点(−2π3,0)对称D.关于点(−5π12, 0)对称
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________.

14. 函数fx=ln2sinx−1的定义域为________.

15. f(x)=sinx⋅csx+3sin2x的单调递减区间为________．

16. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π)）的部分图象如图所示，则f2020=_________.

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 已知函数fx=2csx−1．
(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出fx在0,2π上的简图；

(2)求不等式fx≤−3−1的解集．

18. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=c(sinB+csB)．

(1)求∠ACB的大小；

(2)若∠ACB=∠ABC，点A，D在BC的异侧，DB=2,DC=1，求平面四边形ABDC面积的最大值．

19. 已知a≥1，函数f(x)=sin(x+π4)，g(x)=−sinxcsx−1+2af(x).
(1)若f(x)在[−b，b]上单调递增，求正数b的最大值；

(2)若函数g(x)在[0，3π4]内恰有一个零点，求a的取值范围.

20. 已知函数f(x)=2cs(2x+π4).
(1)求f(x)的最小正周期和值域；

(2)求f(x)的单调递增区间.

21. 已知角α终边上一点A的坐标为(32, −12).
(1)求角α的集合；

(2)化简式子并求值：sin(2π−α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(π2+α)．

22.

(1)如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

(2)已知角α=2010∘．
①将α改写成θ+2kπ（k∈Z，0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
②若β=α+k⋅360∘，k∈Z，则β2是第几象限角？
参考答案与试题解析
2021年人教A版必修4数学第1章 三角函数单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为α为第二象限角，且sinα=1213，所以csα=−513，所以tanα=sinαcsα=−125，故选A．
确定角所在的象限是确定三角函数值符号的关键．
本题考查同角三角函数间的基本关系．
2.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于y=tan2x的定义域关于原点对称，且tan−2x=−tan2x，则y=tan2x为奇函数，最小正周期为π2，A不正确；
y=csx为偶函数，最小正周期为2π，故B不正确；
由cs(−2x)=cs2x可知，y=cs2x为偶函数，且最小正周期为2π2=π，故C正确；
由sin−2x=−sin2x可知，y=sin2x为奇函数，最小正周期为2π2=π，D不正确．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
根据题意利用诱导公式即可求得结果．
【解答】
解：cs5π6−α=csπ2+π3−α=−sinπ3−α=−13．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
【解答】
∵ 角α终边上一点P的坐标是(sin2π3, cs2π3)，
∴ x＝sin2π3，y＝cs2π3，r＝|OP|＝1，∴ sinα＝cs2π3=−12．
5.
【答案】
D
【考点】
诱导公式
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据诱导公式，易知cs15∘=sin75∘，sin160∘=sin20∘，
由正弦函数y=sinx在0∘,90∘上单调递增，
知sin15∘所以sin15∘故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
因为π2<α<π，所以α是第二象限角．
【解答】
解：因为π2<α<π，所以α是第二象限角．
故选B .
7.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将函数f(x)=sin(2x−π4)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
可得y=sin(x−π4)的图像，再向左平移π12个单位长度，
可得y=sin(x+π12−π4)=sin(x−π6)的图像.
令x−π6=kπ+π2(k∈Z)，得x=kπ+2π3(k∈Z).当k=0时，图像的一条对称轴方程是x=2π3.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知M(x1，1)，N(x2，−1)代入直线2x+2y−3=0可得
M(12，1)，N(52，−1)，
∴ T2=2，
∴ T=4=2π|ω|，
又ω>0，
∴ ω=π2，
将点M代入函数f(x)得sin(π2x+φ)=1，
又∵ |φ|<π，
∴ φ=π4.
故选A.
9.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
由条件利用正弦函数的图象的对称中心求得函数f(x)=sin(x+π2)图象的一个对称中心．
【解答】
解：对于函数f(x)=sin(x+π2)，令x+π2=kπ，k∈z，
求得x=kπ−π2，k∈z，可得它的图象的对称中心为(kπ−π2, 0)，
故选：A．
10.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，
因为01，
所以0因为sin Asin Bcs Acs B>1，
所以sin Asin B>cs Acs B，
所以cs Acs B−sin Asin B<0，
即cs(A+B)<0，
所以π2因此0所以△ABC是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足．
反之，
若△ABC是钝角三角形，也推不出“tan Atan B>1”，
故必要性不成立．
所以“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件．
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
正切函数的单调性
正弦函数的对称性
正弦函数的奇偶性
正弦函数的单调性
【解析】
利用正切函数单调性判断①的正误；利用余弦函数的奇偶性判断②的正误；把对称中心坐标代入方程，是否处理确定③的正误；利用函数的单调性判断④的正误．
【解答】
解：A，函数y=tanx在[0, π2)上是增函数，不能说在第一象限是增函数，故该选项错误；
B，函数y=cs2(π4−x)=sin2x是奇函数，故该选项错误；
C，函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2，π2]上有增有减，故该选项错误；
D，因为x=π6时，函数y=4sin(2x−π3)=0，
所以函数y=4sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6, 0)，故该选项正确．
故选D.
12.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
【解析】
求出函数f(x)的解析式，结合函数的对称性分别进行判断即可．
【解答】
解：由题意得：将g(x)=cs2x的图象向左平移π6个单位后得到f(x)，
即f(x)=cs2(x+π6)=cs(2x+π3)，
∵ f(2π3)=cs(2×2π3+π3)=cs5π3≠±1，
f(π6)=cs(2×π6+π3)=cs2π3≠±1，
f(−2π3)=cs(−2×2π3+π3)=cs(−π)=−1≠0，
∴ A，B，C都不正确.
f(−5π12)=cs[2×(−5π12)+π3]=cs(−π2)=0，
则函数关于点(−5π12, 0)对称.
故选D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
π
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
设圆锥的底面半径为r，母线长l，圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为θ，由已知可得l=2r，进而利用弧长公式，可得答案．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，母线长l，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，
由题意可知，πr(r+l)=3πr2，解得l=2r，
则2πr=θl=2θr，
故θ=π.
故答案为：π.
14.
【答案】
{x|π6+2kπ【考点】
对数函数的定义域
函数的定义域及其求法
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据函数y的解析式，真数大于0，解不等式即可．
【解答】
解：函数y=ln2sinx−1，
∴ 2sinx−1>0，即sinx>12，
解得π6+2kπ∴ f(x)的定义域为：
{x|π6+2kπ故答案为：{x|π6+2kπ15.
【答案】
[5π12+kπ, 11π12+kπ]，k∈Z
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
利用三角恒等变换化简f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性写出f(x)的单调递减区间．
【解答】
解：f(x)=sinx⋅csx+3sin2x
=12sin2x+32(1−cs2x)
=sin(2x−π3)+32，
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴ 5π6+2kπ≤2x≤11π6+2kπ，k∈Z，
即5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
∴ f(x)的单调递减区间为[5π12+kπ, 11π12+kπ]，k∈Z．
故答案为：[5π12+kπ, 11π12+kπ]，k∈Z．
16.
【答案】
−22
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的求值
【解析】
由函数的周期求出ω，利用函数的最值求出φ，得到函数的解析式，代入即可求解.
【解答】
解：由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π)）的部分图象可得：
T4=3−1=2，
∴ T=8=2πω，
解得ω=π4.
又当x=1时，fxmax=1，
∴ π4×1+φ=π2+2kπk∈Z，
结合φ∈[0,2π)可得φ=π4，
∴ fx=sinπ4x+π4，
∴ f2020=sinπ4×2020+π4=sin5π4=−22.
故答案为：−22.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
解：(1)完成表格如下：
f(x)在[0,2π]的大致图象如下：
(2)由fx≤−3−1，得2csx−1≤−3−1，即csx≤−32，
当x∈0,2π时，由csx≤−32，得x∈5π6,7π6．
又函数y=csx的最小正周期为2π，
所以原不等式的解集为5π6+2kπ,7π6+2kπk∈Z．
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)完成表格如下：
f(x)在[0,2π]的大致图象如下：
(2)由fx≤−3−1，得2csx−1≤−3−1，即csx≤−32，
当x∈0,2π时，由csx≤−32，得x∈5π6,7π6．
又函数y=csx的最小正周期为2π，
所以原不等式的解集为5π6+2kπ,7π6+2kπk∈Z．
18.
【答案】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+csB)，
∴ sinA=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(π−B−C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，
∴ sinBcsC=sinCsinB.
又∵ B∈(0, π)，故sinB≠0，
∴ csC=sinC，即tanC=1．
又∵ C∈(0, π)，
∴ ∠ACB=π4．
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22−2×1×2×csD=5−4csD．
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−csD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54−csD+sinD=54+2sin(D−π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
三角函数的最值
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+csB)，
∴ sinA=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(π−B−C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，
∴ sinBcsC=sinCsinB.
又∵ B∈(0, π)，故sinB≠0，
∴ csC=sinC，即tanC=1．
又∵ C∈(0, π)，
∴ ∠ACB=π4．
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22−2×1×2×csD=5−4csD．
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−csD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54−csD+sinD=54+2sin(D−π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．
19.
【答案】
解：(1)由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z,
∵f(x)在[−b，b]上单调递增，
令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，
∴b≤π4,−b≥−3π4,
解得b≤π4,
可得正数b的最大值为π4.
(2)g(x)=−sinxcsx+2af(x)−1
=−sinxcsx+a(sinx+csx)−1,
设t=sinx+csx=2sinx+π4，
当x∈0,3π4时，t∈[0,2]，
它的图象如图所示，
又sinxcsx=12t2−1，
则−sinxcsx+a(sinx+csx)−1=−12t2+at−12,t∈[0,2],
令h(t)=−12t2+at−12,
①当t=0时，h(t)无零点；
②当t=2时，
由2a−32=0，
把a=324代入−12t2+at−12=0中，
得−12t2+324t−12=0,
解得，t1=2，t2=22，不符合题意；
③当0若Δ=a2−1=0，得a=1，
此时t=1，由t=2sin(x+π4)的图象可知不符合题意，
若Δ=a2−1>0，即a>1，
设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，
由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，
要使h(t)=−12t2+at−12在[0,2]内恰有一个零点，
则两根同时为正，且一个根在(0，1)内，另一个根在(2，+∞)内，
所以h(1)>0,h(2)>0,
解得，a>324,
综上，a的取值范围为324,+∞.
【考点】
复合三角函数的单调性
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z,
∵f(x)在[−b，b]上单调递增，
令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，
∴b≤π4,−b≥−3π4,
解得b≤π4,
可得正数b的最大值为π4.
(2)g(x)=−sinxcsx+2af(x)−1
=−sinxcsx+a(sinx+csx)−1,
设t=sinx+csx=2sinx+π4，
当x∈0,3π4时，t∈[0,2]，
它的图象如图所示，
又sinxcsx=12t2−1，
则−sinxcsx+a(sinx+csx)−1=−12t2+at−12,t∈[0,2],
令h(t)=−12t2+at−12,
①当t=0时，h(t)无零点；
②当t=2时，
由2a−32=0，
把a=324代入−12t2+at−12=0中，
得−12t2+324t−12=0,
解得，t1=2，t2=22，不符合题意；
③当0若Δ=a2−1=0，得a=1，
此时t=1，由t=2sin(x+π4)的图象可知不符合题意，
若Δ=a2−1>0，即a>1，
设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，
由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，
要使h(t)=−12t2+at−12在[0,2]内恰有一个零点，
则两根同时为正，且一个根在(0，1)内，另一个根在(2，+∞)内，
所以h(1)>0,h(2)>0,
解得，a>324,
综上，a的取值范围为324,+∞.
20.
【答案】
解：(1)T=2πω=2π2=π，
函数值域为[−2，2]，
(2)令z=2x+π4，
则f(x)=2csz在(2kπ−π，2kπ)上为增函数，
即2kπ−π∴2kπ−π<2x+π4<2kπ，k∈Z，
解得：kπ−5π8即f(x)的单调递增区间为：kπ−5π8【考点】
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)T=2πω=2π2=π，
函数值域为[−2，2]，
(2)令z=2x+π4，
则f(x)=2csz在(2kπ−π，2kπ)上为增函数，
即2kπ−π∴2kπ−π<2x+π4<2kπ，k∈Z，
解得：kπ−5π8即f(x)的单调递增区间为：kπ−5π821.
【答案】
解：(1)由题意可知x=32，y=−12，r=1，
∴ sinα=yr=−12，csα=xr=32，
∴ 角α的集合为{α|α=2kπ−π6, k∈Z}；
(2)sin(2π−α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(π2+α)=−sinαsinα−csαcsα=1434=13．
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数
【解析】
（1）直接利用任意角的三角函数的定义求出角α的集合．
（2）利用诱导公式化简所求表达式，代入（1）的数据求解即可．
【解答】
解：(1)由题意可知x=32，y=−12，r=1，
∴ sinα=yr=−12，csα=xr=32，
∴ 角α的集合为{α|α=2kπ−π6, k∈Z}；
(2)sin(2π−α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(π2+α)=−sinαsinα−csαcsα=1434=13．
22.
【答案】
解：(1)表示为{α|kπ+π6≤α(2)①α=5×360∘+210∘，
∴ α=5⋅2π+7π6，k∈Z，
可知α是第三象限角；
②β=7π6+2kπ，k∈Z，
β2=7π12+kπ，k∈Z，
令k=0，β2=7π12，第二象限角，
令k=1，β2=19π12，第四象限角．
故β2是第二象限角或第四象限角.
【考点】
弧度制
象限角、轴线角
终边相同的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)表示为{α|kπ+π6≤α(2)①α=5×360∘+210∘，
∴ α=5⋅2π+7π6，k∈Z，
可知α是第三象限角；
②β=7π6+2kπ，k∈Z，
β2=7π12+kπ，k∈Z，
令k=0，β2=7π12，第二象限角，
令k=1，β2=19π12，第四象限角．
故β2是第二象限角或第四象限角.x
0
π2
π
3π2
2π
f(x)
x
0
π2
π
3π2
2π
f(x)
1
−1
−3
−1
1
x
0
π2
π
3π2
2π
f(x)
1
−1
−3
−1
1