高中第二章 平面向量综合与测试当堂达标检测题

专题强化练4　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.(2019吉林白山高一上期末,★★☆)如图,在△ABC中,D,E,F分别为线段BC,AD,BE的中点,则=(　　)

A.+ B.-

C.- D.+

2.(2019山东青岛二模,★★☆)已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D的坐标是(　　)

A.(11,-3) B.(9,-3) C.(9,3) D.(4,0)

3.(2019浙江台州中学高一上期中,★★☆)在△ABC中,点D是AB边的中点,记=a,=b,则向量=(　　)

A.-a-b B.-a+b

C.a-b D.a+b

4.(2018江西赣州一中高一下期末,★★☆)已知在Rt△ABC中,两直角边AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=(　　)

A. B. C.3 D.2

二、填空题

5.(2020山西省实验中学高一下月考,★★☆)设a,b是两个不共线的向量,若=2a+kb,=a+b,=2a-b,且A、B、D三点共线,则实数k的值为　　　　. 

6.(2019河南中原名校高三第三次质检,★★☆)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=　　　　. 

7.(★★★)如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,AD=DC=CB=AB=1,F为BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上运动,E为圆弧与AB的交点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)在△ABC中,D,E分别是BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.

9.(★★☆)如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,=,=a,=b.

(1)用a、b表示向量,,,,;

(2)求证:B,E,F三点共线.

答案全解全析

专题强化练4　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.D　=(+)=+×=+×(+)=+.故选D.

2.B　设D(x,y),则=(x+1,y-3),

又=2=(10,-6),所以解得

所以点D的坐标为(9,-3).故选B.

3.C　由题意得=-=-=a-b.故选C.

4.A　如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(0,2).因为∠DAB=60°,所以设D点坐标为(m,m),则=(m,m).又=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),所以则=.故选A.

二、填空题

5.答案　0

解析　因为A,B,D三点共线,所以向量与向量共线,所以可设=λ(λ∈R).

又=2a+kb,=a+b,=2a-b,所以=+=3a,所以2a+kb=3λa,因为a,b是两个不共线的向量,所以k=0.

6.答案　4

解析　以向量a,b的公共点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可得a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).

又c=λa+μb=λ(-1,1)+μ(6,2)(λ,μ∈R),∴解得因此=4.

7.答案　[0,2]

解析　建立如图所示的平面直角坐标系,∵DC∥AB,AD=DC=CB=AB=1,∴D,,C,,E(1,0),F,B(2,0),λ=- λ,λ,μ=μ,μ,因为点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上运动,所以可设=(cos θ,sin θ),0≤θ≤,

∴解得2λ+μ=sin θ,∵0≤θ≤,∴0≤sin θ≤,∴0≤2λ+μ≤2,∴2λ+μ的取值范围为[0,2].

三、解答题

8.解析　=(+)=a+b.

=+=+=+(+)

=+(-)=+

=a+b.

9.解析　(1)如图,延长AD到点G,使=,

连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,

==(a+b),==(a+b),==b,

=-=(a+b)-a=(b-2a),

=-=b-a=(b-2a).

(2)证明:由(1)可知=,

因为与有公共点B,

所以B,E,F三点共线.