专题11 不等式、线性规划、推理与新定义-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

专题11 不等式、线性规划、推理与新定义

一、单选题

1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】如果实数集的子集满足：任意开区间（其中）中都含有中的元素，则称在中的稠密，若“的子集在中的不稠密”，则（    ）

A．任意开区间都不含有中的元素 B．存在开区间不含有中的元素

C．任意开区间都含有的补集中的元素 D．存在开区间含有的补集的元素

3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】设为非零实数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

4. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（    ）

注：“相差”是指差的绝对值

A．立春和立冬的晷长相同

B．立夏和立秋的晷长相同

C．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长

D．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长

5. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A． B． C． D．

6. 【北京市第四中学2021届高三12月】设，.若是与的等比中项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．8

7. 【北京市第四中学2021届高三12月】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，后物体的温度℃可由公式求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却后，物体的温度是40℃，若取1.099，则t的值约等于（    ）

A．6.61 B．4.58 C．2.89 D．1.69

8. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】已知，，，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

9. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得分,负者得分,平局两人各得分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为

A． B． C． D．

10. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为

A．4 B．3 C．1 D．

11. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．

丁的得分是（    ）

A．4分 B．5分 C．6分 D．7分

13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（    ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.

A．的值域为 B．

C． D．以上选项都不对

14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（    ）

A．每场比赛的第一名得分a为4

B．甲至少有一场比赛获得第二名

C．乙在四场比赛中没有获得过第二名

D．丙至少有一场比赛获得第三名

15. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练三】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.

2. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立．

（1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________．

（2）若函数，则实数的取值集合为__________．

3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】函数（），已知的最小值为4，则点到直线距离的最小值为______.

4. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】不等式对所有的都成立，则t的取值范围是__________．

5. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：

（1）对任意；（2）对任意；

（3）对任意．

给出下列四个结论：

①；

②；

③对任意；

④存在．

其中，所有正确结论的序号是__________．

6. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】函数（其中为有理数集）被称为狄利克雷函数，关于函数有如下四个命题：

①；

②函数是偶函数；

③任何非有理数都有函数的周期；

④存在三个点，，，使得为等边三角形，

其中真命题的是________．

7. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.

8. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.

9. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲､乙､丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为__________.

10. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”．给出下列命题：

①自倒函数的值域可能是R；

②存在实数a，使得函数是自倒函数；

③若是D内的自倒函数，则也是D内的自倒函数；

④若，都是D内的自倒函数，则也是D内的自倒函数．

则所有正确命题的序号是___________．

11. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】设x，y为实数，若xy=1，则2x+y的取值范围是__________．

12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：

①“水滴”图形与轴相交，最高点记为，则点的坐标为    ；

②在集合中任取一点，则到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记为，，则；

④白色“水滴”图形的面积是．

其中正确的有______．

三、解答题

1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为．

（Ⅰ）当时，设，．若，求；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则；

（ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由；

（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．

2. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.

定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.

（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；

（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；

（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.

3. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】将全体自然数填入如图所示的 3 行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 对于正整数、，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意?，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集?的“友好数对”.

（Ⅰ）试判断数对与是否是?的“友好数对”，并说明理由；

（Ⅱ）若，问：是否存在，使得数对是?的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）试给出使得数对是?的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）

4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】对于正整数，如果个整数满足，

且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.

(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;

(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.

(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)

5. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：

①；②；③，若，则.

则称集合A为“减i集”

（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？

（2）证明：不存在“减2集”；

（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.

6. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】已知m，n，k为正整数，，，A是由个不超过k的正整数组成的m行n列的数表，其第i行第j列为，，，满足：

①对任意，，均有，，互不相等；

②对任意，不存在，使得且；

③当时，对任意，存在，使得．

记为所有这样的数表构成的集合．

（Ⅰ）写出中的一个元素；

（Ⅱ）若，则当n最大时，求m的最大值；

（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．

问题（一）：求集合的元素个数．

问题（二）：求集合的元素个数．

7. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，，2，4，8，．

Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；

Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；

Ⅲ有多少个集合对，满足P，，且？

8. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，，称为的满意指数.排列为排列的生成列.

（Ⅰ）当时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；

（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.

9. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.

（1）若，，求，，；

（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；

（3）若，，求的最小值.

10. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”．

（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；

（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；

（3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．

11. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.

（1）试判断与是否互为正交点列，并说明理由.

（2）求证：不存在正交点列；

（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.

12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，则称为的“关联数列”.

（1）数列是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由.

（2）若为的“关联数列”，是否一定具有单调性？请说明理由.

（3）已知数列存在“关联数列”，且，，求m的最大值.

13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】已知项数为的数列满足，若对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质．

（Ⅰ）判断数列0，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）设项数为10的数列具有性质，，求；

（Ⅲ）若数列具有性质，且不是等差数列，求．

14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】设A是由m×n个数组成的m行n列的数表，数表中第i行第j列的数aij∈{0，1}，记A中第i行所有数之和为r(i)，第j列所有数之和为c(j)，其中1≤i≤m，1≤j≤n，m≥2，n≥2，m，n，i，j∈N*．若满足r(i)≥且c(j)≤，则称(i，j)为数表A的“尖点”．

（1）分别求下列数表的“尖点”的个数：

①

②

（2）若m=2，n为奇数，求数表A的“尖点”个数的最大值；

（3）记，若m，n均为偶数，且数表A中所有“尖点”恰好有个，求S的取值范围．

15. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.

（I）若，，，求；

（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；

（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.