人教版八年级数学上册第十三章轴对称（完整知识点）

这是一份人教版八年级数学上册第十三章轴对称（完整知识点），共13页。主要包含了轴对称，等腰三角形，课题学习等内容，欢迎下载使用。

（一）轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
注：（1）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至有无数条。
（2）轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
（1）区别：轴对称图形是一个形状特殊的图形；轴对称是两个图形之间的特殊关系。
（2）联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
（二）线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3、判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4、重要拓展：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。
5、轴对称和轴对称图形的性质
（1）轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，成轴对称的两个图形也全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称。
（4）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在一条直线上）或相交于一点，如果相交，交点一定在对称轴上。
6、尺规作图
（1）作线段的垂直平分线（已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线）
（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线（已知：直线AB和AB外一点C；求作：AB的垂线，使它经过点C）
（3）作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
依据：如果—个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。
（三）画轴对称图形
1、轴对称变换
（1）概念：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
（2）性质
①新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。
②连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2、画轴对称图形
（1）找：在原图形上找特殊点（如线段端点、图形的顶点）,在直角坐标系中则需要先计算出特殊点的对称点的坐标。
（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点。
（3）连：按原图的顺序依次连接各对称点。
2、坐标系中画轴对称图形的方法
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，﹣y），其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（﹣x，y），其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（3）点（x，y）关于直线x=a对称的点的坐标是（2a﹣x，y），点（x，y）关于直线y=a对称的点的坐标是（x，2a﹣y）。
（4）点（x，y）关于直线y=x对称的点的坐标是（y，x）。
（5）点（x，y）关于直线y=-x对称的点的坐标是（﹣y，﹣x）。
二、等腰三角形
（一）性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成"三线合一"）。
3、等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。
（二）判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）。
（三）特殊的等腰三角形：等边三角形
1、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
2、判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、课题学习：最短路径问题
（一）两点一线型
1、点在直线异侧（在直线l上求一点 P，使PA+PB的值最小）
2、点在直线同侧（将军饮马问题：在直线上l求一点 P，使PA+PB 的值最小。）
（二）两线一点型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使△PMN的周长最小。)
（三）两点两线型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使四边形PQMN的周长最小。)
（四）造桥选址问题（已知两点A、B，直线m∥n，在直线 m、n 上分别取点 M、N，使 MN 上m，且AM+MN+BN 的值最小。）
直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，
∴直线l是线段AB的垂直平分线。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上；
∴PA=PB。
已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
∵AC=BC，直线l经过点C；
∴直线l是线段AB的垂直平分线
在△ABC中；
∵直线 MN，EF，PQ分别垂直平分线段 BC，AB，AC；
∴ 直线 MN，EF，PQ相交于点 O，且OA= OB= OC。
依据（三角形全等的条件SSS）
①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
②作直线CD，CD就是所求作的直线。
①任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
③分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。