高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教案设计

2.4 圆的方程

1、圆的定义和圆的方程

2、点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

（1）|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

（2）|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

（3）|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

3、特殊的圆的方程

（1）圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.

（2）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

题型一 圆的方程

例1　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　)

A．a<－2或a> B．－<a<2

C．－2<a<0 D．－2<a<

【答案】D

【解析】

【分析】

先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a的范围.

【详解】

由题意可得圆的标准方程，由解得，选D.

【点睛】

圆的一般方程，化标准方程为（其中），圆心为，半径．

1、“”是“为圆方程”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.

【详解】

方程表示圆需满足或，

所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，

故选：A.

2、若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．

【答案】(0，－1)

【解析】

方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝1－，

∵r2＝1－≤1，∴k＝0时r最大．

此时圆心为(0，－1)．

题型二 圆的方程求解

例 2　过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

1、圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是          

【答案】

2、求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程．

【答案】

【解析】

试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程．

试题解析：

∵，

中点，

∴中垂线为，

整理得，

联立，

解出，，

∴圆心为，

半径为，圆为．

题型三　点与圆的位置关系

例 3　已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　)

A．在圆内 B．在圆上

C．在圆外 D．无法判断

【答案】B

【解析】

因为 ,所以点M在圆上，选B.

1、若点（1，1）在圆的内部，则的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【解析】

因为点（1，1）在圆内部，所以,解之得.

2、点与圆的位置关系是（    ）．

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定

【答案】A

【解析】

将点代入圆方程，得．故点在圆外，

选．

1、以为圆心，4为半径的圆的方程为　　

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用圆的标准方程的性质求解．

【详解】

以为圆心，4为半径的圆的方程为：

．

故选C．

2、方程表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B．两个半圆

C．两个圆 D．半圆

【答案】A

【解析】

试题分析：由方程，两边平方得，即，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A．

3、若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

4、若原点在圆的外部，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案.

【详解】

根据题意，圆的圆心为，半径为，必有.

若原点在圆的外部，则，则有.

综合可得:.

故选：C.

5、点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

【答案】　A

【解析】　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得，则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

6、已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为          

【答案】(x－3)2＋(y－4)2＝25.

【解析】　圆C的圆心的坐标C(6，8)，

则OC的中点坐标为E(3，4)，

则所求圆的半径|OE|＝＝5，

则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

7、在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.

【答案】x2＋y2－2x＝0.

【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，

故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

8、已知曲线,.

(1)当取何值时，方程表示圆？

(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点.

(3)当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值.

【答案】(1)时，方程表示圆；(2)证明见解析；(3)

【解析】

【分析】

（1）当时，可知方程表示直线；当，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果.

【详解】

(1)当时，方程为表示一条直线

当时，

    时方程表示圆

(2)方程可变形为：

取任何值，上式都成立    ，解得：或

∴曲线过定点，

即无论为何值，曲线必过两定点

(3)由(2)曲线过定点，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小

∵以为直径的圆的方程为：

，解得：