高中3.1 椭圆教案设计

3.1 椭圆

1、椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2、椭圆的标准方程和几何性质

3、根据条件求椭圆方程的主要方法有：

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可

4、求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.

5、在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.

设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝=（k为直线斜率）

题型一 轨迹问题

例1　已知中，角所对的边分别为，且，求点的轨迹方程．

【答案】．

【解析】

【分析】

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，

根据，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

如图所示，

因为，则，设，

因为，即，

即，整理得所以，

因为，即，所以点只能在轴的左边，即．

又的三个顶点不能共线，所以点不能在轴上，即．

所以所求点的轨迹方程为．

在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且，则△ABC的顶点C的轨迹方程为__________________.

【答案】 (y≠0)

【解析】

【分析】

由正弦定理，得，得到|BC|＋|AC|＝10，再由椭圆的定义，即可求解的值，得到椭圆的方程.

【详解】

由正弦定理，得，又|AB|＝8，

∴|BC|＋|AC|＝10.

由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆．

又∵，，

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

又∵点A，B，C不共线，

∴点C的轨迹方程为 (y≠0)．

题型二 椭圆的标准方程

例 2　已知方程表示椭圆，则的取值范围为（    ）

A．且 B．且

C． D．

【答案】B

由题意，得，解得且．故选B.

如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．

【详解】

转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.

题型三　椭圆方程的求解

例 3　求满足下列条件的曲线的标准方程：

（1），，焦点在轴上的椭圆；

由，解得，所以，

故所求的椭圆方程为；

（2）椭圆经过和.

（2）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，

又由椭圆经过和，则有，解可得m＝5，n＝4；

则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1，

即其标准方程为1.

分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点；

（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得，，根据、、的关系，可求；

（2）设所求椭圆的标准方程为，，，解方程组，可求椭圆的标准方程．

【详解】

（1）由题意，，

椭圆焦点在轴上

可设为

椭圆过点

椭圆的标准方程为；

（2）设椭圆的方程：，

则，解得，

所以椭圆的标准方程为：.

题型四　椭圆的概念应用

例 4　设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为                               （    ）

A．9,12 B．8,11 C．10,12 D．8,12

【答案】D

【解析】

【分析】

椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P到两焦点的距离|PF1|+|PF2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF1|+|PF2|减去两个半径和加上两个半径．

【详解】

∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆的焦点，

∴|PF1|+|PF2|＝10，两圆的半径r＝1，

∴（|PM|+|PN|）min＝|PF1|+|PF2|﹣2r＝10﹣2＝8．

（|PM|+|PN|）max＝|PF1|+|PF2|+2r＝10+2＝12．

故选D．

已知椭圆的两个焦点是、，点在该椭圆上，若，则的面积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆的定义得出，结合，可求出和，利用勾股定理可得出，可得出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】

由椭圆的定义可得，所以，解得，

，，.

因此，的面积为.

故选：A.

题型五　离心率

例 5　过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.

【详解】

设该椭圆的焦距为，如下图所示：

设，轴，，，

，，

由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.

已知过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

把代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据推断出整理得，进而求得椭圆的离心率e．

【详解】

由题意知点P的坐标为 或，
∵，
∴ ，
即 ．
∴

∴ 或（舍去）．
故选D．

题型六　直线与椭圆

例 6　在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于、两点，求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由椭圆的离心率可得出，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出和的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式求出的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则，.

则椭圆的方程可化为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去，整理得，，得.

由韦达定理得，.

则，

直线的一般方程为，点到直线的距离为，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，面积的最大值为.

已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点，为其左焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程．

【答案】(1) (2) 或.

【解析】

【分析】

（1）由已知得a＝2c，结合隐含条件把a，b用c表示，代入点的坐标可得椭圆方程；

（2）分直线斜率存在和不存在，当斜率不存在时，利用弦长公式列式求得直线的斜率，则答案可求．

【详解】

（1）由题知，

设椭圆的标准方程，

即，∴，

即，，，

∴，，

∴椭圆的标准方程：.

（2）设直线：，

∴，

即，，，

，即，∴.

即：或.

题型七　极限法

例 7 知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先讨论当点在椭圆上时，角的最大时，点的位置，要使得椭圆上存在点满足，则只需最大时的值大于等于，如图设椭圆的一个短轴的端点为，即只需，然后可以列出不等式解出参数的范围.

设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

分焦点在x轴上和y轴上两种情况：

①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，

假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，

要使椭圆C上存在点M满足

∠AMB=120°，

∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，

tan∠AMO= ≥tan60°，

解得：0＜k≤ ．

②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，

同理可得：k≥12，

∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）

故选A．

题型八　设而不求法

例 8 已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是                。

【解析】

设椭圆方程为

联立方程：，整理得：,

设，，则，即，化简得：，

又，易得：，

∴此椭圆的方程是

故选C

已知椭圆，则椭圆截直线所得的弦长为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，然后利用弦长公式可计算出椭圆截直线所得的弦长.

【详解】

设直线交椭圆于点、，

联立，消去并整理得.

，由韦达定理得，.

由弦长公式得.

故答案为：.

题型九　点差法

例 9 若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为         

【答案】

【解析】

试题分析：设弦两端点为，.因为是A,B的中点，所以，将A,B两点代入椭圆方程得，，两式相减得，

整理得，即．

考点：中点弦问题

已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设出以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.

【详解】

设，的中点，所以，

又因为，所以，

所以，，，

所以且，所以，所以椭圆方程为：.

故选：D.

1、若椭圆：的焦距为，则椭圆的长轴长为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据椭圆的性质，列出方程求得的值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，椭圆的焦距为，

则，解得，所以，

所以椭圆的长轴长为.

2、已知椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，即底角为小于等于30°，得，即得椭圆的离心率的取值范围.

【详解】

由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，

所以底角为小于等于30°，即，

故椭圆的离心率的取值范围是.

故答案为

3、椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点.若，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

设点，由可得出，可求得，化简可得出关于、的齐次等式，即可求得椭圆的离心率.

【详解】

设，，即，，则，即①，又，②，

由①②得，即，或（舍去），解得.

故答案为：.

4、椭圆的焦点为F1,F2，点在椭圆上，若，_______；的小大为__________．

【答案】 2 ；；

【解析】

解：因为由椭圆的定义，我们可知

5、（多选）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．

C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据离心率公式结合的关系即可判断出B正确；利用即可得出A正确；将选项C作差化简即可判断出C错误，将选项D作差化简可判断D错误.

【详解】

依题意，，即，所以，所以，因此B正确；

又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；

设，其中，则有，

即有，则，因此C错误；

，

即有，则，因此D错误．

故选：AB．

6、经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（   ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】

由 ，得 ，焦点为 设直线过右焦点，倾斜角为 ，直线的方程为 代入得 即 设 则

故选B