2019-2020学年天津市河东区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市河东区九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在下列方程中，一元二次方程是
A. x2−2xy+y2=0B. xx+3=x2−1
C. x2−2x=3D. x+1x=0

3. 抛物线 y=x−22+1 的顶点坐标是
A. −2,−1B. −2,1C. 2,−1D. 2,1

4. 从数字 2，3，4 中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是
A. 23B. 12C. 13D. 56

5. 如图所示，在半径为 5 cm 的 ⊙ O 中，弦 AB=6 cm，OC⊥AB 于点 C，则 OC 等于
A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm

6. 已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为
A. 1B. 3C. 2D. 23

7. 在反比例函数 y=1−kx 的每一条曲线上，y 都随着 x 的增大而减小，则 k 的值可以是
A. −1B. 1C. 2D. 3

8. 用配方法解下列方程时，配方正确的是
A. 方程 x2−6x−5=0，可化为 x−32=4
B. 方程 y2−2y−2015=0，可化为 y−12=2015
C. 方程 a2+8a+9=0，可化为 a+42=25
D. 方程 2x2−6x−7=0，可化为 x−322=234

9. 如图所示，在 △ABC 中，∠CAB=70∘，现将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转一定角度后得到 △ABʹCʹ，连接 BBʹ，若 BBʹ∥ACʹ，则 ∠CABʹ 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 40∘

10. 已知二次函数 y=x−m2−1，当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是
A. m=3B. m>3C. m≥3D. m≤3

11. 如图，⊙O 的半径为 4，点 P 是 ⊙O 外的一点，PO=10，点 A 是 ⊙O 上的一个动点，连接 PA，直线 l 垂直平分 PA，当直线 l 与 ⊙O 相切时，PA 的长度为
A. 10B. 212C. 11D. 434

12. 如图是抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象，其顶点坐标为 1,n，且与 x 轴的一个交点在点 3,0 和点 4,0 之间．则下列结论：
① a−b+c>0；
② 3a+b=0；
③ b2=4ac−n；
④一元二次方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 方程 x2−3=0 的根是 ．

14. 如图：M 为反比例函数 y=kx 图象上一点，MA⊥y 轴于点 A，S△MAO=2 时，k= ．

15. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD=30∘，则 ∠A 的度数为 ．

16. 若关于 x 的一元二次方程 x2−4x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ．

17. 如图，量角器边缘上有 P，Q 两点，它们对应的度数分别为 60∘，30∘，已知直径 AB=43，连接 PB 交 OQ 于 M，则 QM 的长为 ．

18. 如图，在 △BDE 中，∠BDE=90∘，BD=62，点 D 的坐标是 7,0，∠BDO=15∘，将 △BDE 旋转到 △ABC 的位置，点 C 在 BD 上，则旋转中心的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：
（1）3xx−1=2x−2；
（2）x2−6x+5=0（配方法）．

20. 如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，4．转动 A，B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在等分线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

21. 已知直线 l 与 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D．
（1）如图 1，当直线 l 与 ⊙O 相切于点 C 时，求证：AC 平分 ∠DAB；
（2）如图 2，当直线 l 与 ⊙O 相交于点 E，F 时，求证：∠DAE=∠BAF．

22. 已知二次函数 y=−x2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，与 y 轴的交点坐标为 0,3．
（1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围；
（3）当 2≤x≤4 时，求 y 的最大值．

23. 如图，某建筑工程队利用一面墙（墙的长度不限），用 40 米长的篱笆围成一个长方形的仓库．
（1）若长方形的面积是 150 平方米，求出长方形两邻边的长；
（2）能否围成面积是 220 平方米的长方形?请说明理由．

24. 图 1 和图 2 中的四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形．
（1）如图 1，连接 DE，BG，M 为线段 BG 的中点，连接 AM，探究 AM 与 DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）在图 1 的基础上，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 DE，BG，M 为线段 BG 的中点，连接 AM，探究 AM 与 DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

25. 如图，直线 y=−12x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=−x2+bx+c 经过 A，B 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是第一象限抛物线上的一点，连接 PA，PB，PO，若 △POA 的面积是 △POB 面积的 43 倍．
①求点 P 的坐标；
②点 Q 为抛物线对称轴上一点，请直接写出 QP+QA 的最小值；
（3）点 M 为直线 AB 上的动点，点 N 为抛物线上的动点，当以点 O，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. A
5. B
6. B【解析】根据题意画出图形（如图），
利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
7. A
8. D
9. C
10. C
11. B
12. C
第二部分
13. x1=3，x2=−3
14. −4
15. 60∘
16. m<4
17. 23−3
18. 4,33
第三部分
19. （1）
3xx−1=2x−1,3xx−1−2x−1=0,
即
x−13x−2=0,
所以
x−1=0或3x−2=0,
解得：
x=1或x=23.
（2） 因为
x2−6x=−5,
所以
x2−6x+9=−5+9,
即
x−32=4,
所以
x−3=2或x−3=−2,
解得：
x=5或x=1.
20. （1） 画树状图得：
则共有 12 种等可能的结果；
（2） 因为两个数字的积为奇数的有 4 种情况，
所以两个数字的积为奇数的概率为：412=13．
21. （1） 连接 OC，
∵ 直线 l 与 ⊙O 相切于点 C，
∴ OC⊥CD；
∵ AD⊥CD，
∴ AD∥OC，
∴ ∠DAC=∠ACO；
∵ OA=OC，
∴ ∠ACO=∠CAO，
∴ ∠DAC=∠CAO，即 AC 平分 ∠DAB；
（2） 连接 BF，
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AFB=90∘，
∴ ∠BAF=90∘−∠B，
∵ 四边形 ABFE 是 ⊙O 的内接四边形，
∴ ∠AEF+∠B=180∘，
∵ ∠AEF+∠DEA=180∘，
∴ ∠B=∠DEA．
又 AD⊥DF，
∴ ∠BAF=∠DAE．
22. （1） 把 −1,0，0,3 代入 y=−x2+bx+c，
得 −1−b+c=0,c=3,
解得 b=2,c=3,
所以二次函数的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2） −1 （3） 由
y=−x2+2x+3=−x−12+4,
抛物线的对称轴为直线 x=1，
当 2≤x≤4 时，y 随着 x 的增大而减小．
所以当 x=2 时，y 有最大值为 3．
23. （1） 设垂直于墙的一边长为 x m，得：
x40−2x=150,
即
x2−20x+75=0,
解得：
x1=5,x2=15,
当 x=5 时，40−2x=30，
当 x=15 时，40−2x=10，
∴ 长方形两邻边的长为 5 m，30 m 或 15 m，10 m；
（2） 答：不能围成面积是 220 平方米的长方形 .
设垂直于墙的一边长为 y m，得：
y40−2y=220,
即
y2−20y+110=0,∵Δ<0
，
该方程无解．
∴ 不能围成面积是 220 平方米的长方形．
24. （1） AM=12DE，AM⊥DE，理由是：
如图 1，
设 AM 交 DE 于点 O，
因为四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，
所以 AG=AE，AD=AB，∠DAE=∠BAG，
在 △DAE 与 △BAG 中，
DA=AB,∠DAE=∠BAG,AE=AG,
所以 △DAE≌△BAG，
所以 DE=BG，∠AED=∠AGB，
在 Rt△ABG 中，
因为 M 为线段 BG 的中点，
所以 AM=12BG，AM=BM，
所以 AM=12DE，
因为 AM=BM，
所以 ∠MBA=∠MAB，
因为 ∠AGB+∠MBA=90∘，
所以 ∠MAB+∠AED=90∘，
所以 ∠AOE=90∘，即 AM⊥DE．
（2） AM=12DE，AM⊥DE，理由是：
如图 2，延长 AM 到 N，使 MN=AM，连接 NG，
在 △MNG 与 △MAB 中，
MN=AM,∠NMG=∠AMB,GM=BM,
所以 △MNG≌△MAB，
所以 NG=AB，∠N=∠BAN，
因为 AB=AD，
所以 NG=AD，
因为 ∠BAN+∠DAN=90∘，
所以 ∠N+∠DAN=90∘，
所以 NG⊥AD，
所以 ∠AGN+∠DAG=90∘，
因为 ∠DAG+∠DAE=∠EAG=90∘，
所以 ∠AGN=∠DAE，
在 △AGN 与 △DAE 中，
AG=AE,∠AGN=∠DAE,GN=AD,
所以 △AGN≌△EAD，
所以 AN=DE，∠N=∠ADE，
因为 ∠N+∠DAN=90∘，
所以 ∠ADE+∠DAN=90∘，
所以 AM⊥DE．
∵ △AGN≌△EAD，
∴ AN=DE .
∵ MN=AM，
∴ AM=12DE .
25. （1） ∵ y=−12x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴ A2,0，B0,1．
∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A，B，
∴ c=1,−4+2b+c=0.
∴ b=32,c=1.
抛物线的解析式为 y=−x2+32x+1．
（2） ①设 P 点坐标为 x,−x2+32x+1，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，PN 垂直于 y 轴，垂足分别为 M，N．
∴ PM=−x2+32x+1，PN=x．
∵ △POA 的面积是 △POB 面积的 43 倍，
∴ 43×12⋅OB⋅PN=12⋅OA⋅PM．
∴ 43×12×1⋅x=12×2−x2+32x+1．
解得 x1=32，x2=−23舍去．
当 x=32 时，y=1．
∴ P 点坐标为 32,1．
② QP+QA 的最小值为 5．
（3） M11,12，M22+1,−2+12，M3−2+1,2+12，M42−1,−2+32，M5−2−1,2+32．