2018-2019学年天津市河东区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年天津市河东区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知一元二次方程 x2+kx−3=0 有一个根为 1，则 k 的值为
A. −2B. 2C. −4D. 4

2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列事件中，是必然事件的是
A. 任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数
B. 13 个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D. 明天一定会下雨

4. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 为 8 mm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 mm，则 ⊙O 的半径等于
A. 3 mmB. 4 mmC. 5 mmD. 8 mm

5. 如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，BC=2，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △AED，则 BE 的长为
A. 5B. 4C. 3D. 2

6. 一元二次方程 2x2−3x=1 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法判断

7. 二次函数 y=3x−22−5 与 y 轴交点坐标为
A. 0,2B. 0,−5C. 0,7D. 0,3

8. 如图，⊙O 中，OA⊥BC，∠AOC=50∘，则 ∠ADB 的度数为
A. 15∘B. 25∘C. 30∘D. 50∘

9. 对于反比例函数 y=−2x，下列说法不正确的是
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
C. 图象经过点 1,−2
D. 若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在图象上，且 x1
10. 如图，点 P 是 ⊙O 外任意一点，PM，PN 分别是 ⊙O 的切线，M，N 是切点．设 OP 与 ⊙O 交于点 K．则点 K 是 △PMN 的
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点

11. 如图，有一张矩形纸片，长 10 cm，宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为
A. 10×6−4×6x=32B. 10−2x6−2x=32
C. 10−x6−x=32D. 10×6−4x2=32

12. 已知二次函数 y=−x−h2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为 −1，则 h 的值为
A. 3 或 6B. 1 或 6C. 1 或 3D. 4 或 6

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，点 P 在反比例函数 y=kxx<0 的图象上，PA⊥x 轴于点 A，△PAO 的面积为 5，则 k 的值为 ．

14. 边长为 2 的正六边形的内切圆的半径为 ．

15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=60∘，将 △ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40∘ 后得到 △ADE，则 ∠BAE= ．

17. 在二次函数 y=x2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示：
x⋯012345⋯y⋯830−103⋯
若 A−1,m，B6,n，则 m n（选填“>”，“<”或“=”）

18. 如图，正方形 ABCD 中，AB=3 cm，以 B 为圆心，1 cm 长为半径画 ⊙B，点 P 在 ⊙B 上移动，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 APʹ，连接 BPʹ．在点 P 移动的过程中，BPʹ 长度的最小值为 cm．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程．
（1）x2+4x−3=0（用配方法）．
（2）3x2x+3=4x+6．

20. 如图，已知正比例函数 y=2x 与反比例函数 y=kxk>0 的图象交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4．
（1）求 k 的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CP∥AB，在 CP 上截取 CF=CD，连接 BF．
（1）求证：直线 BF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，BC=25，求线段 CD 和 BF 的长．

22. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成 4 个扇形，分别标有 1，2，3，4 四个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏．当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程 x2−4x+3=0 的解的概率．

23. 某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x（元/件）与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得 1500 元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元?
（3）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少?

24. 如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边 AB，AEAB（1）当正方形 AEFG 旋转至如图 2 所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图 3，如果 α=45∘，AB=2，AE=42，求点 G 到 BE 的距离．

25. 已知，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A−1,0 和 C0,3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小?如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点 M 在抛物线的对称轴上，当 △MAC 是直角三角形时，求点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】把 x=1 代入方程得 1+k−3=0，解得 k=2．
2. C【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
3. B【解析】A．“任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数”是随机事件，故此选项错误；
B．“13 个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；
C．“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；
D．“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误．
4. C【解析】连接 OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=12AB=4，
由勾股定理得，OA=AD2+OD2=5．
5. B
【解析】∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △AED，
∴AB=AE，∠BAE=60∘，
∴△AEB 是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=4，
∴BE=4．
6. A【解析】原方程整理得：2x2−3x−1=0，
∴a=2，b=−3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=9−4×2×−1=17>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
7. C【解析】∵y=3x−22−5，
∴ 当 x=0 时，y=7，
∴ 二次函数 y=3x−22−5 与 y 轴交点坐标为 0,7．
8. B【解析】如图，连接 OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50∘，
∴∠AOB=∠AOC=50∘，
则 ∠ADB=12∠AOB=25∘．
9. D【解析】A．k=−2<0，
∴ 它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B．k=−2<0，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项正确；
C．∵−21=−2，
∴ 点 1,−2 在它的图象上，故本选项正确；
D．若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在图象上，若 x1<010. C
【解析】如图，连接 OM，ON，NK，
∵PM，PN 分别是 ⊙O 的切线，
∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM，
∴∠1+∠ONK=90∘，∠2+∠OKN=90∘，
∵OM=ON，
∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN，
∴∠1=∠2，
∴ 点 K 是 △PMN 的角平分线的交点．
11. B【解析】设剪去的小正方形边长是 x cm，则纸盒底面的长为 10−2xcm，宽为 6−2xcm，
根据题意得：10−2x6−2x=32．
12. B【解析】如图，
当 h<2 时，有 −2−h2=−1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当 2≤h≤5 时，y=−x−h2 的最大值为 0，不符合题意；
当 h>5 时，有 −5−h2=−1，
解得：h3=4（舍去），h4=6，
综上所述：h 的值为 1 或 6．
第二部分
13. −10
【解析】∵S△PAO=5，
∴12∣x⋅y∣=5，即 12∣k∣=5，则 ∣k∣=10．
∵ 图象经过第二象限，
∴k<0，
∴k=−10．
14. 3
【解析】如图，连接 OA，OB，OG．
∵ 六边形 ABCDEF 是边长为 2 的正六边形，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA⋅sin60∘=2×32=3，
∴ 边长为 2 的正六边形的内切圆的半径为 3．
15. 13
【解析】图中有 9 个小正方形，其中黑色区域一共有 3 个小正方形，
∴ 随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是 39=13．
16. 100∘
【解析】∵△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40∘ 后得到 △ADE，
∴∠CAE=40∘，
∵∠BAC=60∘，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60∘+40∘=100∘．
17. >
【解析】由表格中数据可得，抛物线的对称轴为：直线 x=3，
由 a=1，可得抛物线开口向上，
∵ 3−−1=4，6−3=3，
∴ B 点距离对称轴距离近，
∴ m>n．
18. 32−1
【解析】如图，当 Pʹ 在对角线 BD 上时，BPʹ 最小，连接 BP，
由旋转得：AP=APʹ，∠PAPʹ=90∘，
∴∠PAB+∠BAPʹ=90∘，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAPʹ+∠DAPʹ=90∘，
∴∠PAB=∠DAPʹ，
∴△PAB≌△PʹAD，
∴PʹD=PB=1，
在 Rt△ABD 中，
∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=32+32=32，
∴BPʹ=BD−PʹD=32−1，即 BPʹ 长度的最小值为 32−1cm．
第三部分
19. （1） 方程整理得：
x2+4x=3.
配方得：
x2+4x+4=7.
即
x+22=7.
开方得：
x+2=±7.
解得：
x1=−2+7,x2=−2−7.
（2） 方程整理得：
3x2x+3−22x+3=0.
分解因式得：
3x−22x+3=0.
可得
3x−2=0或2x+3=0.
解得：
x1=23,x2=−32.
20. （1） ∵ 点 A 在正比例函数 y=2x 的图象上，
∴ 把 x=4 代入 y=2x，解得 y=8，
∴ 点 A4,8，把点 A4,8 代入反比例函数 y=kx，得 k=32．
（2） ∵ 点 A 与 B 关于原点对称，
∴B 点坐标为 −4,−8，
由交点坐标，根据图象可知，正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围是 x<−4 或 021. （1） 连接 BD，
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BDC=90∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CP∥AB，
∴∠ABC=∠BCF，
∴∠ACB=∠BCF，
由 CF=CD，BC=BC，
∴△BCD≌△BCF，
∴∠BDC=∠BFC=90∘，
∵CP∥AB，
∴∠ABC=90∘，
∴BF 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 CD=x，则 AD=5−x，
根据勾股定理，BD2=AB2−AD2=BC2−CD2，
即 52−5−x2=252−x2，解得 x=2，
∴CD=2，BD=4，
由（1）知 △BCD≌△BCF，
∴BD=BF=4．
22. （1） 列表如下：
123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4
（2） 所有等可能的情况有 16 种，其中是方程 x2−4x+3=0 的解得有 1,3，3,1 共 2 种，则 P是方程解=216=18．
23. （1） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+bk≠0，
由所给函数图象可知：130k+b=50,150k+b=30,
解得：k=−1,b=180,
故 y 与 x 的函数关系式为 y=−x+180．
（2） 根据题意，得：
x−100−x+180=1500.
整理，得：
x2−280x+19500=0.
解得：
x=130.
或
x=150.
答：每件商品的销售价应定为 130 元或 150 元．
（3） ∵y=−x+180，
∴W=x−100y=x−100−x+180=−x2+280x−18000=−x−1402+1600，
∴ 当 x=140 时，W最大=1600，
∴ 售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W=1600 元．
24. （1） 由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，
由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG．
∵ 在 △ABE 和 △ADG 中，
AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AG,
∴△ABE≌△ADG．
∴BE=DG．
（2） 连接 GE，BG，延长 AD 交 GE 于 H．
当 α=45∘ 时，则 ∠BAD=45∘．
∵∠BAD=∠EAG=90∘．
∴∠EAH=∠GAH=45∘．
又 ∵AE=AG，
∴AH⊥GE．
又 ∵AH⊥AB，∠EAH=45∘，
∴△AHE 为等腰直角三角形．
∴EH=AH=22AE=4．
∴EG=2EH=8．
∴S△BEG=12EG⋅AH=12×8×4=16．
设点 G 到 BE 的距离为 h，BE=42+22=25，
S△BEG=12EB⋅h=16，即 12×25h=16，解得 h=1655．
∴ 点 G 到 BE 的距离为 1655．
25. （1） 将 A−1,0，C0,3 代入 y=−x2+bx+c 中，
得：−1−b+c=0,c=3,
解得：b=2,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 PA+PC 取最小值，如图 1 所示，
当 y=0 时，有 −x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，
∵ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+dk≠0，
将 B3,0，C0,3 代入 y=kx+d 中，
得：3k+d=0,d=3,
解得：k=−1,d=3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3，
∵ 当 x=1 时，y=−x+3=2，
∴ 当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为 1,2．
（3） 设点 M 的坐标为 1,m，
则 CM=1−02+m−32，
AC=0−−12+3−02=10，
AM=1−−12+m−02，
分三种情况考虑：
① 当 ∠AMC=90∘ 时，有 AC2=AM2+CM2，即 10=1+m−32+4+m2，
解得：m1=1，m2=2，
∴ 点 M 的坐标为 1,1 或 1,2；
② 当 ∠ACM=90∘ 时，有 AM2=AC2+CM2，即 4+m2=10+1+m−32，
解得：m=83，
∴ 点 M 的坐标为 1,83；
③ 当 ∠CAM=90∘ 时，有 CM2=AM2+AC2，即 1+m−32=4+m2+10，
解得：m=−23，
∴ 点 M 的坐标为 1,−23．
综上所述：当 △MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为 1,1，1,2，1,83 或 1,−23．