2020-2021学年天津市河东区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市河东区九上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一元二次方程 3x2+2x−3=0 的一次项系数和常数项分别是
A. 2 和 −3B. 3 和 −2C. −3 和 2D. 3 和 2

2. 下列关系式中，不是 y 关于 x 的反比例函数的是
A. xy=2B. y=5x8C. x=57yD. x=5y−3

3. 拋掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝朝上”的概率为 0.5，那么拋掷一枚质地均匀的硬币 100 次，下列理解正确的是
A. 可能有 50 次反面朝上B. 每两次必有 1 次反面朝上
C. 必有 50 次反面朝上D. 不可能有 100 次反面朝上

4. 如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 90∘，那么圆心 O 到弦 AB 的距离为
A. 2B. 2C. 22D. 32

5. 下面图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 已知 ⊙O 的半径 OA 长为 1，若 OB=2，则正确图形可能是
A. B.
C. D.

7. 如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在 ⊙O 上，过点 B 作 ⊙O 的切线交 OA 的延长线于点 D．若 ⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 2

8. 已知反比例函数 y=−6x，下列说法中正确的是
A. 图象分布在第一、三象限B. 点 −4,−3 在函数图象上
C. y 随 x 的增大而增大D. 图象关于原点对称

9. 已知 Rt△ABC 在平面直角坐标系中如图放置，∠ACB=90∘，且 y 轴是 BC 边的中垂线．已知 S△ABC=6，反比例函数 y=kxk≠0 图象刚好经过 A 点，则 k 的值为
A. 6B. −6C. 3D. −3

10. 函数 y=−kx 与 y=kx2−kk≠0 在同一直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

11. 为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由 67500 袋增加到 90000 袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为 x，则可列方程为
A. 675001+2x=90000
B. 67500+675001+x+675001+x2=90000
C. 67500×21+x=90000
D. 675001+x2=90000

12. 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 过点 1,0 和点 0,−3，且顶点在第三象限，设 m=a−b+c，则 m 的取值范围是
A. −6
二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若 m 是一元二次方程 x2−3x+1=0 的一个根，则 2020−m2+3m= ．

14. 如图，六边形 ABCDEF 是半径为 2 的 ⊙O 的内接正六边形，则劣弧 CD 的长为 ．

15. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．

16. 如图，已知 ⊙O 的半径为 3，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是 ∠AOB，∠COD，若 ∠AOB 与 ∠COD 互补，弦 CD=4，则弦 AB 的长为 ．

17. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，点 A，B 在半径为 2 的圆上，点 C 在圆内，将正三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转，当边 AC 第一次与圆相切时，旋转角为 ．

18. 图①，图②，图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A，B，C，D，E，F 均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段 AB 为边画一个中心对称四边形 ABGH，使其面积为 9．
（2）在图②中以线段 CD 为边画一个轴对称四边形 CDMN，使其面积为 10．
（3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFPQ，使其满足仅有一对对角都为直角．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解下列方程：
（1）2x−3=3x3−x；
（2）3x2−5x+2=0．

20. 在甲口袋中有三个球分别标有数码 1，−2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码 4，−5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果．
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．

21. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，∠P=44∘．
（1）如图 1，若点 C 为优弧 AB 上一点，求 ∠ACB 的度数．
（2）如图 2，在（1）的条件下，若点 D 为劣弧 AC 上一点，求 ∠PAD+∠C 的度数．

22. 在二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
x⋯01234⋯y⋯30−10m⋯
（1）求这个二次函数的表达式及 m 的值；并利用所给的坐标网格，画出该函数图象．
（2）将这个二次函数向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的函数解析式．

23. 某公司在市场销售“国耀 2020”品牌手机，第一年售价定为 4500 元时，销售量为 14 百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低 500 元，销售量就增加 2 百万台，设该手机在市场销售的年份为 x 年（x 为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
第x年123⋯x售价元45004000①②销售量百万台1416③⋯④
（2）设第 x 年“国耀 2020”手机的年销售额为 y（百万元），试问该公司销售“国耀 2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大?最大值为多少百万元?
（3）若生产一台“国耀 2020”手机的成本为 3000 元，如果你是该公司的决策者，要使得公司的累计总利润最大，那么“国耀 2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机．

24. 如图 1，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，点 D 在 AB 边的延长线上，且 CD=AB．
（1）求 BD 的长度．
（2）如图 2，将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 α0∘<α<360∘ 得到 △AʹCDʹ．
①若 α=30∘，AʹDʹ 与 CD 相交于点 E，求 DE 的长度．
②连接 AʹD，BDʹ，若旋转过程中 AʹD=BDʹ 时，求满足条件的 α 的度数．
（3）如图 3，将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 α0∘<α<360∘ 得到 △AʹCDʹ，若点 M 为 AC 的中点，点 N 为线段 AʹDʹ 上任意一点，直接写出旋转过程中线段 MN 长度的取值范围．

25. 如图，抛物线 y=12x2−32x−2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，直线 y=kx+m 经过点 B，C．
（1）求 k 的值．
（2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，求四边形 ACPB 面积最大时点 P 的坐标．
（3）若 M 是抛物线上一点，且 ∠MCB=∠ABC，请直接写出点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】一元二次方程 3x2+2x−3=0 的一次项系数为 2，常数项为 −3．
2. B【解析】A选项、C选项、D选项：反比例函数的形式有：y=kxk≠0,x≠0，
变形：xy=kk≠0，y=kx−1k≠0,x≠0，故ACD正确；
B选项：y=5x8 是一次函数，故B错误．
3. A【解析】拋掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为 12，
那么抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，可能有 50 次反面朝上．
4. C【解析】过点 O 作 OC⊥AB 于 C，
∵OA=OB=4，∠AOB=90∘，
∴AB=OA2+OB2=42，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴OC=12AB=22，
即 O 到 AB 距离为 22．
5. A
【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义可知：
A选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，故A正确；
B选项：图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，故B错误；
C选项：图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
6. D【解析】∵⊙O 的半径 OA 长为 1，若 OB=2，
∴OA ∴ 点 B 在圆外．
7. C【解析】连接 OB，
∵DB 是 ⊙O 的切线，
∴∠OBD=90∘，
∵ 四边形 OABC 为菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB 为等边三角形，
∴∠AOB=60∘，
∴∠ODB=30∘，
∴OD=2OB=2，
由勾股定理得，BD=OD2−OB2=3．
8. D【解析】A选项：k=−6<0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误．
B选项：因为 −3×−4=12≠−6，
所以点 −4,−3 不在函数图象上，故说法错误．
C选项：因为反比例函数 y=−6x 中 −6<0，
所以函数的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故本选项不符合题意．
D选项：反比例函数 y=−6x 的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意．
9. B【解析】设 OC=m，AC=n，
∴A−m,n，
∵y 轴是 BC 的中垂线，
∴OC=OB=m，
∴BC=2m，
∴S△ABC=12×2m×n=mn=6，
∵A−m,n 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴n=k−m，
∴k=−mn=−6．
10. B
【解析】①当 k>0，则 −k<0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在 y 轴负半轴上；
② k<0 时，则 −k>0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在 y 轴正半轴上；故选项B符合题意．
11. D【解析】设增长率为 x，
而第一个月的口罩生产为 67500 袋，
则第二个月的生产量为 675001+x 袋，
则第三个月的生产量为 675001+x2 袋，
那么可以列的方程：675001+x2=90000．
12. A【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 过点 1,0 和点 0,−3，
∴c=−3，a+b+c=0，
即 b=3−a，
∵ 顶点在第三象限，
∴−b2a<0，4ac−b24a<0，
又 ∵a>0，
∴b>0，
∴b=3−a>0，即 a<3，
b2−4ac=−a−c2−4ac=a−c2>0，
∵a+b+c=0，
∴a−b+c=−2b<0，
∴a−b+c=−2b=2a−6，
∵0 ∴a−b+c=−2b=2a−6>−6，
∴−6 ∴−6第二部分
13. 2021
【解析】∵m 是一元二次方程 x2−3x+1=0 的一个根，
∴m2−3m+1=0，
∴m2=3m−1，
∴2020−m2+3m=2020−3m−1+3m=2020−3m+1−3m=2021.
14. 2π3
【解析】∵ 多边形 ABCDEF 为正六边形，
∴∠BCD=6−2×360∘÷6=120∘，
则 ∠OCD=60∘，
连接 OD，
则 OC=OD，
∴∠COD=60∘，
∴CD=60π⋅2180=23π．
15. 49
【解析】观察图形可知：
阴影部分为一矩形，其长为 22+22=22，
宽为：12+12=2，
故其面积为：22×2=4，
大正方形面积为：3×3=9，
故飞镖落在阴影部分的概率为：49．
16. 25
【解析】如图，延长 AO 交 ⊙O 于 T，连接 BT．
∵∠AOB+∠BOT=180∘，∠AOB+∠COD=180∘，
∴∠COD=∠BOT，
∴CD=BT，
∴CD=BT=4，
∵AT 是直径，AT=6，
∴∠ABT=90∘，
∴AB=AT2−BT2=62−42=25．
17. 75∘
【解析】如图，连接 OA，OB，
∵OA=OB=2，AB=2，
∴△OAB 是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45∘，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴∠CAO=15∘，
∵ACʹ 与圆相切，
∴∠CʹAO=90∘，
∴∠CACʹ=75∘，
∴ 当边 AC 第一次与圆相切时，旋转角为 75∘．
18. （1）所作图形如下：
（2）所作图形如下：
（3）所作图形如下：
【解析】（1）以线段 AB 为边的中心对称四边形 ABGH，其面积为 9；
（2）以线段 CD 为边的轴对称四边形 CDMN，其面积为 10；
（3）以线段 EF 为边的四边形 EFPQ，其满足仅有一对对角都为直角．
第三部分
19. （1）
∵2x−3=−3xx−3,∴2x−3+3xx−3=0.
则
x−33x+2=0,∴x−3=0或3x+2=0.
解得
x1=3,x2=−23.
（2）
∵3x2−5x+2=0,∴x−13x−2=0.
则
x−1=0或3x−2=0.
解得
x1=1,x2=23.
20. （1） 列表如下．
1−2341,4−2,43,4−51,−5−2,−53,−561,6−2,63,6
（2） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的有 4 种结果，
∴ 所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为 49．
21. （1） 连接 OA，OB，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAP=90∘，∠OBP=90∘，
∴∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠P=360∘−90∘−90∘−44∘=136∘,
∴∠ACB=12∠AOB=68∘．
（2） 连接 AB，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴PA=PB，
∵∠P=44∘，
∴∠PAB=∠PBA=12180∘−44∘=68∘，
∵∠DAB+∠C=190∘，
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180∘+68∘=248∘．
22. （1） 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 1,0，3,0，
∴ 可设抛物线解析式为 y=ax−1x−3，
∵ 过点 0,3，
∴a=1，
∴y=x−1x−3=x2−4x+3，
当 x=4 时，m=3，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−4x+3，m 的值为 3；
y=x2−4x+3=x−22−1，
顶点坐标为 2,−1，与 y 轴的交点坐标为 0,3，
函数图象如下：
（2） 由题意得：
y=x−2+22−1+1=x2．
23. （1） 由题意可得
①：3500，
②：−500x+4500，
③：18，
④：2x+14．
故答案为：3500，−500x+4500，18，2x+14．
（2） 由题意可得
y=−500x+45002x+14=−1000x2−7000x+9000x+63000=−1000x2−2x+63000=−1000x−12+64000.
∵−1000<0，故抛物线开口向下，y 有最大值，
∴ 当 x=1 时，y 最大值为 64000．
答：第一年的销售额最大，最大为 64000 百万．
（3） 4
【解析】由题意可得，当利润为 0 时，就应该停产．
∴2x+14−500x+4500−3000=0，
∴−1000x2+9000x−6000x−7000x+63000−42000=0．
−x2−4x+21=0，
x+7x−4=0，
解得：x1=4，x2=−7（舍去）．
答：手机销售 4 年就应该停产．
24. （1） 如图 1，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，
∵∠ACB=90∘，AC=BC=6，CH⊥AB，
∴AB=62，CH=12AB=32，∠CAB=∠CBA=45∘，
∵AB=CD，
∴CH=12CD，
∴sin∠ADC=CHCD=12，
∴∠ADC=30∘；
HD=3CH=36，BD=HD−HB=36−32．
（2） ①如图 2，过点 E 作 EF⊥CDʹ 于 F，
∵ 将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 α0∘<α<360∘ 得到 △AʹCDʹ，
∴CD=CDʹ=62，∠DCDʹ=30∘=∠CDA=∠CDʹAʹ，
∴CE=DʹE，
又 ∵EF⊥CDʹ，
∴CF=DʹF=32，EF=CF3=6，CE=2EF=26，
∴DE=DC−CE=62−26．
②如图 2−1，
∵∠ABC=45∘，∠ADC=30∘，
∴∠BCD=15∘，
∴∠ACD=105∘，
∵ 将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 α0∘<α<360∘ 得到 △AʹCDʹ，
∴AC=AʹC，CD=CDʹ，∠ACAʹ=∠DCDʹ=α，
∴CB=CAʹ，
又 ∵AʹD=BDʹ，
在 △AʹCD 和 △BCDʹ 中，
AʹC=BC,AʹD=BDʹ,CD=CDʹ,
∴△AʹCD≌△BCDʹSSS，
∴∠AʹCD=∠BCDʹ，
∴105∘−α=15∘+α，
∴α=45∘；
如图 2−2，
同理可证：△AʹCD≌△BCDʹ，
∴∠AʹCD=∠BCDʹ，
∴α−105∘=360∘−α−15∘，
∴α=225∘，
综上所述：满足条件的 α 的度数为 45∘ 或 225∘．
（3） 32−3≤MN≤62+3
【解析】如图 3，
当 AʹDʹ⊥AC 时，N 是 AC 与 AʹDʹ 的交点时，MN 的长度最小，
∵∠Aʹ=45∘，AʹDʹ⊥AC，
∴∠Aʹ=∠NCAʹ=45∘，
∴CN=AʹN=32，
∵ 点 M 为 AC 的中点，
∴CM=12AC=3，
∴MN 的最小值 =NC−CM=32−3；
如图 3−1，
当点 A，点 C，点 Dʹ 共线时，且点 N 与点 Dʹ 重合时，MN 有最大值，
此时 MN=CM+CN=62+3，
∴ 线段 MN 的取值范围是 32−3≤MN≤62+3，
故答案为：32−3≤MN≤62+3．
25. （1） ∵ 抛物线 y=12x2−32x−2 与 x 轴交于点 A，点 B，
令 y=0，解 12x2−32x−2=0，
得 x1=−1，x2=4，
即 A−1,0，B4,0．
∵ 抛物线 y=12x2−32x−2 与 y 轴交于点 C，
令 x=0，解得 y=−2，
即 C0,−2．
又直线 y=kx+m 经过点 B，C，
可得 0=4k+m,−2=m,
解得：m=−2，k=12．
（2） 如图，过点 P 作 PE⊥AB 交 BC 于点 E，
设点 Pa,12a2−32a−2，则点 Ea,12a−2．
∴PE=12a−2−12a2−32a−2=−12a2+2a．
∵ 物线线 y=12x2−32x−2 与 x 轴交于点 A−1,0，B4,0，
∴四边形ACPB面积=124+1×2+12×−12a2+2a×4=−a−22+9.
此时点 P2,−3．
（3） M173,509 或 3,−2．
【解析】如图，当点 M 在 BC 上方时，设 CM 交 AB 于点 H．
∵∠MCB=∠ABC，
∴CH=BH，
∴CH2=OC2+OH2，
∴BH2=4+4−BH2，
∴BH=52，
∴OH=32，
∴ 点 H32,0，
∵ 点 C0,−2，点 H32,0，
∴ 直线 CH 解析式为 y=43x−2，
联立方程组可得 y=43x−2,y=12x2−32x−2,
解得：x1=0,y1=−2 或 x2=173,y2=509,
∴ 点 M173,509．
如图，当点 M 在 BC 下方时，
∵∠MCB=∠ABC，
∴MC∥AB，
∴ 点 M 的纵坐标为 −2，
∴ 点 M 的坐标为 3,−2．