2019-2020学年天津市河东区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市河东区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A. 1 cm，2 cm，3 cmB. 1 cm，4 cm，2 cm
C. 2 cm，3 cm，4 cmD. 6 cm，2 cm，3 cm

3. 下列运算正确的是
A. −a32=−a6B. 2a2+3a2=6a2
C. 2a2⋅a3=2a6D. −b22a3=−b68a3

4. 若 x−2x+3=x2+ax+b，则 a，b 的值分别为
A. a=5，b=−6B. a=5，b=6C. a=1，b=6D. a=1，b=−6

5. 如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定 △ABE≌△ACD
A. ∠B=∠CB. BE=CDC. BD=CED. AD=AE

6. 如果把分式 x+2yx 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值
A. 不变B. 缩小 5 倍C. 扩大 2 倍D. 扩大 5 倍

7. 若 x2−mx+4 是完全平方式，则 m 的值为
A. 2B. 4C. ±2D. ±4

8. 如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是
A. a−b2=a2−2ab+b2B. aa−b=a2−ab
C. a−b2=a2−b2D. a2−b2=a+ba−b

9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC 由此作法便可得 △NOC≌△MOC，其依据是
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS

10. 如图，在 △ABC 中，AC=DC=DB，∠ACB=105∘，则 ∠B 的大小为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 40∘

11. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，A，B 两点在格点上，位置如图，点 C 也在格点上，且 △ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数为
A. 7B. 8C. 9D. 10

12. 如图所示，在 △ABC 中，内角 ∠BAC 与外角 ∠CBE 的平分线相交于点 P，BE=BC，PG∥AD 交 BC 于 F，交 AB 于 G，连接 CP．下列结论：① ∠ACB=2∠APB；② S△PAC:S△PAB=PC:PB；③ BP 垂直平分 CE；④ ∠PCF=∠CPF．其中正确的有
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 2x5⋅x 的结果等于 ．

14. 当 x= 时，分式 x2−1x+1 的值为 0．

15. 在平面直角坐标系中点 P−2,3 关于 x 轴的对称点在第 象限．

16. 在数轴上点 A，B 对应的数分别为 2，x−5x+1，且点 A，B 到原点距离相等，求 x ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，垂足为 E，当 AB=10，∠B=30∘ 时，△ACD 的周长是 ．

18. △ABC 中，AB=AC=12 厘米，∠B=∠C，BC=9 厘米，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC 上以 v 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 3 厘米/秒，则当 △BPD 与 △CQP 全等时，v 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算题：
（1）x+12x−13；
（2）1x+1+2x2−1．

20. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是 1，点 A−4,1，B−3,3，C−1,2．
（1）作 △ABC 关于 y 轴对称的 △AʹBʹCʹ；
（2）在 x 轴上找出点 P，使 PA+PC 最小，并直接写出 P 点的坐标．

21. 因式分解．
（1）4a2−9；
（2）3ax2+6axy+3ay2．

22. 解方程：xx−1−1x2−x=1．

23. 在 △ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE=AF，BF 与 CE 相交于点 P．
（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）求证：PB=PC．

24. 某校学生利用双休时间去距学校 10 km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．

25. 如图 1，点 C 在线段 AB 上，（点 C 不与 A，B 重合），分别以 AC，BC 为边在 AB 同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE，BD 交于点 P．
（1）观察猜想：
①线段 AE 与 BD 的数量关系为 ．
② ∠APC 的度数为 ．
（2）数学思考：如图 2，当点 C 在线段 AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展应用：如图 3，分别以 AC，BC 为边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE，其中 ∠ACD=∠BCE=90∘，CA=CD，CB=CE，连接 AE=BD 交于点 P，则线段 AE 与 BD 的关系为 ．
答案
第一部分
1. A【解析】A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2. C【解析】A、 1+2=3，不能构成三角形；
B、 1+2<4，不能构成三角形；
C、 2+3>4，能构成三角形；
D、 2+3<6，不能构成三角形．
故选：C．
3. D【解析】A．−a32=a6，此选项错误；
B．2a2+3a2=5a2，此选项错误；
C．2a2⋅a3=2a5，此选项错误；
D．−b22a3=−b68a3，此选项正确．
4. D【解析】已知等式整理得：x2+x−6=x2+ax+b，则 a=1，b=−6．
5. B
【解析】因为 AB=AC，∠A 为公共角，
A、如添加 ∠B=∠C，利用 ASA 即可证明 △ABE≌△ACD；
B、如添 BE=CD，因为 SSA，不能证明 △ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添 BD=CE，等量关系可得 AD=AE，利用 SAS 即可证明 △ABE≌△ACD；
D、如添 AD=AE，利用 SAS 即可证明 △ABE≌△ACD．
故选：B．
6. A【解析】根据题意，得
5x+5×2y5x=5x+2y5x=x+2yx.
∴ 分式的值不变．
7. D【解析】∵x2−mx+4 是完全平方式，
∴−mx=±2×x×2．
∴−m=±4，即 m=±4．
8. D【解析】第一个图形阴影部分的面积是 a2−b2，
第二个图形的面积是 a+ba−b．
则 a2−b2=a+ba−b．
9. A【解析】∵ 在 △ONC 和 △OMC 中，
ON=OM,CO=CO,NC=MC,
∴△MOC≌△NOCSSS，
∴∠BOC=∠AOC．
10. C
【解析】设 ∠B=x，
∵AC=DC=DB，
∴∠CAD=∠CDA=2x，
∴∠ACB=180∘−4x+x=105∘，
解得 x=25∘．
故选：C．
11. C【解析】①以 AB 为底边，符合点 C 的有 5 个；
②以 AB 为腰，符合点 C 的有 4 个．
∴ 符合条件的点 C 共有 9 个．
12. B【解析】∵PA 平分 ∠CAB，PB 平分 ∠CBE，
∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，故①正确；
过 P 作 PM⊥AB 于 M，PN⊥AC 于 N，PS⊥BC 于 S，
∴PM=PN=PS，
∴PC 平分 ∠BCD，
∵S△PAC:S△PAB=12AC⋅PN:12AB⋅PM=AC:AB，故②不正确；
∵BE=BC，BP 平分 ∠CBE
∴BP 垂直平分 CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP
∵PC 平分 ∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④．
第二部分
13. 2x6
【解析】2x5⋅x=2x6．
故答案为 2x6．
14. 1
【解析】由题意得：x2−1=0，且 x+1≠0，解得：x=1．
15. 三
【解析】点 P−2,3 满足点在第二象限的条件．关于 x 轴的对称点的横坐标与 P 点的横坐标相同，是 −2；纵坐标互为相反数，是 −3，则 P 关于 x 轴的对称点是 −2,−3，在第三象限．
故答案是：三．
16. =−7 或 1
【解析】根据题意得：x−5x+1=2 或 x−5x+1=−2．
分别去分母得：x−5=2x+2 或 x−5=−2x−2．
解得：x=−7 或 x=1．
经检验 x=−7 或 x=1 都是分式方程的解．
17. 15
【解析】∵DE 是线段 BC 的垂直平分线，∠ACB=90∘，
∴CD=BD，AD=BD．
又 ∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴AC=12AB，
∴△ACD 的周长 =AC+AB=32AB=15，
故答案为：15．
18. 2.25 或 3
【解析】∵△ABC 中，AB=AC=12 厘米，点 D 为 AB 的中点，
∴BD=6 厘米，
若 △BPD≌△CPQ，
则需 BD=CQ=6 厘米，BP=CP=12BC=12×9=4.5（厘米），
∵ 点 Q 的运动速度为 3 厘米/秒，
∴ 点 Q 的运动时间为：6÷3=2s，
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若 △BPD≌△CQP，则需 CP=BD=6 厘米，BP=CQ，
∴9−vt=6,vt=3t, 解得：v=3．
∴v 的值为：2.25 或 3．
第三部分
19. （1） 原式=x2+12−13x−12⋅13=x2+16x−16.
（2） 原式=x−1x2−1+2x2−1=x+1x2−1=1x−1.
20. （1） 如图所示，△AʹBʹCʹ 即为所求．
（2） 作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʺ，再连接 AʺC 交 x 轴于点 P，其坐标为 −3,0．
21. （1） 原式=2a+32a−3．
（2） 原式=3ax2+2xy+y2=3ax+y2.
22. 去分母得：
x2−1=x2−x.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是增根，分式方程无解．
23. （1） 在 △ABF 和 △ACE 中，
AE=AF,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABF≌△ACESAS．
（2） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∴∠FBC=∠ECB，
∴BP=CP．
24. 设骑车学生的速度为 x 千米/小时，汽车的速度为 2x 千米/小时，
可得：
10x=102x+2060.
解得：
x=15.
经检验 x=15 是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时 15 km，30 km．
25. （1） ① AE=BD
② 60∘
【解析】①如图 1，设 AE 交 CD 于点 O，过点 C 作 CH⊥AE，CG⊥BD，
∵△ADC，△ECB 都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60∘，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCBSAS，
∴AE=BD，∠CAO=∠ODP，S△ACE=S△BCD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠DPO=∠ACO=60∘，
∴∠APB=120∘，
∵S△ACE=S△BCD，
∴12×AE×CH=12×BD×CG，
∴CH=CG，且 CH⊥AE，CG⊥BD，
∴CP 平分 ∠APB，
∴∠APC=60∘．
（2） ①成立，②不成立，
理由：设 AC 交 BD 于点 O．过点 C 作 CH⊥AE，CG⊥BD，
∵△ADC，△ECB 都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60∘，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCBSAS，
∴AE=BD，∠PAO=∠ODC，
∵∠AOP=∠DOC，
∴∠APO=∠DCO=60∘，
∴∠DPE=120∘，
∵S△ACE=S△BCD，
∴12×AE×CH=12×BD×CG，
∴CH=CG，且 CH⊥AE，CG⊥BD，
∴CP 平分 ∠DPE，
∴∠DPC=60∘，
∴∠APC=120∘，
∴ ①成立，②不成立．
（3） AE=BD，AE⊥BD
【解析】设 AC 交 BD 于点 O，
∵∠ACD=∠BCE=90∘，CA=CD，CB=CE，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△AEC≌△DBCSAS，
∴AE=BD，∠CDB=∠CAE，
∵∠AOP=∠COD，∠CDB=∠CAE，
∴∠DCO=∠APO=90∘，
∴AE⊥BD．