2019-2020学年河北省保定市竞秀区乐凯中学八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省保定市竞秀区乐凯中学八上期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16小题；共80分）
1. 下列各数：2，0，0.565656，−0.010010001⋯（每两个 1 之间增加 1 个 0），23，其中无理数的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 下列条件中，不能判断 △ABC 是直角三角形的是
A. a:b:c=3:4:5B. a:b:c=1:2:3
C. ∠A+∠B=∠CD. ∠A:∠B:∠C=3:4:5

3. 下列各式中正确的是
A. 42=±4B. −42=−4
C. −−42=−4D. a2=a

4. 以下二次根式：① 12，② 22，③ 23；④ 27 中，化简后与 3 被开方数相同的是
A. ①和②B. ②和③C. ①和④D. ③和④

5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是
A. B.
C. D.

6. 下列说法正确的是
A. 若 ab=0，则点 Pa,b 表示原点
B. 点 1,a 在第三象限
C. 已知点 A3,−3 与点 B3,3，则直线 AB∥x 轴
D. 若 ab>0，则点 Pa,b 在第一或第三象限

7. 已知 y=2x−5+5−2x−3，则 2xy 的值为
A. −15B. 15C. −152D. 152

8. 如图，在 3×3 的正方形网格中由四个格点 A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是
A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点

9. 下列图象中，表示 y 是 x 的函数的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 若将点 A1,3 向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，则点 B 的坐标为
A. −1,0B. −1,−1C. −2,0D. −2,−1

11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，以 A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点 D，则 CD 的长为
A. 5B. 0.8C. 3−5D. 13

12. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是
A. 乙前 4 秒行驶的路程为 48 米
B. 在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米/秒
C. 两车到第 3 秒时行驶的路程相等
D. 在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度

13. 两个一次函数 y1=ax+b，y2=bx+a，它们在同一直角坐标系中的图象大致是
A. B.
C. D.

14. 李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为 24 米．要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD．设 BC 边的长为 x 米，AB 边的长为 y 米，则 y 与 x 之间的函数关系式是
A. y=−2x+240C. y=2x−240
15. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺．问折高几何?意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈 =10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远．问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为
A. x2−6=10−x2B. x2−62=10−x2
C. x2+6=10−x2D. x2+62=10−x2

16. 如图所示，将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠．点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F，已知 AB=8 cm，BC=4 cm，则折叠后重合部分的面积为
A. 6 cm2B. 8 cm2C. 10 cm2D. 12 cm2

二、填空题（共3小题；共15分）
17. 比较大小：22 7（填“>”，“<”或“=”）．

18. 若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足 a2−6a+9+∣b−4∣=0，则该直角三角形的第三边长为 ．

19. 正方形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，⋯ 按如图放置，其中点 A1，A2，A3，⋯ 在 x 轴正半轴上，点 B1，B2，B3，⋯ 在直线 y=−x+2 上，依此类推 ⋯，则点 A1 的坐标是 ；点 An 的坐标是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
20. 计算．
（1）6−126+6；
（2）−52+−22−81；
（3）18×1−16−32；
（4）3+23−2+1+22．

21. 先观察下列等式，再回答下列问题：
① 1+112+122=1+11−11+1=112；
② 1+122+132=1+12−12+1=116；
③ 1+132+142=1+13−13+1=1112．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 1+142+152 的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，用含 n 的等式表示（n 为正整数）．

22. 已知在平面直角坐标系中有三点 A−2,1，B3,1，C2,3，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点 A，B，C 的位置；
（2）求出以 A，B，C 三点为顶点的三角形的面积；
（3）在 y 轴上是否存在点 P，使以 A，B，P 三点为顶点的三角形的面积为 10，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 某风景区集体门票的收费标准是：20 人以内（含 20 人），每人 25 元；超过 20 人，超过的部分，每人 10 元．
（1）写出应收门票费 y（元）与游览人数 x（人）之间的函数解析式；
（2）利用（1）中的函数解析式计算，某班 54 名学生要去该风景区游览，购买门票一共需要花多少钱?

24. 铁路上 A，B 两站（视为直线上的两点）相距 50 km，C，D 为两村庄（视为两个点），DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B（如图）．已知 DA=20 km，CB=10 km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产收购站 E，使得 C，D 两村庄到收购站 E 的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站 E 到 A 站的距离．

25. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶 x 小时后，记客车离甲地的距离 y1 千米，轿车离甲地的距离 y2 千米，y1，y2 关于的函数图象如图所示：
（1）根据图象直接写出 y1，y2 关于 x 的函数关系式；
（2）当两车相遇时，求此时客车行驶的时间；

26. 已知：如图点 A6,8 在正比例函数图象上，点 B 坐标为 12,0，连接 AB，AO=AB=10，点 C 是线段 AB 的中点，点 P 在线段 BO 上以每秒 2 个单位的速度由点 B 向点 O 运动，点 Q 在线段 AO 上由点 A 向点 O 运动，P，Q 两点同时运动，同时停止，运动时间为 t 秒．
（1）正比例函数的关系式为 ；
（2）当 t=1 秒，且 S△OPQ=6 时，求点 Q 的坐标；
（3）连接 CP，在点 P，Q 运动过程中，△OPQ 与 △BPC 是否全等?如果全等，请求出点 Q 的运动速度；如果不全等，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】0 是整数，属于有理数；0.565656 是有限小数，属于有理数；23 是分数，属于有理数．无理数有 2，−0.010010001⋯（每两个 1 之间增加 1 个 0）共 2 个．
2. D【解析】A．a:b:c=3:4:5，
∴ 设 a=3x，b=4x，c=5x，
而 3x2+4x2=5x2，故为直角三角形；
B．a:b:c=1:2:3，
∴ 设 a=x，b=2x，c=3x，
而 x2+3x2=2x2 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形；
C．∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，则 ∠C=90∘，故为直角三角形；
D．∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴ 设 ∠A=3x，则 ∠B=4x，∠C=5x，
故 3x+4x+5x=180∘，解得 x=15∘，3x=15×3=45∘，
4x=15×4=60∘，5x=15×5=75∘，故此三角形是锐角三角形．
3. C【解析】A．42=4，故本选项错误；
B．−42=4，故本选项错误；
C．−−42=−4，故本选项正确；
D．a2=a，故本选项错误．
4. C【解析】① 12=23，② 22=2，③ 23=63；④ 27=33，化简后与 3 被开方数相同的是：①④．
5. C
【解析】A、有三个直角三角形，其面积分别为 12ab，12ab 和 12c2，
还可以理解为一个直角梯形，其面积为 12a+ba+b，
由图形可知：12a+ba+b=12ab+12ab+12c2，
整理得：a+b2=2ab+c2，
∴a2+b2+2ab=2ab+c2，a2+b2=c2，
∴ 能证明勾股定理；
B、中间正方形的面积 =c2，中间正方形的面积 =a+b2−4×12×ab=a2+b2，
∴a2+b2=c2，能证明勾股定理；
C、不能利用图形面积证明勾股定理，它是对完全平方公式的说明．
D、大正方形的面积 =c2，大正方形的面积 =b−a2+4×12×ab=a2+b2，
∴a2+b2=c2，能证明勾股定理．
6. D【解析】A．若 ab=0，则 a=0 或 b=0，
∴ 点 Pa,b 表示在坐标轴上的点，故此选项不符合题意；
B．当 a>0 时，点 1,a 在第一象限，故此选项不符合题意；
C．已知点 A3,−3 与点 B3,3，A，B 两点的横坐标相同，则直线 AB∥y 轴，故此选项不符合题意；
D．若 ab>0，则 a，b 同号，故点 Pa,b 在第一或三象限，故此选项符合题意．
7. A【解析】由 y=2x−5+5−2x−3，得 2x−5≥0,5−2x≥0,
解得 x=2.5,y=−3.
2xy=2×2.5×−3=−15．
8. B【解析】当以点 B 为原点时，A−1,−1，C1,−1，
则点 A 和点 C 关于 y 轴对称，符合条件．
9. B【解析】第一个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数；
第二个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数；
第三个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数；
第四个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数．
综上所述，表示 y 是 x 的函数的有第一个、第二个，共 2 个．
10. C
【解析】已知点 A1,3 向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，点 B 的横坐标为 1−2=−1，纵坐标为 3−4=−1，
∴B 的坐标为 −1,−1．
11. C【解析】如图，连接 AD，
则 AD=AB=3，
由勾股定理可得，Rt△ADE 中，DE=AD2−AE2=5，
又 ∵CE=3，
∴CD=3−5．
12. C【解析】A．根据图象可得，乙前 4 秒行驶的路程为 12×4=48 米，正确；
B．根据图象得：在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米/秒，正确；
C．根据图象可得两车到第 3 秒时行驶的路程不相等，故本选项错误；
D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度，正确．
13. B【解析】由图可知，A，B，C选项两直线一条经过第一三象限，另一条经过第二四象限，
所以，a，b 异号，
所以，经过第一三象限的直线与 y 轴负半轴相交，经过第二四象限的直线与 y 轴正半轴相交，B选项符合，
D选项，a，b 都经过第二、四象限，
所以，两直线都与 y 轴负半轴相交，不符合．
故选B．
14. B【解析】由实际问题抽象出函数关系式关键是找出等量关系，
本题等量关系为“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为 24 米”，
结合 BC 边的长为 x 米，AB 边的长为 y 米，
可得 BC+2AB=24，即 x+2y=24，即 y=−12x+12．
∵ 菜园的一边是足够长的墙，
∴015. D
【解析】如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，则 AB=10−x，BC=6．
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，即 x2+62=10−x2．
16. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴∠D=90∘，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCA，
∵ 长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，
∴∠FAC=∠BAC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴AF=FC，
设 FC=x cm，则 AF=x cm，DF=8−xcm，
在 Rt△ADF 中，DF2+AD2=AF2，
即 8−x2+16=x2，
解得 x=5，即 CF=5 cm，
∴ 重叠部分 △ACF 的面积 =12CF⋅AD=12×5×4=10cm2．
第二部分
17. >
【解析】222=8，72=7，
∵8>7，
∴22>7．
18. 5 或 7
【解析】∵a2−6a+9+∣b−4∣=0，
∴a−32+∣b−4∣=0，
∴a−32=0，∣b−4∣=0，
∴a=3，b=4，
当 a，b 都是直角边时，则直角三角形的第三边长 =32+42=5，
当 a 为直角边，b 为斜边时，则直角三角形的第三边长 =42−32=7，
∴ 直角三角形的第三边长为 5 或 7．
19. 1,0，2n−12n−1,0
【解析】∵ 四边形 OA1B1C1 是正方形，
∴A1B1=B1C1．
∵ 点 B1 在直线 y=−x+2 上，
∴ 设 B1 的坐标是 x,−x+2．
∴x=−x+2，x=1．
∴B1 的坐标是 1,1．
∴ 点 A1 的坐标为 1,0．
∵A1A2B2C2 是正方形，
∴B2C2=A1C2．
∵ 点 B2 在直线 y=−x+2 上，易得 ∠B1B2C2=45∘，
∴△B1B2C2 为等腰直角三角形，
∴B2C2=B1C2，
∴B2C2=12A1B1=12，
∴OA2=OA1+A1A2=1+12，
∴ 点 A2 的坐标为 1+12,0．
同理，可得到点 A3 的坐标为 1+12+122,0，⋯，
依此类推，可得到点 An 的坐标为 1+12+122+⋯+12n−1,0，
而 1+12+122+⋯+12n−1=2n−12n−1，
则 An 的坐标为 2n−12n−1,0．
第三部分
20. （1） 原式=1−126+6=1−2+6.
（2） 原式=5+2−9=−2.
（3） 原式=32−32×66−32=−3.
（4） 原式=9−2+1+22+2=10+22.
21. （1） 1+142+152=1+14−14+1=1120，
验证：1+142+152=1+116+125=1+25400+16400=441400=1120．
（2） 1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1nn+1（n 为正整数）．
22. （1） 描点如图：
（2） 依题意，得 AB∥x 轴，且 AB=3−−2=5，
∴S△ABC=12×5×2=5．
（3） 存在，0,5 或 0,−3．
【解析】∵AB=5，S△ABP=10，
∴P 点到 AB 的距离为 4，
又点 P 在 y 轴上，
∴P 点的坐标为 0,5 或 0,−3．
23. （1） 当 0≤x≤20 时，y=25x；
当 x>20 时，y=10x−20+20×25=10x+300（其中 x 是整数）．
综上所述，门票费 y（元）与游览人数 x（人）之间的关系式为 y=25x,x≤20500+10x−20,x>20．
（2） 当 x=54 时，y=10x+300=840（元）．
答：为购门票共花了 840 元．
24. 连接 DE，CE，
设 AE=x km，则 BE=50−xkm，
在 Rt△ADE 中，DE2=DA2+AE2，
∴DE2=202+x2，
在 Rt△BCE 中，CE2=CB2+BE2，
∴CE2=102+50−x2，
又 DE=CE，
∴202+x2=102+50−x2，
解得 x=22，
∴ 收购站 E 到 A 站的距离为 22 km．
25. （1） y1=60x，y2=−100x+600．
【解析】由图可知客车 10 小时距离甲地 600 km，
∴y1=60x．
轿车一开始距离甲地 600 km，6 小时到达甲地，
故 y2=−100x+600．
（2） 当两车相遇时，y1=y2，即 60x=−100x+600．
解得：x=154．
∴ 当两车相遇时，求此时客车行驶了 154 小时．
26. （1） y=43x
【解析】设正比例函数的解析式为 y=kx．
把 A6,8 代入得：8=6k，解得：k=43．
（2） 当 t=1 时，BP=2，OP=10．
如图，过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H．
∵S△OPQ=12OP⋅QH=6，
∴QH=65．
把 Qx,65 代入 y=43x 中，得 x=910．
∴ 点 Q 的坐标为 910,65．
（3） ∵AO=AB=10，点 C 是线段 AB 的中点，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若 △OPQ 与 △BPC 全等，
则有 OP=BC=5，OQ=BP 或 OQ=BC=5，OP=PB．
设 Q 点的运动速度为 v 个单位/秒，
① OP=BC=5，OQ=BP 时，
∵OP=5，
∴12−2t=5，解得 t=72．
∴OQ=BP=2×72=7．
∴AQ=10−7=3．
∴72v=3，解得 v=67．
∴ 点 Q 运动的速度为 67 个单位/秒．
②当 OQ=BC=5，OP=PB=6 时，
由 OP=PB=12OB=6 可知：2t=6，解得：t=3．
∵OQ=5，
∴AQ=OA−OQ=10−5=5．
∴3v=5，解得 v=53．
∴ 点 Q 运动的速度为 53 个单位/秒．
综上所述：当点 Q 的运动速度是每秒 67 个单位或每秒 53 个单位时，△OPQ 与 △BPC 全等．