2019-2020学年河北省保定市竞秀区乐凯中学九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省保定市竞秀区乐凯中学九上期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16小题；共80分）
1. 一元二次方程 x2=2x 的解是
A. 0 或 2B. 2C. 0 或 −2D. 2 或 −2

2. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，ADDB=32，AE=6，则 EC 的长度为
A. 3B. 4C. 5D. 6

3. 下列命题错误的是
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

4. 用配方法解方程 x2+4x−1=0，配方结果正确的是
A. x+22=1B. x+22=3C. x+22=4D. x+22=5

5. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中，△ABC 的三个项点均在格点上，则 △ABC 的面积为
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5

6. 一元二次方程 x2+5x−3=0 根的情况是
A. 有两个不相等实数根B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有一根为 0

7. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了 3 m，另一边减少了 2 m，剩余面积为 30 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长为
A. 6 mB. 7 mC. 8 mD. 9 m

8. 嘉嘉和淇淇玩“石头剪刀布”的游戏，约定石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，出的一样则没有输贏，他们玩了一次没有输赢的概率是
A. 18B. 29C. 12D. 13

9. 把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为
A. 10B. 12C. 24D. 25

10. 若关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 的解为 x=−2，则关于 m 的方程 am2−3m2+bm2−3m+c=0 的解为
A. −2B. 0 或 3C. 1 或 2D. 2

11. 如图，在小正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上，则下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是
A. B.
C. D.

12. 正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG 且边 FG 过点 D．在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积
A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变小D. 保持不变

13. 如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，平行四边形纸片的面积为
A. 367B. 245C. 247D. 487

14. 在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的 △BPC，且使 ∠BPC=90∘，则满足条件 AP 的长度为
A. 7B. 6C. 5D. 8

15. 如图，∠MON=90∘，△ABC 中，AC=BC=5，AB=6，△ABC 的顶点 A，B 分别在 OM，ON 上，当点 B 在边 ON 上运动时，点 A 随之在边 MO 上运动，△ABC 的形状保持不变，在运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为
A. 7B. 5C. 4D. 3

16. 如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：
① BE=2AE；
② △DFP∽△BPH；
③ △PFD∽△PDB；
④ DP2=PH⋅PC．
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共3小题；共15分）
17. 已知 3a−2bb=52，则 ab 的值是 ．

18. 如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ．

19. 如图，在正方形 ABCD 内作正三角形 BCE，连接 AE 并延长 DC 交于 F，则 ∠AFC 为 ∘，若 DF=3−1，则 CF 长度为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
20. 解方程．
（1）x2−3x+1=0；
（2）x2−9=2x+6．

21. 嘉嘉和淇淇做一个游戏，他们拿出 8 张扑克牌，将数字为 3，4，7，9 的四张牌给嘉嘉，将数字为 2，5，6，8 的四张牌给淇淇，再从各自的四张牌中随机抽出一张．
（1）用列表法或树状图表示出所得数字的所有情况；
（2）如果比大小，谁抽出的数字大谁获胜，嘉嘉获胜的概率是多少?
（3）如果求和，抽出的两个数字和为奇数，嘉嘉获胜；和为偶数，淇淇获胜，谁获胜的概率大，为什么?

22. 如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E．
（1）求证：AG=CG；
（2）求证：△AGE∽△FGA；
（3）求证：AG2=GE⋅GF．

23. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为 120 cm．敏敏观察到高度 90 cm 矮圆柱的影子落在地面上，其影长为 60 cm；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为 150 cm，且此刻她的影子完全落在地面上，求影子的长度；
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为 120 cm，请你画出示意图并求出高圆柱的高度．

24. 某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 25.6 元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件．
①每天要想获得 504 元的利润，每件应降价多少元?
②能不能一天获得 520 元的利润?请说明理由．

25. 矩形 ABCD，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，MN 与 EF 交于点 O，记 k=MN:EF．
（1）如图 1，当 BC=2AB 时，若 MN⊥EF，求 k 的值；
（2）如图 2，当 BC=2AB 时，求 k 的最大值和最小值；
（3）若 k 的值为 3，当 MN 与 BD 重合且 △DOF 为直角三角形时，直接写出 AB:BC 的值．

26. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=3，BC=5，点 P 、点 Q 分别在线段 AB 、线段 BC 上运动（不包含端点），以 BP，BQ 为边作平行四边形 PBQD，点 P 从 A 向 B 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从 B 向 C 运动，速度为每秒 2 个单位长度，两点同时出发，当一个点到达终点时，两点都停止运动，运动时间为 t 秒．
（1）BP= ，BQ= ；（用 t 表示）
（2）当平行四边形 PBQD 为菱形时，求出 t 值；
（3）D 点能否落在线段 AC 上?若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由；
（4）当 PD，DQ 分别与线段 AC 交于 E，F 两点时，求 EF 长度的范围；
（5）平行四边形 PBQD 的面积能否为 △ABC 面积的一半?若能，请求出 t 值，若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】∵x2=2x，
∴x2−2x=0，即：xx−2=0，
∴x=0 或 x−2=0，
∴x1=0，x2=2．
2. B【解析】∵DE∥BC，
∴AEEC=ADDB=32，
∴6EC=32，
∴EC=4．
3. C【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C、一条对角线平分一组对角的四边形可能是菱形或者正方形，错误，符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意，故选C．
4. D【解析】∵x2+4x−1=0，
∴x2+4x=1，
∴x2+4x+4=5，即：x+22=5．
5. B
【解析】△ABC 的面积 =2×2−12×1×2−12×1×1−12×1×2=1.5．
6. A【解析】∵Δ=b2−4ac=52−4×1×−3=37>0，
∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根．
7. C【解析】设原正方形空地的边长为 x m．
由题意得：x−3x−2=30，解得：x1=8，x2=−3（舍去）．
答：原正方形空地的边长为 8 m．
8. D【解析】画树状图如下：
由图可知：同一回合中，一共有 9 情况，每种情况的可能性相等，其中打平的情况有三种，
∴ 他们玩了一次没有输赢的概率是：3÷9=13．
9. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC，OB+OD，AC⊥BD．
设 OA=x，OB=y．
由题意得：x+y=5,x−y=1, 解得：x=3,y=2.
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4．
∴ 菱形的面积 =12AC×BD=12×4×6=12．
10. C
【解析】∵ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 的解为 x=−2，
∴ 对于方程 am2−3m2+bm2−3m+c=0，m2−3m=−2，
∴m1=2，m2=1．
11. B【解析】根据勾股定理得：所给三角形的两直角边为：12+12=2，22+22=22，
∴ 夹直角的两边的比为 222=12．
A．不是直角三角形，不符合题意；
B．是直角三角形，且夹直角的两边的比为 24=12，符合题意；
C．不是直角三角形，不符合题意；
D．夹直角的两边的比为 23，不符合题意．
12. D【解析】∵ 正方形 ABCD 和矩形 ECFG 中，∠DCB=∠FCE=90∘，∠F=∠B=90∘，
∴∠DCF=∠ECB．
∴△BCE∽△FCD
∴CFCB=CDCE，即：CF⋅CE=CB⋅CD．
∴ 矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等，即：矩形 ECFG 的面积保持不变．
13. D【解析】设 △ADE，△BDF，△CEG，平行四边形 DEGF 的面积分别为 S1，S2，S3 和 S．
过点 D 作 DH∥EC．
∵ 四边形 DFGE 为平行四边形，
∴DE∥HC．
∴ 四边形 DHCE 为平行四边形．
∴DH=EC．
∵DH∥EC，
∴∠DHF=∠ECG．
∵DF∥EG，
∴∠DFH=∠EGC．
∴△DFH≌△EGCAAS．
∴S△DFH=S3．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵DE=3，BC=7，
∴S1S△ABC=949．
∵S△ABC=14，
∴S1=949×14．
∵BH=BC−CH=7−3=4，FG=DE=3，
∴S△BDH:S=12×4:3=2:3．
∴S△BDH=23S．
∴23S+S=14−949×14．
∴S=487．
14. D【解析】如图，以 BC 为直径画圆，交 AD 边于点 P，连接 BP，CP．
此时 △BPC 面积最大，且 ∠BPC=90∘．
∵ 在矩形 ABCD 中，AB=DC=4，BC=AD=10，
∴ 设 AP=x，则 DP=10−x．
∵∠A=∠D=90∘，
∴∠ABP+∠APB=∠DPC+∠APB=90∘．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴ABDP=APDC，即：410−x=x4，解得：x=2 或 x=8．
∴ 满足条件 AP 的长度可以为 8．
15. A
【解析】取 AB 的中点 D，连接 CD．
∵AC=BC=5，AB=6，
∵ 点 D 是 AB 边中点，
∴BD=12AB=3，CD⊥AB．
∴CD=BC2−BD2=52−32=4．
连接 OD，OC，有 OC≤OD+DC．
当 O，D，C 共线时，OC 有最大值，最大值 =OD+CD．
∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点，
∴OD=12AB=3．
∴OD+CD=3+4=7，即 OC 的最大值 =7．
16. C【解析】∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘．
在正方形 ABCD 中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘，
∴∠ABE=∠DCF=30∘，
∴BE=2AE，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30∘，
∴∠PDC=75∘，
∴∠FDP=15∘，
∵∠DBA=45∘，
∴∠PBD=15∘，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60∘，
∴△DFP∽△BPH，②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15∘，∠ADB=45∘，
∴∠PDB=30∘，而 ∠DFP=60∘，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD 与 △PDB 不会相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30∘，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴DPPC=PHDP．
∴DP2=PH⋅PC，故④正确．
第二部分
17. 32
【解析】∵3a−2bb=52，
∴3ab−2=52，即：3ab=92，
∴ab=32．
18. 245
【解析】过点 C 作 CF⊥BG 于点 F．
设 DE=x，则 AD=8−x．
根据题意得：128−x+8×3×3=3×3×6，解得：x=4．
∴DE=4．
∵∠E=90∘，
∴CD=DE2+CE2=42+32=5，
∵∠BCE=∠DCF=90∘，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90∘，
∴△DEC∽△BFC，
∴CECF=CDCB，即：3CF=58，
∴CF=245．
19. 105，2
【解析】∵ 在正方形 ABCD 内作正三角形 BCE，
∴BE=BC=AB，∠EBC=60∘．
∴∠ABE=90∘−60∘=30∘．
∴∠BAE=∠BEA=180∘−30∘÷2=75∘．
∴∠DAF=90∘−75∘=15∘．
∴∠AFC=90∘+15∘=105∘．
在 AD 边上取点 M，使 AM=FM，则 ∠MFA=∠MAF=15∘．
∴∠DMF=15∘+15∘=30∘．
∵DF=3−1，
∴AM=MF=2×3−1=23−2，MD=3DF=3×3−1=3−3，
∴AD=AM+MD=23−2+3−3=3+1．
∴CD=AD=3+1．
∴CF=CD−DF=3+1−3−1=2．
第三部分
20. （1）
∵x2−3x+1=0,∴x=3±9−42=3±52.∴x1=3+52,x2=3−52.
（2）
x2−9=2x+6.x+3x−3=2x+3.x+3x−3−2=0.x+3=0 或 x−5=0.x1=−3,x2=5.
21. （1） 列表如下：
347923,24,27,29,253,54,57,59,563,64,67,69,683,84,87,89,8
（2） ∵ 嘉嘉比淇淇数字大的有 3，2；4，2；7，2；7，5；7，6；9，2；9，5；9，6；9，8，共 9 种，
∴P嘉嘉获胜=916．
（3） 嘉嘉获胜的概率大，理由如下：
∵ 和为奇数的有 3，2；3，6；3，8；4，5；7，2；7，6；7，8；9，2；9，6；9，8，共 10 种，
和为偶数的有 3，5；4，2；4，6；4，8；7，5；9，5，共 6 种．
∴P嘉嘉获胜=1016=58，P淇淇获胜=616=38．
∴ 嘉嘉获胜的概率大．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
又 ∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDGSAS，
∴AG=CG．
（2） 由（1）得 △ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠DCG，
∴∠F=∠DAG，
又 ∵∠AGE=∠FGA，
∴△AGE∽△FGA．
（3） ∵△AGE∽△FGA，
∴AGFG=EGAG．
∴AG2=GE⋅GF．
23. （1） 设敏敏的影长为 x cm．
由题意得：
9060=150x.
解得：
x=100.
答：敏敏的影长为 100 cm．
（2） 如图所示，AB 为高圆柱，CD 为高圆柱落在墙上的影子．
由题可知：CD=120 cm，BD=120 cm．
延长 AC 交 BD 延长线于 E 点，
则 DCDE=9060，即 120DE=9060．
∴DE=80 cm．
∴AB 的影长 BE 为 200 cm．
∵ABBE=9060，
∴AB200=9060．
∴AB=300 cm，即高圆柱高度为 300 cm．
24. （1） 设两次降价的百分率为 x．
由题意得：
401−x2=25.6.
即：
1−x2=1625.
解得：
x1=15,x2=95舍.
答：两次下降的百分率为 20%．
（2） 由题意得：该商品每降价 1 元，每天可多销售 8 件．
①设每件应降价 x 元，
由题意得：
40−x−3048+8x=504.
解得：
x1=1,x2=3.∵
要尽快减少库存，
∴x=3．
答：每件应降价 3 元；
②不能获得 520 元利润，理由如下：
设每件降价 x 元，则
40−x−1048+8x=520.
整理得：
x2−4x+5=0.∵Δ=−42−4×5=−4<0
，
∴ 方程无解．
∴ 不能获得 520 元利润．
25. （1） 作 FG⊥BC 于 G，MH⊥CD 于 H，
设 FG 交 MH 于点 P，FG 交 MN 于点 Q，则 ∠MHN=∠FGE=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90∘，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠AMP=90∘，∠AFP=90∘，
∴∠MPF=90∘，
又 ∵∠QOF=90∘，
∴∠MPF=∠FOQ，
又 ∵∠MQP=∠FQO，
∴∠PMQ=∠OFQ，
又 ∵∠MHN=∠FGE，
∴△MHN∽△FGE，
∴MNEF=MHFG，
又 ∵MH=BC，FG=AB，BC=2AB，
∴k=MN:EF=2．
（2） ∵BC=2AB，
∴ 设 AB=a，则 BC=2a．
MN∥BC 时，MN 最短为 2a，MN 与对角线重合时，MN 最长为 5a；
EF∥AB 时，EF 最短为 a，EF 与对角线重合时，EF 最长为 5a．
∴2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a．
∴ 当 MN 的长取最大时，EF 取最短，此时 MN:EF 最大，最大值为 5；
当 MN 的最短时，EF 的值取最大，此时 MN:EF 的值最小，最小值为 255．
即 k 的最大值为 5，最小值为 255．
（3） AB:BC 为 13 或 24．
【解析】∵k=MN:EF=3，
∴ 设 EF=a，则 MN=3a．
当 MN 与 BD 重合且 △DOF 为直角三角形时，分两种情况：
① ∠DFO=90∘ 时，AB=CD=EF=a，BD=MN=3a，
∴BC=BD2−CD2=3a2−a2=22a，
∴AB:BC=a:22a=24；
②当 ∠DOF=90∘ 时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，
∴∠EFG+∠FEG=∠DBC+∠FEG，
∴∠EFG=∠DBC，
∵∠FGE=∠BCD=90∘，
∴△FGE∽△BCD，
∴FGBC=EFBD=a3a=13，
∵FG=AB，
∴AB:BC=13．
综上所述：AB:BC 为 13 或 24．
26. （1） 3−t；2t
【解析】由题意得：BP=3−t，BQ=2t．
（2） 当平行四边形 PBQD 为菱形时，BP=BQ．
∴3−t=2t，解得：t=1．
∴ 当平行四边形 PBQD 为菱形时，t=1．
（3） D 点不能落在线段 AC 上，理由如下：
当 D 点落在线段 AC 上时，则 ∠APD=∠ABC，∠PAD=∠BAC．
∴△APD∽△ABC．
∴APAB=PDBC，即：t3=PD5．
∴PD=53t．
即当 D 点落在线段 AC 上时，PD=53t，这与 PD=BQ=2t 矛盾．
∴D 点不能落在线段 AC 上．
（4） ∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC．
同（3）可得：PE=53t．
又 ∵PD=BQ=2t，
∴ED=13t．
∵AP∥FD，
∵△APE∽△FDE，
∴APDF=PEED，即：tDF=53t13t．
∴DF=15t．
∵∠DFE=∠A=90∘，
∵DF2+EF2=DE2，
∴15t2+EF2=13t2，解得：EF=415t．
∵0 ∴0 （5） ∵∠A=90∘，AB=3，BC=5，
∴AC=4，
过 Q 作 QG⊥AB 于 G，则 QG∥AC．
∴△BQG∽△BCA．
∴BQBC=QGAC，即：2t5=QG4，解得 QG=85t．
∵BP=3−t，
∴S平行四边形PBQD=BP⋅QG=85t3−t=−85t2+245t．
∵S△ABC=12AB⋅AC=6，
∴−85t2+245t=3，解得：t=6±64．
∵0 ∴t=6+64 或 6−64．