专题11排列组合与二项式定理（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                          专题11　排列组合与二项式定理

一、选择题

1．（2020·浙江台州·期中）

若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】

令可得：，

令可得：，

两式相加可得：，

所以，

故选：B

2．（2020·江西零模（理）

的展开式中项的系数是（    ）

A．420 B．-420 C．1680 D．-1680

【答案】A

【详解】

表示的是8个相乘，

要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取

其余4个因式都取1

所以展开式中 项的系数是.

故选：A

3．（2020·福建省福州第一中学开学考试）

在的二项展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为展开式的第项为，

令，则，

所以的二项展开式中的系数为.

故选：D.

4．（2020·江苏省太湖高级中学期中）

用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（    ）种不同的涂色方法

A．180 B．240 C．300 D．480

【答案】A

【详解】

分类：（1）①和④颜色相同：；

（2）①和④颜色不同：；

则共有60+120=180种不同的涂色方法

故选：A

5．（2020·江苏省太湖高级中学期中）

已知，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】

由得

则，即，

解得.

故选：B.

6．（2020·广东月考）

在的展开式中，的系数是（    ）

A．20 B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

的展开式的通项是，

令，则，则的展开式中的系数为，

令，则，则的展开式中的系数为，

故展开式中的系数是.

故选：D.

（2020·北京期末）

7．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（    ）

A．36种 B．40种 C．44种 D．48种

【答案】B

【详解】

解：根据题意，将9个数分为2组，

一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，

若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：

①取出的3个数全部为奇数，有种情况，

②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有种情况，

则和为奇数的情况有种.

故选：B.

8．（2020·北京期末）

3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据题意，分2步进行：

①将4名学生站成一排，有种排法；

②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有种情况；

则有种排法；

故选：D.

9．（2020·北京期末）

展开式中各项系数之和为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】

解：令，得展开式中各项系数之和为.

故选：A.

10．（2020·浙江省东阳中学其他模拟）

如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（    ）

A．530 B．502 C．503 D．505

【答案】B

【详解】

由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，

则所有“上升”的正整数的个数为

，

故选：B.

11.（2020·内蒙古其他模拟（理））

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（    ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000

【答案】B

【详解】

依据二项展开式系数可知，第行第个数应为，

故第100行第3个数为

故选：.

12.（2020·四川成都七中高三月考）

为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36

【答案】C

【详解】

因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家

看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，

先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和

其余二个看成三个元素的全排列共有：种；

又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，

所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，

所以不同的分配方法种数有：

故选：C

13.（2019·奈曼旗实验中学期中（理））

已知，，则自然数等于（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【详解】

由题意，令，则，

因为，所以，解得.

故选：C.

14.（2019·全国月考）

大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（    ）

A．3 B．8 C．12 D．6

【答案】C

【详解】

分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地，

则小红恰好分配到甲村小学的方法有：种.

故选：C.

15.（2020·北京二模）

李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

将月剩余的30天依次编号为1，2，330，

因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，

所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，

则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；

李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；

李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；

李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；

所以李明需要配送的天数为，

所以整个月李明不用去配送的天数是.

故选：B.

16.（2020·陕西安康·高三三模（理））

某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（    ）

A．480种 B．360种 C．240种 D．120种

【答案】B

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.

故选：B

17.（2020·贵溪市实验中学月考）

、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（    ）

A．120 B．324 C．720 D．1280

【答案】D

【详解】

根据分步计数原理，可得：

第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；

第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

所以所有的排法总数为：种.

故选：D.

18.（2020·河南高三其他模拟（理））

若，则的值是（      ）

A．-2 B．-3 C．125 D．-131

【答案】C

【解析】

试题分析：令，得；令，得，即．又，所以，故选C．

二、填空题

19．（2020·贵港市高级中学期中（理））

已知，求_______

【答案】

【详解】

令得.

故答案为：．

20．（2020·浙江台州·期中）

在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.

【答案】4100

【详解】

考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数有，

考虑、、三个区域用2种颜色，共有方法数有，

考虑、、三个区域用3种颜色，共有方法数有，

故总计有方法数．

故答案为：4100．

21．（2020·江西二模（理））

22．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）

【答案】

【详解】

若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；

若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，

则共有种，

故答案为：.

23.（2018·安徽淮北·月考（理））

若，则_________.

【答案】

【详解】

展开式通项为，

当为偶数时，，即、、为正数；当为奇数时，，即、、为负数.

.

故答案为：.

23.（2020·湖北随州·期末）

项式的展开式中常数项为______.

【答案】10

【详解】

的展开式的第项为

，

令可得，

所以二项式的展开式中常数项为.

故答案为：10.

23.（2020·济南市历城第二中学高三月考）

2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．

【答案】900

【详解】

解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.

第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；

第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有种不同情况.

所以所有的不同分派方案有种.

故答案为：900.

24．（2020·广东深圳外国语学校月考）

的展开式中，不含x的各项系数之和为______.

【答案】256

【详解】

的展开式的通项为，

可知当时不含有x，此时，

令可得到各项系数之和为256.

故答案为：256.

25．（2020·贵州遵义·其他模拟（理））

多项式展开式的常数项为__________.（用数字作答）

【答案】6

【详解】

，

通项公式，

当时，，.

故答案为：6

26．（2020·湖南郴州·月考）

已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含项的系数是__________.

【答案】60

【详解】

解：由于的展开式的二项式系数之和为，

所以，解得，

所以，

故令，即可得.

故答案为：.