2018年广州市越秀区广大附中中考一模数学试题

这是一份2018年广州市越秀区广大附中中考一模数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如果 +10% 表示“增加 10%”，那么“减少 8%”可以记作
A. −18%B. −8%C. +2%D. +8%

2. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是
A. B.
C. D.

3. 某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85，下列表述错误的是
A. 众数是 85B. 平均数是 85C. 中位数是 80D. 极差是 15

4. 已知点 Aa,2017 与点 Aʹ−2018,b 是关于原点 O 的对称点，则 a+b 的值为
A. 1B. 5C. 6D. 4

5. 如图，在菱形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO．若 ∠DAC=28∘，则 ∠OBC 的度数为
A. 28∘B. 52∘C. 62∘D. 72∘

6. 下列运算正确的是
A. x3+x2=x5B. x3−x2=xC. x32=x5D. x3÷x2=x

7. 若分式 x2−1x−1 的值为零，则 x 的值为
A. 0B. 1C. −1D. ±1

8. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k>−1 且 k≠0
C. k<1D. k<1 且 k≠0

9. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：
① 4a+b=0；
② 9a+c>3b；
③ 8a+7b+2c>0；
④当 x>−1 时，y 的值随 x 值的增大而增大．
其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. “激情同在”第 23 届冬奥会于 2018 年 2 月在韩国平昌郡举行，场馆的建筑面积约是 358000 平方米，将 358000 用科学记数法表示为 ．

12. 因式分解：3ab2+a2b= ．

13. 如图，点 A 为 △PBC 的三边垂直平分线的交点，且 ∠P=72∘，则 ∠BAC= ．

14. 如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2=k2x 的图象交于 A−1,2，B1,−2 两点，若 y1
15. 已知圆锥的底面半径为 5 cm，侧面积为 65π cm2，圆锥的母线是 cm．

16. 如图，AB 是半 ⊙O 的直径，点 C 在半 ⊙O 上，AB=5 cm，AC=4 cm，D 是 BC 上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CE⊥AD 于 E，连接 BE．在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程．
（1）3xx−1=2x−2；
（2）3x=2x−2．

18. 如图，已知 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB，CD 上的两点，且 ∠CBF=∠ADE．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）判定四边形 DEBF 是否是平行四边形?

19. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；
（2）求一次打开锁的概率．

20. 如图所示，小明在大楼 30 米高（即 PH=30 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15∘，山脚 B 处的俯角为 60∘，已知该山坡的坡度 i（即 tan∠ABC）为 1:3，点 P，H，B，C，A 在同一个平面上．点 H，B，C 在同一条直线上，且 PH⊥HC．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
（1）山坡坡角（即 ∠ABC）的度数等于 度；
（2）求山坡 A，B 两点间的距离（结果精确到 0.1 米）．

21. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=80∘，∠BAC=40∘，AB 的垂直平分线分别与 AC，AB 交于点 D，E．
（1）尺规作图作出 AB 的垂直平分线 DE，并连接 BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：△ABC∽△BDC．

22. 某商品的进价为每件 40 元，售价不低于 50 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件，设每件商品的售价为 x 元，每月的销售量为 y 件．
（1）求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

23. 如图，在直角梯形 OABC 中，BC∥AO，∠AOC=90∘，点 A，B 的坐标分别为 5,0，2,6，点 D 为 AB 上一点，且 BD=2AD．双曲线 y=kxk>0 经过点 D，交 BC 于点 E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形 ODBE 的面积．

24. 如图，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B5,0 两点，直线 y=−34x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D．点 P 是 x 轴上方抛物线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 PE=5EF，点 P 的横坐标是 m，求 m 的值；
（3）若点 Eʹ 是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 Eʹ 落在 y 轴上?若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=3 cm，AD=4 cm，点 E 从点 A 出发，沿射线 AD 移动．以 CE 为直径作 ⊙O，点 F 为 ⊙O 与射线 BD 的公共点，连接 EF，CF，过点 E 作 EG⊥EF，EG 与 ⊙O 相交于点 G，连接 OG．
（1）试说明四边形 EFCG 是矩形；
（2）当 ⊙O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动．在点 E 移动的过程中，
（i）矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值?若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，请说明理由；
（ii）求点 G 移动路线的长．
答案
第一部分
1. B【解析】“增加”和“减少”相对，若 +10% 表示“增加 10%”，那么“减少 8%”应记作 −8%．
2. B
3. C
4. A【解析】∵ 点 Aa,2017 与点 Aʹ−2018,b 是关于原点 O 的对称点，
∴a=2018，b=−2017，
∴a+b=1．
5. C
6. D【解析】（A）x3 与 x2 不是同类项，不能合并，故A错误；
（B）x3 与 x2 不是同类项，不能合并，故B错误；
（C）原式=x6，故C错误．
7. C【解析】由 x2−1=0，
得 x=±1．
① 当 x=1 时，x−1=0，
∴x=1 不合题意；
② 当 x=−1 时，x−1=−2≠0，
∴x=−1 时分式的值为 0．
故选：C．
8. B【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0,Δ>0, 即 k≠0,Δ=4+4k>0,
解得 k>−1 且 k≠0．
9. B【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=2，
∴b=−4a，即 4a+b=0（故①正确）；
∵ 当 x=−3 时，y<0，
∴9a−3b+c<0，即 9a+c<3b（故②错误）；
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 −1,0，
∴a−b+c=0，而 b=−4a，
∴a+4a+c=0，即 c=−5a，
∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0（故③正确）；
∵ 对称轴为直线 x=2，
∴ 当 −1当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小（故④错误）．
10. C
【解析】【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90∘，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段AEDE的比．
【解析】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴ABCD=BEDE=AECE，ACBD=CEDE=AEBE，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90∘，
∵DE=2，OE=3，
∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC=ABBD•ACCD=BEDE•CEDE=ABCD•ACBD=AECE•CEDE=AEDE=82=4．
故选：C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
第二部分
11. 3.58×105
【解析】358000 用科学记数法表示为 3.58×105．
12. ab3b+a
【解析】3ab2+a2b=ab3b+a．
13. 144∘
【解析】∵A 为 △PBC 三边垂直平分线的交点，
∴ 点 A 是 △PBC 的外心，
由圆周角定理得，∠BAC=2∠BPC=144∘．
14. −11
【解析】∵ 正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2=k2x 的图象交于 A−1,2，B1,−2 两点，y1 ∴ 此时 x 的取值范围是 −11，
故答案为：−11．
15. 13
【解析】设母线长为 R，则：65π=π×5R，解得 R=13 cm．
16. 13−2cm
第三部分
17. （1）
3x2−3x=2x−2.3x2−3x−2x+2=0.3x2−5x+2=0.
因式分解可得：
3x−2x−1=0.
则
3x−2=0 或 x−1=0.∴
方程的解为
x1=23,x2=1.
（2） 两边乘以 xx−2，得
3x−2=2x.
解得
x=6.
检验：将 x=6 代入 xx−2≠0，
∴x=6 是原方程的解．
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
在 △ADE 与 △CBF 中，
∠ADE=∠CBF,∠A=∠C,AD=CB.
∴△ADE≌△CBFASA．
（2） 四边形 DEBF 是平行四边形，理由如下：
∵DF∥EB，又由 △ADE≌△CBF，知 AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，即 DF=EB．
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形．
19. （1） 分别用A与B表示锁，用A，B，C，D表示钥匙，画树状图得：
则可得共有 8 种等可能的结果．
（2） ∵ 一次打开锁的有 2 种情况，
∴ 一次打开锁的概率为：28=14．
20. （1） 30
【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵ 山坡的坡度 i（即 tan∠ABC）为 1:3，
∴∠ABC=30∘．
（2） 由题意得，∠PBH=60∘，∠APB=45∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠ABP=90∘，
∴△PBA 是等腰直角三角形，
∴PB=PHsin∠PBH=30sin60∘=3032=203，
∵AB=PB=203=34.6，
答：山坡 A，B 两点间的距离是 34.6 米．
21. （1） 如图，DE 为所求．
（2） ∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=40∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=80∘−40∘=40∘，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
22. （1） 当 50≤x≤80 时，y=210−x−50，即 y=260−x，
当 80 （2） 当 50≤x≤80 时，w=−x2+300x−10400=−x−1502+12100，
当 x<150 时，w 随 x 增大而增大，
则当 x=80 时，w最大=7200；
当 80当 x=90 时，w最大=7500，
∴x=90 时，w 有最大值 7500 元．
答：每件商品的售价定为 90 元时，每个月可获得最大利润是 7500 元．
23. （1） 过点 B，D 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 M，N．
∵A5,0，B2,6，
∴OM=BC=2，BM=OC=6，AM=3．
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM．
∴DNBM=ANAM=ADAB=13．
∴DN=2，AN=1．
∴ON=4．
∴ 点 D 的坐标为 4,2．
∵ 双曲线 y=kxk>0 经过点 D，
∴2=k4，即 k=8．
∴ 双曲线的解析式为 y=8x．
（2） ∵ 点 E 在 BC 上，
∴ 点 E 的纵坐标为 6．
∵ 点 E 在双曲线 y=8x 上，
∴ 点 E 的坐标为 43,6．
∴CE=43．
∴S四边形ODBE=S梯形OABC−S△OCE−S△AOD=12×BC+OA×OC−12×OC×CE−12×OA×DN=12×2+5×6−12×6×43−12×5×2=12.
∴ 四边形 ODBE 的面积为 12．
24. （1） 将点 A，B 坐标代入抛物线解析式，
得：−1−b+c=0,−25+5b+c=0, 解得 b=4,c=5,
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5．
（2） ∵ 点 P 的横坐标为 m，
∴Pm,−m2+4m+5，Em,−34m+3，Fm,0．
∴PE=yP−yE=−m2+4m+5−−34m+3=−m2+194m+2，
EF=yE−yF=−34m+3−0=−34m+3．
由题意，PE=5EF，即：−m2+194m+2=5−34m+3=−154m+15．
①若 −m2+194m+2=−154m+15，整理得：2m2−17m+26=0，
解得：m=2 或 m=132；
②若 −m2+194m+2=−−154m+15，整理得：m2−m−17=0，
解得：m=1+692 或 m=1−692．
由题意，m 的取值范围为：−1故 m=132，m=1−692 这两个解均舍去．
∴m=2 或 m=1+692．
（3） 存在满足条件的点 P，坐标为 0,5，−12,114，4,5，3−11,211−3．
【解析】假设存在．
作出示意图如下：
∵ 点 E，Eʹ 关于直线 PC 对称，
∴∠1=∠2，CE=CEʹ，PE=PEʹ．
∵PE 平行于 y 轴，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴PE=CE，
∴PE=CE=PEʹ=CEʹ，即四边形 PECEʹ 是菱形．
当四边形 PECEʹ 是菱形存在时，
由直线 CD 解析式 y=−34m+3，可得 OD=4，OC=3，
由勾股定理得 CD=5．
过点 E 作 EM∥x 轴，交 y 轴于点 M，易得 △CEM∽△CDO，
∴MEOD=CECD，即 m4=CE5，解得 CE=54m，
∴PE=CE=54m，又由（2）可知：PE=−m2+194m+2，
∴−m2+194m+2=54m．
①若 −m2+194m+2=54m，整理得：2m2−7m−4=0，解得 m=4 或 m=−12；
②若 −m2+194m+2=−54m，整理得：m2−6m−2=0，解得 m1=3+11，m2=3−11．
由题意，m 的取值范围为：−1当四边形 PECEʹ 是菱形这一条件不存在时，
此时 P 点横坐标为 0，E，C，Eʹ 三点重合与 y 轴上，也符合题意，
∴P0,5．
综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为 0,5，−12,114，4,5，3−11,211−3．
25. （1） ∵CE 是 ⊙O 的直径，点 F，G 在 ⊙O 上，
∴∠EFC=∠EGC=90∘．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90∘，
∴ 四边形 EFCG 是矩形．
（2） （i）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BCD=90∘，
∴tan∠BDC=BCCD=ADAB=43．
∵∠CEF=∠BDC，
∴tan∠CEF=tan∠BDC，即 CFEF=43，
∴EF=34CF，
∴S矩形EFCG=EF⋅CF=34CF2．
∵ 当点 F 与点 B 重合时，CF=BC=4；
当 ⊙O 与射线 BD 相切时，点 F 与点 D 重合，此时 CF=CD=3；
当 CF⊥BD 时，CF=BC⋅CDBD=125，
∴125≤CF≤4．
∴ 当 CF=125 cm 时，S矩形EFCG 取得最小值 10825 cm2；
当 CF=4 cm 时，S矩形EFCG 取得最大值 12 cm2．
（ii）如图，连接 DG，并延长 DG 交 BC 的延长线于点 Gʹ．
∵∠BDG=∠FEG=90∘，∠DCGʹ=90∘，
∴ 点 G 的移动路线为线段 DGʹ．
∵CD=3 cm，
∴CGʹ=34CD=94，
∴DGʹ=CD2+CGʹ2=154cm．