2018年广州市增城区中考一模数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 在实数 1,0,−1,−2 中,最小的实数是
A. −2B. −1C. 1D. 0
2. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是
A. 3a2−2a2=1B. a2⋅a3=a6
C. a−b2=a2−b2D. a+b2=a2+2ab+b2
4. 如图所示,在半径为 5 cm 的 ⊙ O 中,弦 AB=6 cm,OC⊥AB 于点 C,则 OC 等于
A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm
5. 学校抽查了 30 名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数,并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图,则 30 名学生参加活动的平均次数是
A. 2B. 2.8C. 3D. 3.3
6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
7. 要使代数式 x−2 有意义,则 x 的取值范围是
A. x≠2B. x≥2C. x>2D. x≤2
8. 如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 tan∠ABC=
A. 12B. 2C. 55D. 255
9. 关于抛物线 y=x2−2x+1,下列说法错误的是
A. 开口向上
B. 与 x 轴只有一个交点
C. 对称轴是直线 x=1
D. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大
10. 如图,直线 y=23x+4 与 x 轴,y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C,D 分别为线段 AB,OB 的中点,点 P 为 OA 上一动点,当 PC+PD 最小时,点 P 的坐标为
A. −3,0B. −6,0C. −32,0D. −52,0
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 太阳半径约为 696000 千米,数字 696000 用科学记数法表示为 .
12. 分解因式:m2−1= .
13. 分式方程 2xx+1=1 的解 x= .
14. 若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有实数根,则 m 的取值范围是 .
15. 如图,圆锥的底面半径为 6 cm,高为 8 cm,那么这个圆锥的侧面积是 cm2.
16. 如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E,F 分别在 BC 和 CD 上,下列结论:
① CE=CF;
② ∠AEB=75∘;
③ BE+DF=EF;
④ S正方形ABCD=2+3.
其中正确的序号是 (把你认为正确的都填上).
三、解答题(共9小题;共117分)
17. 解不等式组 x+3>0,x−2≤0, 并把解集在数轴上表示出来.
18. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,DE,DF 是 △ABC 的中位线,连接 EF,CD,求证:CD=EF.
19. 先化简,再求值:x+22+x+2⋅x−1−2x2,其中 x=3.
20. 当前,“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段,凡贫困家庭均要“建档立卡”.某初级中学七年级共有四个班,已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为 A1,A2,A3,A4,现对 A1,A2,A3,A4 统计后,制成如图所示的统计图.
(1)求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数;
(2)将条形统计图补充完整,并求出 A1 所在扇形的圆心角的度数;
(3)现从 A1,A2 中各选出一人进行座谈,若 A1 中有一名女生,A2 中有两名女生,请用树状图表示所有可能情况,并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率.
21. 如图,一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A,B 两点,点 A 坐标为 6,2,点 B 坐标为 −4,n,直线 AB 交 y 轴于点 C,过 C 作 y 轴的垂线,交反比例函数图象于点 D,连接 OD,BD.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求四边形 OCBD 的面积.
22. 如图,某一栋楼房 AB 后有一假山,假山斜面 CD 上有一休息亭 E,测得 ∠ABC=90∘,∠BCD=150∘,BC=25 米,CE=20 米,小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45∘,求楼房 AB 的高(结果保留根号).
23. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,AD 是 ∠BAC 的角平分线,以 AB 上一点 O 为圆心,AD 为弦作 ⊙O.
(1)尺规作图:作出 ⊙O,并连接 OD(不写作法与证明,保留作图痕迹);
(2)求证:△OBD∽△ABC.
24. 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y=34x+m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、点 B0,−1,抛物线 y=12x2+bx+c 经过点 B,交直线 AB 于点 C4,n.
(1)分别求 m,n 的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t0
25. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,以点 D 为圆心、 DC 为半径作 AC,点 E 在 AB 上,且与 A,B 两点均不重合,点 M 在 AD 上,且 ME=MD,过点 E 作 EF⊥ME,交 BC 于点 F,连接 DE,MF.
(1)求证:EF 是 AC 所在 ⊙D 的切线;
(2)当 MA=34 时,求 MF 的长;
(3)试探究:△MFE 能否是等腰直角三角形?若是,请直接写出 MF 的长度;若不是,请说明理由.
答案
第一部分
1. A【解析】如图所示:
∵ 由数轴上各点的位置可知,−2 在数轴的最左侧,
∴ 四个数中 −2 最小.
2. D
3. D【解析】A、 3a2−2a2=a2,故A错误;
B、 a2⋅a3=a5,故B错误;
C、 a−b2=a2−2ab+b2,故C错误;
D、 a+b2=a2+2ab+b2,故D正确.
4. B
5. C
【解析】3×1+5×2+11×3+11×4÷30=3+10+33+44÷30=90÷30=3次.
故 30 名学生参加活动的平均次数是 3.
6. D
7. B
8. A【解析】如图,
在 Rt△ABD 中,AD=2,BD=4,
则 tan∠ABC=ADBD=24=12.
9. D【解析】∵ 抛物线 y=x−12,
∴a=1>0,开口向上,顶点坐标为 1,0,
∴ 对称轴为直线 x=1,与 x 轴只有一个交点.
10. C
【解析】(方法一)作点 D 关于 x 轴的对称点 Dʹ,连接 CDʹ 交 x 轴于点 P,此时 PC+PD 值最小,如图 1 所示.
令 y=23x+4 中 x=0,则 y=4,
∴ 点 B 的坐标为 0,4;
令 y=23x+4 中 y=0,则 23x+4=0,解得:x=−6,
∴ 点 A 的坐标为 −6,0.
∵ 点 C,D 分别为线段 AB,OB 的中点,
∴C−3,2,D0,2.
∵ 点 Dʹ 和点 D 关于 x 轴对称,
∴ 点 Dʹ 的坐标为 0,−2.
设直线 CDʹ 的解析式为 y=kx+b,
∵ 直线 CDʹ 过点 C−3,2,Dʹ0,−2,
∴ 有 2=−3k+b,−2=b, 解得:k=−43,b=−2,
∴ 直线 CDʹ 的解析式为 y=−43x−2.
令 y=−43x−2 中 y=0,则 0=−43x−2,解得:x=−32,
∴ 点 P 的坐标为 −32,0.
(方法二)连接 CD,作点 D 关于 x 轴的对称点 Dʹ,连接 CDʹ 交 x 轴于点 P,此时 PC+PD 值最小,如图 2 所示.
令 y=23x+4 中 x=0,则 y=4,
∴ 点 B 的坐标为 0,4;
令 y=23x+4 中 y=0,则 23x+4=0,解得:x=−6,
∴ 点 A 的坐标为 −6,0.
∵ 点 C,D 分别为线段 AB,OB 的中点,
∴C−3,2,D0,2,CD∥x 轴,
∵ 点 Dʹ 和点 D 关于 x 轴对称,
∴ 点 Dʹ 的坐标为 0,−2,点 O 为线段 DDʹ 的中点.
又 ∵OP∥CD,
∴ 点 P 为线段 CDʹ 的中点,
∴ 点 P 的坐标为 −32,0.
第二部分
11. 6.96×105
【解析】696000=6.96×105.
12. m+1m−1
13. 1
14. m≤1
【解析】由题意知,Δ=4−4m≥0,
∴m≤1.
答:m 的取值范围是 m≤1.
15. 60π
16. ①②④
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=AD,
∵△AEF 是等边三角形,
∴AE=AF,
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中,
AE=AF,AB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADFHL,
∴BE=DF,
∵BC=DC,
∴BC−BE=CD−DF,
∴CE=CF,
∴ ①说法正确;
∵CE=CF,
∴△ECF 是等腰直角三角形,
∴∠CEF=45∘,
∵∠AEF=60∘,
∴∠AEB=75∘,
∴ ②说法正确;
如图,连接 AC,交 EF 于 G 点,
∴AC⊥EF,且 AC 平分 EF,
∵∠CAF≠∠DAF,
∴DF≠FG,
∴BE+DF≠EF,
∴ ③说法错误;
∵EF=2,
∴CE=CF=2,
设正方形的边长为 a,
在 Rt△ADF 中,AD2+DF2=AF2,
即 a2+a−22=4,
解得 a1=2+62,a2=2−62,
则 a2=2+3,
S正方形ABCD=2+3,④说法正确.
第三部分
17.
x+3>0, ⋯⋯①x−2≤0, ⋯⋯②
解 ① 得
x>−3.
解 ② 得
x≤2.
所以不等式组的解集为
−3
18. ∵DE,DF 是 △ABC 的中位线,
∴DE∥BC,DF∥AC,
∴ 四边形 DECF 是平行四边形,
∵∠ACB=90∘,
∴ 平行四边形 DECF 是矩形,
∴CD=EF.
19. 原式=x2+4x+4+x2−x+2x−2−2x2=5x+2,
当 x=3 时,原式=53+2.
20. (1) 总数人数为:6÷40%=15 人.
(2) A2 的人数为 15−2−6−4=3(人).
补全图形,如图所示.
A1 所在圆心角度数为:215×360∘=48∘.
(3) 画出树状图如图:
故所求概率为:P=36=12.
21. (1) ∵ 反比例函数 y=kx 的图象过 A6,2,
∴2=k6,
解得 k=12,
故反比例函数的解析式为 y=12x,
∵B−4,n 在 y=12x 的图象上,
∴n=12−4,
解得 n=−3,
∴B−4,−3,
∵ 一次函数 y=ax+b 过 A,B 两点,则 6a+b=2,−4a+b=−3,
解得 a=12,b=−1.
故一次函数解析式为 y=12x−1.
(2) 当 x=0 时,y=−1,
∴C0,−1,
当 y=−1 时,−1=12x,x=−12,
∴D−12,−1,
S四边形OCBD=S△ODC+S△BDC=12×∣−12∣×∣−1∣+12×∣−12∣×∣−2∣=6+12=18.
22. 如图,过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于 F,EH⊥AB 于点 H,
在 Rt△CEF 中,∵∠BCD=150∘,
∴∠ECF=30∘,
∴EF=12CE=10 米,CF=103 米,
∴BH=EF=10 米,HE=BF=BC+CF=25+103 米,
在 Rt△AHE 中,∵∠HAE=45∘,
∴AH=HE=25+103 米,
∴AB=AH+HB=35+103 米,
答:楼房 AB 的高为 35+103 米.
23. (1) 如图 1 所示为所作.
(2) 如图 2,
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥AC.
∴△OBD∽△ABC.
24. (1) ∵ 直线 y=34x+m 与 y 轴交于点 B0,−1,
∴m=−1,
∴ 直线解析式为 y=34x−1,
∵ 直线经过点 C4,n,
∴n=34×4−1=2.
(2) ∵ 抛物线经过点 C 和点 B,
∴12×42+4b+c=2,c=−1,
解得 b=−54,c=−1,
∴ 抛物线解析式为 y=12x2−54x−1.
(3) ∵ 点 D 的横坐标为 t0
∴DE=34t−1−12t2−54t−1=−12t2+2t,
∵DE∥y 轴,
∴∠DEF=∠ABO,
∵∠EFD=∠AOB=90∘,
∴△DFE∽△AOB,
∴DFOA=EFOB=DEAB,
在 y=34x−1 中,令 y=0 可得 x=43,
∴A43,0,
∴OA=43,
在 Rt△AOB 中,OB=1,
∴AB=53,
∴DF43=EF1=DE53,
∴DF=45DE,EF=35DE,
∴p=2DE+EF=2×45+35DE=145DE=145−12t2+2t=−75t2+285t=−75t−22+285,
∵−75<0,
∴ 当 t=2 时,p 有最大值 285.
25. (1) 过点 D 作 DG⊥EF 于 G,
∵ME=MD,
∴∠MDE=∠MED,
∵EF⊥ME,
∴∠DME+∠GED=90∘,
∵∠DAB=90∘,
∴∠MDE+∠AED=90∘,
∴∠AED=∠GED,
∵ 在 △ADE 和 △GDE 中,
∠AED=∠GED,∠DAE=∠DGE=90∘,
∴△ADE≌△GDE(AAS),
∴AD=GD,
∵AC 的半径为 DC,即 AD 的长度,
∴EF 是 AC 所在 ⊙D 的切线
(2) MA=34 时,ME=MD=2−34=54,
在 Rt△AME 中,AE=ME2−MA2=542−342=1,
∴BE=AB−AE=2−1=1,
∵EF⊥ME,
∴∠1+∠2=180∘−90∘=90∘,
∵∠B=90∘,
∴∠2+∠3=90∘,
∴∠1=∠3,
∵∠DAB=∠B=90∘,
∴△AME∽△BEF,
∴MABE=MEEF,即 341=54EF,解得 EF=53,
在 Rt△MEF 中,MF=ME2+EF2=542+532=2512.
(3) 假设 △MFE 能是等腰直角三角形,则 ME=EF,
∵ 在 △AME 和 △BEF 中,
∠1=∠3,∠MAE=∠EBF,ME=EF,
∴△AME≌△BEF(AAS),
∴MA=BE,
设 AM=BE=x,则 MD=AD−MA=2−x,AE=AB−BE=2−x,
∵ME=MD,
∴ME=2−x,
∴ME=AE,
∵ME,AE 分别是 Rt△AME 的斜边与直角边,
∴ME≠AE,
∴ 假设不成立,故 △MFE 不能是等腰直角三角形.
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