2018年广州市中考数学试卷

2018年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．四个数0，1，，中，无理数的是（　　）

A． B．1 C． D．0

2．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）

A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条

3．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）

     A．  B． C． D．

4．下列计算正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6

5．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）

A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4

6．甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°

8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）

A． B． C．  D．

9．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而　   　（填“增大”或“减小”）．

12．如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　   　．

13．方程=的解是　   　．

14．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　   　．

15．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　   　．    

16．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE；③AF：BE=2：3；④S四边形AFOE：S△COD=2：3．

其中正确的结论有　   　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分102分）

17．（9分）解不等式组：．

18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．

19．（10分）已知T=+．

（1）化简T；（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．

20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．

（1）这组数据的中位数是　   　，众数是　   　；

（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；

（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．

21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．

（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？

（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．

22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．

（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；

（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．

①求k的值；

②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．

23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．

①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．

（1）求∠A+∠C的度数；

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

2018年广东省广州市中考数学试卷参考答案

一、1． A．2． C．3． B．4． D．5． B．6． C．7． D．8． D．9． A．10．A．

二、11．增大．12．   13． x=2  14．（﹣5，4）．15． 2．16．①②④．

三、17．解：，

解不等式①，得x＞﹣1，

解不等式②，得x＜2，

不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图

，

原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．

18．证明：在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．

19．解：（1）T=+==；

（2）由正方形的面积为9，得到a=3，

则T=．

20．解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2=16，17出现3次最多，所以众数是17，

故答案是16，17；

（2）=14，

答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；

（3）200×14=2800

答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次．

21．解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，

（1）当x=8时，

方案一：w=90%a×8=7.2a，

方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，

∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；

（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，

∴x＞5，

方案一：w=90%ax=0.9ax，

方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，

则0.9ax＞a+0.8ax，

x＞10，∴x的取值范围是x＞10．

22．解：（1）由题意y1=|x|．

函数图象如图所示：

（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，2），

∴2=，∴k=4．

同法当点A在第二象限时，k=﹣4，

②观察图象可知：①当k＞0时，x＞2时，y1＞y2或x＜0时，y1＞y2．

②当k＜0时，x＜﹣2时，y1＞y2或x＞0时，y1＞y2．

23．解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．

（2）①延长DE交AB的延长线于F．

∵CD∥AF，∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，∴∠ADF=∠F，∴AD=AF，

∵AD=AB+CD=AB+BF，∴CD=BF，

∵∠DEC=∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE=EF，

∵AD=AF，∴AE⊥DE．

②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．

∵AD=AF，DE=EF，

∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，

∴AK=AB=4，

在Rt△ADG中，DG==4，

∵KH∥DG，

∴=，

∴=，

∴KH=，

∵MB=MK，

∴MB+MN=KM+MN，

∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为GH的长，

∴BM+MN的最小值为．

24．解：（1）令y=0，

∴x2+mx﹣2m﹣4=0，

∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）

令y=0，

∴x2+mx﹣2m﹣4=0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，

∴x=2或x=﹣（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，

∴y=﹣2（m+2），

∴C（0，﹣2（m+2）），

∴OC=2（m+2），

①通过定点（0，1）理由：如图，

∵点A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB===，

在Rt△AOF中，tan∠OAF===，

∴OF=1，

∴点F的坐标为（0，1）；

②如图1，由①知，点F（0，1），

∵D（0，1），

∴点D在⊙P上，

∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，

∴∠DCE=90°，

∴DE是⊙P的直径

∴∠DBE=90°，

∵∠BED=∠OCB，

∴tan∠BED=，

设BD=m，

在Rt△BDE中，tan∠BED===，

∴BE=2m，

根据勾股定理得，DE==m，

∴l=BD+BE+DE=（3+）m，r=DE=m，

∴==．

25．解：（1）如图1中，

在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠C=30°，

∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°．

（2）如图2中，结论：DB2=DA2+DC2．

理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．

∵∠ABC=∠DBQ=60°，

∴∠ABD=∠CBQ，

∵AB=BC，DB=BQ，

∴△ABD≌△CBQ，

∴AD=CQ，∠A=∠BCQ，

∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°，

∴∠BCQ=90°，

∴DQ2=DC2+CQ2，

∵CQ=DA，DQ=DB，

∴DB2=DA2+DC2．

（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．

则△AER是等边三角形，∵EA2=EB2+EC2，EA=RE，EC=RB，

∴RE2=RB2+EB2，

∴∠EBR=90°，

∴∠RAE+∠RBE=150°，

∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°，

∴∠BEC=150°，

∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，

∵∠K+∠BEC=180°，

∴∠K=30°，∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴点E的运动路径==．