2018年广州市越秀区中考二模数学试卷

这是一份2018年广州市越秀区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12 的倒数是
A. 12B. −12C. 2D. −2

2. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，点 A，B，C 在 ⊙D 上，∠ABC=70∘，则 ∠ADC 的度数为
A. 110∘B. 140∘C. 35∘D. 130∘

4. 已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为
A. 7，8B. 7，6C. 6，7D. 7，4

5. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 如图所示，直线 AB⊥CD 于点 O，直线 EF 经过点 O，若 ∠1=26∘，则 ∠2 的度数是
A. 26∘B. 64∘
C. 54∘D. 以上答案都不对

7. 某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，其中数学 97 分，化学 89 分，那么物理成绩是
A. 91 分B. 92 分C. 93 分D. 94 分

8. 如图，A，B 两点在数轴上表示的数分别为 a，b，下列式子成立的是
A. ab>0B. a+b<0
C. b−1a+1>0D. b−1a−1>0

9. 下列三个命题中，是真命题的有
①对角线互相平分且垂直的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 4 个

10. 如图，点 A，B 为直线 y=x 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=2xx>0 于 C，D 两点．若 BD=3AC，则 9⋅OC2−OD2 的值为
A. 16B. 27C. 32D. 48

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 a3⋅am=a9，则 m= ．

12. 因式分解：x3−4x= ．

13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=8 且 csB=12，则 AB= ．

14. 如图，点 D，E 分别是 △ABC 的边 AC，BC 上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80∘，则 ∠BED= ∘．

15. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转至 △DEC，使点 D 落在 BC 的延长线上，已知 ∠A=27∘，∠B=40∘，则 ∠ACE= ．

16. 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=−1，与 x 轴的一个交点 A 在点 −3,0 和 −2,0 之间，其部分图象如图，则下列 4 个结论：
① b2−4ac<0；② 2a−b=0；③ a+b+c<0；④ Mx1,y1，Nx2,y2 在抛物线上，若 x1
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x+3x−3−4x+3=1．

18. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=5，AO=3，求菱形的面积．

19. 随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出 2017 年“五 ⋅ 一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：
（1）2017 年“五 ⋅ 一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计 2018 年“五 ⋅ 一”节将有 80 万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游?
（3）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少?请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．

20. 已知 A=2x+yx2−2xy+y2⋅x−y．
（1）化简 A；
（2）若 x2−6xy+9y2=0，求 A 的值．

21. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为 BC 的中点．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①过点 B 作 AC 的平行线 BH；
②过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G；
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

22. 某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜 40 元．
（1）问购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元?
（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问最多购买垃圾箱多少个?

23. 如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 M，过 M 作 MH⊥x 轴于点 H，且 tan∠AHO=2．
（1）求 k 的值；
（2）点 Na,1 是反比例函数 y=kxx>0 图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使得 PM+PN 最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 二次函数 y=x2+px+q 的顶点 M 是直线 y=−12x 和直线 y=x+m 的交点．
（1）若直线 y=x+m 过点 D0,−3，求 M 点的坐标及二次函数 y=x2+px+q 的解析式；
（2）试证明无论 m 取任何值，二次函数 y=x2+px+q 的图象与直线 y=x+m 总有两个不同的交点；
（3）在（1）的条件下，若二次函数 y=x2+px+q 的图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴的右交点为 A，试在直线 y=−12x 上求异于 M 的点 P，使 P 在 △CMA 的外接圆上．

25. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2=CE⋅CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F，若 PB=OB，CD=22，求 DF 的长．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. B
4. B
5. D
6. B【解析】∵∠1=26∘，∠DOF 与 ∠1 是对顶角，
∴∠DOF=∠1=26∘，
又 ∵∠DOF 与 ∠2 互余，
∴∠2=90∘−∠DOF=90∘−26∘=64∘．
7. C
8. C
9. A【解析】①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故①是假命题；
②三个角是直角的四边形是矩形，正确，故②是真命题；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故③是真命题；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，故④是真命题．
10. C
第二部分
11. 6
12. xx+2x−2
13. 16
【解析】如图所示：
∵csB=12，
∴∠B=60∘，
∴∠A=30∘，
则 BC=12AB=8，
故 AB=16．
14. 80
15. 46∘
【解析】因为 ∠A=27∘，∠B=40∘，
所以 ∠ACD=∠A+∠B=27∘+40∘=67∘，
因为 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至 △DEC，
所以 △ABC≌△DEC，
所以 ∠ACB=∠DCE，
所以 ∠BCE=∠ACD，
所以 ∠BCE=67∘，
所以 ∠ACE=180∘−∠ACD−∠BCE=180∘−67∘−67∘=46∘．
16. ②③
【解析】∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴ ①错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴ ②正确；
∵ 抛物线对称轴为直线 x=−1，抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点 −3,0 和 −2,0 之间，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点在点 0,0 和 1,0 之间，
∴x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴ ③正确；
∵ 抛物线开口向下，
∴ 当 x1y2；
∴ ④错误．
第三部分
17.
x+32−4x−3=x−3x+3.x2+6x+9−4x+12=x2−9.x=−15.
检验：把 x=−15 代入得
x−3x+3≠0.∴
原分式方程的解为：
x=−15.
18. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90∘，
∴OB=AB2−OA2=4．
又 ∵AC=2OA=6，BD=2OB=8，
∴S菱形ABCD=12×8×6=24．
19. （1） 50；108∘
补全条形统计图如图 1 所示：
【解析】该市周边景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360∘=108∘，
B景点接待游客数为：50×24%=12（万人）．
（2） 因为E景点接待游客数所占的百分比为：650×100%=12%，
所以 2018 年“五 ⋅ 一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%=9.6（万人）．
（3） 画树状图如图 2 所示：
因为共有 9 种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有 3 种，
所以同时选择去同一个景点的概率 =39=13．
20. （1） A=2x+yx2−2xy+y2⋅x−y=2x+yx−y2⋅x−y=2x+yx−y.
（2） ∵x2−6xy+9y2=0，
∴x−3y2=0．
则 x−3y=0，
故 x=3y，
则
A=2x+yx−y=6y+y3y−y=72．
21. （1） 作图如下：
①如图 1：
②如图 2：
（2） △DEC≌△DFB．
证明：
∵BH∥AC，
∴∠DCE=∠DBF，
又 ∵D 是 BC 中点，
∴DC=DB．
在 △DEC 与 △DFB 中，
∠DCE=∠DBF,DC=DB,∠EDC=∠FDB,
∴△DEC≌△DFBASA．
22. （1） 设购买 1 个温馨提示牌需要 x 元，购买 1 个垃圾箱需要 y 元，依题意得：
3x+4y=580,x=y−40,
解得：
x=60,y=100.
答：购买 1 个温馨提示牌需要 60 元，购买 1 个垃圾箱需要 100 元．
（2） 设购买垃圾箱 m 个，则购买温馨提示牌 100−m 个，
依题意得：
60100−m+100m≤8000,m≤50.
答：最多购买垃圾箱 50 个．
23. （1） 由 y=2x+2 可知 A0,2，即 OA=2．
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1．
∵MH⊥x 轴，
∴ 点 M 的横坐标为 1．
∵ 点 M 在直线 y=2x+2 上，
∴ 点 M 的纵坐标为 4，即 M1,4．
∵ 点 M 在 y=kx 上，
∴k=1×4=4．
（2） 存在．
过点 N 作 N 关于 x 轴的对称点 N1，连接 MN1，交 x 轴于 P（如图所示）．此时 PM+PN 最小．
∵ 点 Na,1 在反比例函数 y=4xx>0 上，
∴a=4，即点 N 的坐标为 4,1．
∵N 与 N1 关于 x 轴的对称，N 点坐标为 4,1，
∴N1 的坐标为 4,−1．
设直线 MN1 的解析式为 y=kx+b．
由 4=k+b,−1=4k+b, 解得 k=−53,b=173,
∴ 直线 MN1 的解析式为 y=−53x+173．
令 y=0，得 x=175．
∴P 点坐标为 175,0．
24. （1） 把 D0,−3 坐标代入直线 y=x+m 中，得 m=−3，从而得直线 y=x−3．
由 M 为直线 y=−12x 与直线 y=x−3 的交点，
得 y=−12x,y=x−3, 解得 x=2,y=−1,
∴ 得 M 点坐标为 M2,−1．
∵M 为二次函数 y=x2+px+q 的顶点，
∴ 其对称轴为 x=2，
由对称轴公式：x=−b2a，得 −p2=2，
∴p=−4；
∴ 二次函数 y=x2+px+q 的解析式为：y=x2−4x+3；
[也可用顶点式求得解析式：由 M2,−1，得 y=x−22−1，展开得 y=x2−4x+3 ]
（2） ∵M 是直线 y=−12x 和 y=x+m 的交点，得 y=−12x,y=x+m, 解得 x=−23m,y=13m,
∴ 得 M 点坐标为 M−23m,13m，
从而有 −p2=−23m 和 4q−43m24=13m，
解得 p=43m；q=49m2+13m．
由 y=x+m,y=x2+px+q 得 x2+p−1x+q−m=0，
该一元二次方程根的判别式 Δ=p−12−4q−m=43m−12−449m2+13m−m=1>0，
∴ 二次函数 y=x2+px+q 的图象与直线 y=x+m 总有两个不同的交点．
（3） 由（1）知，二次函数的解析式为：y=x2−4x+3，
当 x=0 时，y=3．
∴ 点 C 的坐标为 C0,3．
令 y=0，即 x2−4x+3=0，解得 x1=1，x2=3，
∴ 点 A 的坐标为 A3,0．
由勾股定理，得 AC=32．
∵M 点的坐标为 M2,−1，过 M 点作 x 轴的垂线，垂足的坐标应为 2,0，
由勾股定理，得 AM=2；
过 M 点作 y 轴的垂线，垂足的坐标应为 0,−1，
由勾股定理，得 CM=42+22=20=25．
∵AC2+AM2=20=CM2，
∴△CMA 是直角三角形，
CM 为斜边，∠CAM=90∘．
直线 y=−12x 与 △CMA 的外接圆的一个交点为 M，另一个交点为 P，则 ∠CPM=90∘．
即 △CPM 为直角三角形．
设 P 点的横坐标为 x，则 Px,−12x．
过点 P 作 x 轴垂线，过点 M 作 y 轴垂线，两条垂线交于点 E（如图），
则 Ex,−1．
过 P 作 PF⊥y 轴于点 F，则 F0,−12x．
在 Rt△PEM 中，PM2=PE2+EM2=−12x+12+2−x2=54x2−5x+5．
在 Rt△PCF 中，PC2=PF2+CF2=x2+3+12x2=54x2+3x+9．
在 Rt△PCM 中，PC2+PM2=CM2，得 54x2+3x+9+54x2−5x+5=20，化简整理得 5x2−4x−12=0，解得 x1=2，x2=−65．
当 x=2 时，y=−1，即为 M 点的横、纵坐标．
∴ P 点的横坐标为 −65，纵坐标为 35．
∴ P−65,35．
25. （1） ∵ DC2=CE⋅CA，
∴ DCCE=CADC，
又 ∵ ∠DCE=∠ACD，
∴ △CDE∽△CAD，
∴ ∠CDB=∠DAC，
∵ ∠DAC=∠DBC，
∴ ∠CDB=∠DBC，
∴ BC=CD；
（2） 如图，连接 OC，
∵ BC=CD，
∴ ∠DAC=∠CAB，
又 ∵ AO=CO，
∴ ∠CAB=∠ACO，
∴ ∠DAC=∠ACO，
∴ AD∥OC，
∴ PCPD=POPA，
∵ PB=OB，CD=22，
∴ PCPC+22=23，
∴ PC=42，
又 ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴ ∠PCB=∠DAB，
∵ ∠P=∠P，
∴ △PBC∽△PDA，
∴ PBPD=PCPA=BCDA，
∵ PB=OB=AO，
∴ PB62=423PB=22DA，
∴ AD=6，PB=4，
由勾股定理得 AF2=AP2−PF2=AD2−DF2，
即 122−DF+622=62−DF2，
求得 DF=322．