2018-2019学年天津市红桥区九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年天津市红桥区九上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 已知一元二次方程 x2+kx−5=0 有一个根为 1，k 的值为
A. −2B. 2C. −4D. 4

3. 一元二次方程 y2−4y−3=0 配方后可化为
A. y−22=7B. y+22=7C. y−22=3D. y+22=3

4. 下列对二次函数 y=x2−x 的图象的描述，正确的是
A. 开口向下B. 对称轴是 y 轴
C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的

5. 如图，⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若 ∠A=30∘，∠APD=70∘，则 ∠B 等于
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 50∘

6. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯 55 次，设参加酒会的人数为 x，则可列方程为
A. 12xx−1=55B. xx−1=55
C. 12xx+1=55D. xx+1=55

7. 若一元二次方程 x2−8x−33=0 的两根分别为 x1，x2，则 x1+1x2+1 的值为
A. −24B. 24C. −40D. 40

8. 如图，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 得 △DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延长线上，连接 AD．下列结论一定正确的是
A. ∠ABD=∠EB. ∠CBE=∠CC. AD∥BCD. AD=BC

9. 如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，点 C 在弦 AB 上，且 AC=14AB，则 OC 的长为
A. 22B. 23C. 13D. 42

10. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 100 m，则池底的最大面积是
A. 600 m2B. 625 m2C. 650 m2D. 675 m2

11. 如图，函数 y=ax2−2x+1 和 y=ax−1（a 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是
A. B.
C. D.

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，其顶点坐标为 −2,−9a，有下列结论：①4a+2b+c>0；②9a−b+c=0；③ 若方程 ax+5x−1=−1 有两个根 x1 和 x2，且 x1A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若 x3m−1−2x−1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 ．

14. 如图，点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上，AB=10，∠A=30∘，则 BC 的长为 ．

15. 在平面直角坐标系中，把点 P−3,2 绕原点 O 顺时针旋转 180∘，所得到的对应点 Pʹ 的坐标为 ．

16. 将抛物线 C:y=x2 先向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 1 个单位长度后，所得抛物线 Cʹ 的解析式为 ．

17. 某种植基地 2017 年蔬菜产量为 100 吨，预计 2019 年蔬菜产量将达到 144 吨，据此估计该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为 ．

18. 如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 26 秒时点 E 在量角器上对应的读数是 度．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A4,6，B5,2，C2,1．
（1）求 △ABC 的面积；
（2）在图中画出 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 90∘ 得到的 △AʹBʹCʹ 并写出点 A 的对应点 Aʹ 的坐标．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2−3x−m=0．
（1）当 m=1 时，求方程的根；
（2）若方程有两个不相等的根，求 m 的取值范围．

21. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 y 轴交于点 0,−2，且过点 A−1,1 和 B4,6．
（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）当 2≤x≤5 时，求二次函数的函数值 y 的取值范围．

22. 已知 ⊙O 的直径为 10，点 A 、点 B 、点 C 是在 ⊙ 上，∠CAB 的平分线交 ⊙O 于点 D．
（1）如图 ①，若 BC 为 ⊙O 的直径，AB=6，求 AC，BD，CD 的长；
（2）如图 ②，若 ∠CAB=60∘，求 BD 的长．

23. 某商品现在的售价为毎件 60 元，每月可卖出 300 件．市场调査反映：如调整价格，每涨价 1 元，每月要少卖出 10 件．该商品的进价为每件 40 元，设每件涨价 x 元．
（1）根据题意，填写下表：
每件涨价/元048⋯x每件利润/元2024 ⋯ 月卖出量/件300 220⋯
（2）若该商品上个月的销售利润为 5250 元，求上个月该商品的定价．

24. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3．以点 B 为中心，顺时针旋转矩形 BADC，得到矩形 BEFG，点 A，D，C 的对应点分别为 E，F，G．
（1）如图①，当点 E 落在 CD 边上时，求线段 CE 的长；
（2）如图②，当点 E 落在线段 DF 上时，求证：∠ABD=∠EBD；
（3）在（2）的条件下，CD 与 BE 交于点 H，求线段 DH 的长．

25. 抛物线 y=ax2+bx+5 的顶点坐标为 2,9，与 y 轴交于点 A0,5，与 x 轴交于点 E，B（点 E 在点 B 的左侧），点 P 为拋物线上一点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，当点 P 在 AC 上方时，作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D，求使四边形 APCD 的面积最大时点 P 的坐标；
（3）设 N 为 x 轴上一点，当以 A，E，N，P 为顶点，AE 为一边的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】根据中心对称的定义可得：A，C，D都不符合中心对称的定义．
2. D【解析】把 x=1 代入方程得 1+k−5=0，解得 k=4．
3. A【解析】y2−4y=3.y2−4y+4=7.y−22=7.
4. C【解析】A．∵a=1>0，
∴ 抛物线开口向上，选项A不正确；
B．∵−b2a=12，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=12，选项B不正确；
C．当 x=0 时，y=x2−x=0，
∴ 抛物线经过原点，选项C正确；
D．∵a>0，抛物线的对称轴为直线 x=12，
∴ 当 x>12 时，y 随 x 值的增大而增大，选项D不正确．
5. C
【解析】∵∠APD 是 △APC 的外角，
∴∠APD=∠C+∠A，
∵∠A=30∘，∠APD=70∘，
∴∠C=∠APD−∠A=40∘，
∴∠B=∠C=40∘．
6. A【解析】设参加酒会的人数为 x 人，根据题意得：12xx−1=55．
7. A【解析】∵ 一元二次方程 x2−8x−33=0 的两根分别为 x1，x2，
∴x1+x2=8，x1x2=−33，
∴x1+1x2+1=x1+x2+x1x2+1=8+1−33=−24．
8. C【解析】∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 得 △DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60∘，AB=BD，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠DAB=60∘，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC．
9. C【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA，
∵AB=8，AC=14AB，
∴AC=2，BC=6，
∴AD=12×8=4．
在 Rt△AOD 中，
∵OA=5，AD=4，
∴OD=52−42=3，
在 Rt△OCD 中，
∵OD=3，CD=AD−AC=4−2=2，
∴OC=OD2+CD2=32+22=13．
10. B
【解析】设矩形的一边长为 x m，则其邻边为 50−xm，若面积为 S，
则 S=x50−x=−x2+50x=−x−252+625，
∵−1<0，
∴S 有最大值，
当 x=25 时，最大值为 625．
11. B【解析】A．由一次函数 y=ax−a 的图象可得：a<0，此时二次函数 y=ax2−2x+1 的图象应该开口向下，故选项错误；
B．由一次函数 y=ax−a 的图象可得：a>0，此时二次函数 y=ax2−2x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x=−−22a>0，故选项正确；
C．由一次函数 y=ax−a 的图象可得：a>0，此时二次函数 y=ax2−2x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x=−−22a>0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误；
D．由一次函数 y=ax−a 的图象可得：a>0，此时二次函数 y=ax2−2x+1 的图象应该开口向上，故选项错误．
12. D【解析】函数顶点坐标为 −2,−9a，则：−b2a=−2，c−b24a=−9a，
则：b=4a，c=−5a，由韦达定理得：x1+x2=−ba=−4．
① 把 x=2 代入二次函数表达式，则：y=4a+2b+c>0，正确；
②9a−b+c=9a−4a−5a=0，正确；
③ 函数 y=ax2+bx+c 向上平移 1 个单位即为：y=ax+5x−1+1，
而函数 y=ax2+bx+ca≠0 于 x 轴的交点为 −5,0 和 1,0，
故：方程 ax+5x−1=−1 有两个根 x1 和 x2，且 x1则 −5 ③ 方程 y=ax2+bx+c 向上下平移 1 个单位，可得到新抛物线：y=ax2+bx+c+1 和 y=ax2+bx+c−1，
设新抛物线 y=ax2+bx+c+1 与 x 轴的交点坐标为 x3,0，x4,0，
由韦达定理得：x3+x4=−ba=−4，
同理：y=ax2+bx+c−1 与 x 轴交点横坐标和为 −4，故：正确．
第二部分
13. 1
【解析】依题意得：3m−1=2，解得 m=1．
14. 5
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
在 Rt△ABC 中，∠A=30∘，AB=10，
因此 BC=12AB=5．
15. 3,−2
【解析】根据题意得，点 P 关于原点的对称点是点 Pʹ，
∵P 点坐标为 −3,2，
∴ 点 Pʹ 的坐标 3,−2．
16. y=x+22+1
【解析】原抛物线的顶点为 0,0，向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 1 个单位长度，
那么抛物线 Cʹ 的顶点为 −2,1，
可得抛物线 Cʹ 的解析式为：y=x+22+1．
17. 20%
【解析】设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为 x，
根据题意，得 1001+x2=144，
解这个方程，得 x1=0.2=20%，x2=−2.2，
经检验 x2=−2.2 不符合题意，舍去．
即：该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为 20%．
18. 156
【解析】连接 OE，
∵∠ACB=90∘，
∴A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上，
∴ 点 E，A，B，C 共圆，
∵∠ACE=3×26=78∘，
∴∠AOE=2∠ACE=156∘，
∴ 点 E 在量角器上对应的读数是：156∘．
第三部分
19. （1） △ABC 的面积为 3×5−12×1×3−12×1×4−12×2×5=152．
（2） 如图所示，△AʹBʹCʹ 即为所求．
由图知点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为 −3,3．
20. （1） 把 m=1 代入方程，得 2x2−3x−1=0，
Δ=−32−4×2×−1=17>0，
∴x=3±172×2=3±174．
∴x1=3+174，x2=3−174．
（2） ∵ 方程有两个不相等的根，
∴Δ=−32+8m>0，
即 9+8m>0，解得 m>−98．
21. （1） 根据题意，将 0,−2，−1,1，4,6 代入解析式，
得：c=2,a−b+c=1,16a+4b+c=6,
解得：a=1,b=−2,c=−2,
∴ 二次函数的解析式为 y=x2−2x−2=x−12−3，
∴ 该二次函数的图象的顶点的坐标为 1,−3．
（2） ∵y=x−12−3，
∴ 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大，
当 x=2 时，y=−2；
当 x=5 时，y=13；
∴ 当 2≤x≤5 时，二次函数的函数值 y 的取值范围为 −2≤y≤13．
22. （1） ∵ BC 是直径，
∴ ∠BAC=∠BDC=90∘，
∵ AB=6，BC=10，
∴ AC=8，
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠1=∠2=45∘，
∵ CD=CD，
∴ ∠3=∠1=45∘，
Rt△BCD，∠3=45∘，BC=10，
∴ BD=CD=52．
（2） ∵ AD 平分 ∠CAB，∠CAB=60∘，
∴ ∠1=∠2=30∘，
∵ BD=BD，
∴ ∠3=2∠2=60∘，
∵ OB=OD，
∴ 正 △BOD，
∴ BD=BO=5．
23. （1） 260；28；20+x；300−10x
【解析】300−10×4=260，20+8=28，
当每件涨价 x 元时，每件的利润为 20+x 元，每月可卖出 300−10x 件．
（2） 根据题意得：
20+x300−10x=5250.
整理得：
x2−10x−5−0.
解得：
x1=−5.x2=15.
答：上个月该商品的定价为 15 元．
24. （1） 由旋转的性质知 BA=BE=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=3，∠C=90∘，
∴CE=BE2−BC2=52−32=4．
（2） 由旋转的性质知 ∠BEF=∠A=90∘，BE=BA，
∵ 点 E 落在线段 DF，
∴∠BED=∠A=90∘，
在 △ABD 和 △EBD 中，
∵BD=BD,BA=BE,
∴Rt△ABD≌Rt△EBDHL，
∴∠ABD=∠EBD．
（3） 设 DH=x，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=5，
∴CH=CD−DH=5−x，∠ABD=∠CDB，
又 ∵∠ABD=∠EBD，
∴∠CDB=∠EBD，
∴DH=BH=x，
在 Rt△BCH 中，
∵CH2+BC2=BH2，
∴5−x2+32=x2，
解得：x=175，
∴DH=175．
25. （1） 设抛物线解析式为 y=ax−22+9，
∵ 抛物线与 y 轴交于点 A0,5，
∴4a+9=5，
∴a=−1，y=−x−22+9=−x2+4x+5．
（2） 如图 1，
当 y=0 时，−x2+4x+5=0，
∴x1=−1，x2=5，
∴E−1,0，B5,0，
设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，
∵A0,5，B5,0，
∴m=−1，n=5，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+5；
设 Px,−x2+4x+5，
∵ 点 P 在 AC 上方，
∴0 ∴Dx,−x+5，
∴PD=−x2+4x+5+x−5=−x2+5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD=S△APD+S△PCD=12PD⋅AH+12PD⋅CH=12PD⋅AC=12×4−x2+5x=−2x2+10x=−2x−522+252,
∵−2<0，
∴ 当 x=52 时，即：使四边形 APCD 的面积最大时点 P 的坐标为 52,354．
（3） 分三种情况：
①当 P 在 x 轴上方时，以 AE 为边时，如图 2，
∵N 在 x 轴上，四边形 AENP 是平行四边形，
∴AP∥EN，
∵A0,5，
∴P 的纵坐标为 5，
当 y=5 时，−x2+4x+5=5，解得：x1=0，x2=4，
∴P4,5；
②当 P 在 x 轴的下方时，以 AE 为边，如图 3，
同理可得 P 的纵坐标为 −5，
当 y=−5 时，−x2+4x+5=−5，解得：x=2±14，
∴P2+14,−5或2−14,−5；
③以 AE 为对角线时，如图 4，同理可知：P4,5．
综上所述，点 P 的坐标 4,5 或 2+14,−5 或 2−14,−5．