初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课后作业题

这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课后作业题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版2021年八年级上册第1章《勾股定理》单元同步练习一、选择题1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（   ）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122．在中，，，分别是，，的对边，若，则（   ）A． B．C． D．3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）A．5 B．6 C．7 D．254．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（   ）A．25 B．14 C．7 D．7或255．的周长为24，，且，则等于（   ）A．6 B．8 C．10 D．126．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）A．5m B．6m C．7m D．8m7．如图,在中,,于点,则的长是(     )A．6 B． C． D．8．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（   ）A． B．C． D． 二、填空题9．已知，则以，，为边长的三角形是_____三角形.10．已知、、是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为___________11．在中，，，分别是，，的对边，且，，若三边长为连续整数，则_________.12．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.13．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________14．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的面积为，则正方形⑤的面积为________.15．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺. 16．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．三、解答题17．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．    18．如图所示， ，，，，，求阴影部分的面积.   19．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点和点是这个台阶的两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？   20．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？    21．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；       （2）求BG的长．      22．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.             参考答案1．C【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵42+82≠102，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故本选项正确；D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．2．B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，
∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2．
故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视，受思维定式的影响，想当然地认为为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，3．A【详解】解：利用勾股定理可得：，故选A．4．D【分析】根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．5．B【分析】可先设AB=5x，BC=3x，在该三角形中，由勾股定理可求出AC关于x的代数式，由于直角三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24，据此列出方程求出x的值，代入AC的关于x的代数式中，即可求出AC的值．【详解】设AB=5x，BC=3x，在Rt△ACB中，
由勾股定理得：
AC2=AB2-BC2，
AC= 直角三角形ABC的周长为：5x+4x+3x=24，x=2，
所以，AC=2×4=8，
故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，关键在于用含有x的式子分别表示出三边的值，代入周长公式求解，属于常考的考点．6．C【解析】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．由于，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．7．D【分析】根据勾股定理的应用与性质即可求解.【详解】∵,∴BC=∵∴CD===故选D【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.8．C【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC==13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．
故选C【点睛】考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.9．直角【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出，，的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可.【详解】解:根据题意得，x-3＝0，y-5＝0，z-4＝0解得x＝3，y＝5，z＝4又32+42=52即x2+z2=y2∴以，，为三边长的三角形是直角三角形答案为:直角【点睛】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键.10．等腰直角三角形【详解】根据非负数的意义，由，可知，a=b，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.11．2或5.【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，进一步确定第三边的长，由此得出答案即可．【详解】解：∵a=3，b=4，
∴根据三角形的三边关系，得4-3＜c＜4+3．
即1＜c＜7，∵三边长为连续整数∴.c=2或5．
故答案为2或5．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，注意掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．12．20【分析】分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案．【详解】将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则,当蚂蚁经上侧面爬到B点,则 比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20，故答案为：20.【点睛】本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等.13．10或90【解析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．故答案是：10或90．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．14．4【分析】求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根据正方形的性质求出边长即可．【详解】试题解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16；…第n个正方形的面积是，∴正方形⑤的面积是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，依次求出各正方形的面积是解题的关键．15．25.【详解】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=25（尺）．故答案为25．考点：平面展开最短路径问题16．10．【详解】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案为10．点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．17．150或42．【详解】分析：本题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，再根据三角形的面积公式求解即可．详解：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况：    ①高AD在三角形内，如图1所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：    AC2=AD2+DC2，∴DC=9．在Rt△ADB中，由勾股定理得：    AB2=AD2+BD2，∴BD=16，∴BC=BD+DC=16+9=25，∴S△ABC=×25×12=150；    ②高AD在三角形外，如图2所示：    在Rt△ADC中，由勾股定理得：    AC2=AD2+DC2    ∴DC=9．在Rt△ADB中，由勾股定理得：    AB2=AD2+BD2，∴BD=16，∴BC=BD﹣DC=16﹣9=7，∴S△ABC=×7×12=42．    故答案为150或42．    点睛：本题主要考查运用勾股定理的运用，解题的关键是要想到分类讨论，防止漏解．18．.【分析】连接.在中，利用勾股定理求AC,再根据可得，根据，求解.【详解】解：如图，连接.在中，，所以.所以.即.因为，，所以.所以.所以.【点睛】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.19．73cm【解析】【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答.【详解】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段的长.在中，，.由勾股定理，得.所以.因此，蚂蚁从点爬到点的最短路程是73cm.【点睛】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.20．E点应建在距A站10千米处．【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．【详解】解：设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．21．（1）证明见解析（2）2【详解】试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形全等；根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据Rt△ECG的勾股定理得出x的值.试题解析：（1）、∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF，   ∴∠AFG=∠B，  又AG=AG， ∴△ABG≌△AFG；（2）、∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG=，则GC=, ∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3， ∴EG=， ∴， 解得， ∴BG=2.考点：正方形的性质、三角形全等、勾股定理. 22．（1）运动s时，△APC是等腰三角形.（2）当运动时间为5.5 s 或6 s 或6.6 s时，△BCQ为等腰三角形.【分析】（1）根据题意得，AP=PC，列方程，求解即可；（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程，求出t即可．【详解】（1）由题意可知AP=t，PC= ∵AP=PC，∴t=，解得，t=，∴出发秒后△APC能形成等腰三角形；（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，解得t=或t=-＜0（舍去）；当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，∴∠A=∠QBA，∴QB=QA，∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=或t=6或t=5.5．