2020年北京市燕山地区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市燕山地区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2020 年 5 月 5 日 18 时，长征五号 B 运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号 B 运载火箭运载能力超过 22000 千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将 22000 用科学记数法表示应为
A. 2.2×104B. 2.2×105C. 22×103D. 0.22×105

2. 如图，用三角板作 △ABC 的边 AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是
A. B.
C. D.

3. 下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图是某几何体的展开图，则该几何体是
A. 四棱锥B. 三棱锥C. 四棱柱D. 长方体

5. 如图，在数轴上，实数 a，b 的对应点分别为点 A，B，则 ab=
A. 1.5B. 1C. −1D. −4

6. 2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会在浙江乌镇举行，会议发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5 项成果属于芯片领域．小飞同学要从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中任选 1 项进行了解，则他恰好选中芯片领域成果的概率为
A. 15B. 13C. 110D. 115

7. 若 a2+4a=5，则代数式 2aa+2−a+1a−1 的值为
A. 1B. 2C. 4D. 6

8. “实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车 1 年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过 40 岁和年龄在 40 岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取 10 位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．下列推断不正确的是
A. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组
B. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组
C. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组
D. 这 20 位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 函数 y=x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：x3−4x= ．

11. 下图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ．

12. 用一个 a 的值说明命题“若 a2>1，则 a>1”是假命题，这个值可以是 a= ．

13. 如图，∠1，∠2，∠3 均是五边形 ABCDE 的外角，AE∥BC，则 ∠1+∠2+∠3= ∘．

14. 如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的 ⊙A 与 BC 交于点 F，则 tan∠DEF= ．

15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中有一个“绳索量竿”问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺”．译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杆，绳索比杆子长 5 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿子短 5 尺，问绳索长几尺?注：一托 =5 尺，设绳索长 x 尺，竿子长 y 尺，依题意，可列方程组为 ．

16. 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形 ABCD，四边形 MNPQ 都是平行四边形；
②若四边形 ABCD 是平行四边形，则 MP 与 NQ 交于点 O；
③若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 MNPQ 也是矩形；
④若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 也一定是正方形．
所有正确推断的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−32+2tan60∘−12+3−π0．

18. 解不等式 x−13−2x+1≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．

19. 如图，△ABC 中，AB=BC，CD⊥AB 于点 D，∠BAC 的平分线 AE 交 BC 于点 E．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）求证：∠BCD=∠CAE．

20. 已知关于 x 的方程 mx2−2m+1x+2=0m≠0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

21. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 AB 中点，O 为 BC 中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 BE，CE．
（1）求证：四边形 DCEB 为菱形；
（2）若 AC=6，∠DCB=30∘，求四边形 DCEB 的面积．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=mx+3 与 x 轴交于点 C，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于点 A1,4 和点 B．
（1）求 m，k 的值及点 C 的坐标；
（2）若点 P 是 x 轴上一点，且 S△ABP=5，直接写出点 P 的坐标．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 作 ⊙O 切线 CD 交 BA 的延长线于点 D，过点 O 作 OE∥AC 交切线 DC 于点 E，交 BC 于点 F．
（1）求证：∠B=∠E；
（2）若 AB=10，csB=45，求 EF 的长．

24. 已知 y1，y2 均是 x 的函数，下表是 y1，y2 与 x 的几组对应值：
x⋯−4−3−2−101234⋯y1⋯−3−3−3−3−3−2.5−11.55⋯y2⋯−1.88−2.4−3.2−⋯
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y1，y2 与 x 之间的变化规律，分别对函数 y1，y2 的图象与性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整．
（1）如图，在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：
①当 x=3.5 时，对应的函数值 y1 约为 ；
②写出函数 y2 的一条性质： ；
③当 y1>y2 时，x 的取值范围是 ．

25. 某学校八、九年级各有学生 200 人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取 40 名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩 80 分及以上为优秀，70−79 分为良好，60−69 分为合格，60 分以下为不合格）
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）
b．八年级学生成绩在 70≤x<80 这一组的是：
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79
c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：
平均数中位数众数优秀率79768440%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在此次测试中，小腾的成绩是 74 分，在年级排名是第 17 名，由此可知他是 年级的学生（填“八”或“九”）；
（2）根据上述信息，推断 年级学生运动状况更好，理由为 ；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
（3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 人；
②如果年级排名在前 70 名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到 分才可以入选．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4axa≠0 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧）．
（1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点 P2,2，Q2+2a,5a，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 已知菱形 ABCD 中，∠A=60∘，点 E 为边 AD 上一个动点（不与点 A，D 重合），点 F 在边 DC 上，且 AE=DF，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120∘ 得线段 DG，连接 GF，BF，EF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BEF 为等边三角形；
（3）用等式表示线段 BG，GF，CF 的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G，给出如下定义：若图形 G 上存在两个点 A，B，使得 △PAB 是边长为 2 的等边三角形，则称点 P 是图形 G 的一个“和谐点”．
已知直线 l:y=3x+nn≥0 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，⊙O 的半径为 r．
（1）若 n=0，在点 P12,0，P20,23，P34,1 中，直线 l 的和谐点是 ；
（2）若 r=2，⊙O 上恰好存在 2 个直线 l 的和谐点，求 n 的取值范围；
（3）若 n=33，线段 MN 上存在 ⊙O 的和谐点，直接写出 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. A
5. C
6. B
7. D
8. C
第二部分
9. x≥2
10. xx+2x−2
11. 答案不唯一，如，2aa+b=2a2+2ab
12. 答案不唯一，如，−2
13. 180
14. 12
15. x=y+5,12x=y−5
16. ①②
第三部分
17. 原式=−9+23−23+1=−8.
18. 去分母，得
x−1−6x+1≥3.
去括号，得
x−1−6x−6≥3.
移项合并同类项，得
−5x≥10.
系数化为 1，得
x≤−2.∴
原不等式的解集为 x≤−2．
在数轴上表示如下：
19. （1） 补全的图形如下图．
（2） ∵AB=BC，
∴∠B=∠ACB．
又 ∵AE 是 ∠BAC 的平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠ACB+∠CAE=90∘．
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90∘，
∴∠BCD=∠CAE．
20. （1） 由题意，得
Δ=−2m+12−4×m×2=4m2+4m+1−8m=4m2−4m+1=2m−12.
∵ 不论 m 为何实数，2m−12≥2 恒成立，即 Δ≥0 恒成立，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 此题答案不唯一．
由求根公式，得 x1,2=2m+1±2m−122m，
∴ 原方程的根为 x1=2，x2=1m．
∵ 方程的两个根都是正整数，
∴ 取 m=1，此时方程的两根为 x1=2，x2=1．
21. （1） ∵O 是 BC 边中点，
∴OC=OB，
又 ∵OE=OD，
∴ 四边形 DCEB 是平行四边形．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D 为 AB 中点，
∴CD=BD，
∴ 四边形 DCEB 为菱形．
（2） ∵CD=BD，∠DCB=30∘，
∴∠ABC=∠DCB=30∘．
∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，∠ABC=30∘，
∴AB=12，BC=63．
∵D 为 AB 中点，O 是 BC 中点，
∴DO=12AC=3，
∴S菱形DCEB=BC⋅DO=183．
22. （1） 将点 A1,4 的坐标代入 y=mx+3 中，得 4=m×1+3，解得 m=1．
在 y=x+3 中，令 y=0，得 x=−3，
∴ 点 C 的坐标为 −3,0．
将点 A1,4 的坐标代入 y=kx 中，得 k=1×4=4．
（2） P−5,0 或 P−1,0．
23. （1） 如图，连接 OC，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90∘．
∵DE 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=90∘，
∴∠OCB=∠ACD，
∵OB，OC 是 ⊙O 的半径，
∴OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵OE∥AC，
∴∠ACD=∠E，
∴∠B=∠E．
（2） 在 Rt△ACB 中，csB=CBAB=45，AB=10，
∴BC=8，AC=6．
∵∠ACB=∠OCE=90∘，∠B=∠E，
∴△ACB∽△OCE，
∴ACOC=ABOE，
∴65=10OE，
∴OE=253．
∵OF∥AC，O 为 AB 中点，
∴OF=12AC=3，
∴EF=OE−OF=163．
24. （1） 本题答案不唯一，如：
（2） 3.13；当 x=−1 时，y2 有最小值 −4；−2.223.24
25. （1） 八
（2） 九；
①九年级优秀率 40%，八年级优秀率 30%，说明九年级体能测试优秀人数更多．
②九年级中位数为 76，八年级为 72，说明九年级一半的同学测试成绩高于 76 分，而八年级一半同学的测试成绩仅高于 72 分．
③通过图表，估计八年级成绩平均数为 73.25，低于九年级的 79 分，说明九年级整体水平高于八年级．
综合以上三个（两个）理由，说明九年级学生的运动状况更好．
（3） ① 80；② 78
26. （1） ∵y=ax2−4ax=axx−4，
∴ 抛物线与 x 轴交于点 A0,0，B4,0．
抛物线 y=ax2−4ax 的对称轴为直线：x=−−4a2a=2．
（2） y=ax2−4ax=ax2−4x=ax−22−4a．
抛物线的顶点坐标为 2,−4a．
令 y=5a，得 ax2−4ax=5a，
ax−5x+1=0，解得 x=−1 或 x=5，
∴ 当 y=5a 时，抛物线上两点 M−1,5a，N5,5a．
①当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q2+2a,5a 位于点 P 的右侧，
如图 1，当点 N 位于点 Q 左侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，
此时 2+2a>5，解得 a>32；
②当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q2+2a,5a 位于点 P 的左侧，
（ⅰ）如图 2，当顶点位于点 P 下方时，抛物线与线段 PQ 有公共点，
此时 −4a<2，解得 a>−12；
（ⅱ）如图 3，当顶点位于点 P 上方，点 M 位于点 Q 右侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，
此时 2+2a<−1，解得 a<−32．
综上，a 的取值范围是 a>32 或 −1227. （1） 补全图形，如图．
（2） ∵ 菱形 ABCD，
∴AB=AD．
又 ∵∠A=60∘，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠ABD=∠BDC=60∘，AB=BD．
在 △ABE 和 △DBF 中，
AB=BD，∠A=∠BDF，AE=DF，
∴△ABE≌△DBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60∘，
∴△BEF 为等边三角形．
（3） BG，GF，CF 的数量关系为 3BG−CF=2GF．
证明：如图 2，取 FG 中点 H，连接 DH，
∵AE=DF=DG，∠FDG=120∘，
∴∠DFG=∠DGF=30∘，DH⊥GF，
∴GF=2GH=2DG⋅cs30∘=3DG．
又 ∵△BCD 为等边三角形，
∴BD=CD，∠BDC=60∘．
∵∠FDG=120∘，
∴∠BDC+∠FDG=180∘，即 B，D，G 三点在同一条直线上，
∴BG=BD+DG=CD+DG=CF+DF+DG=CF+2DG，
∴BG−CF=2DG．
∴3BG−CF=23DG=2GF．
28. （1） P1，P2
（2） 如图，设 A，B 在直线 l 上，点 C 在 ⊙O 上，△ABC 是边长为 2 的等边三角形．
∵n≥0，
∴ 当直线 l 位于 l1 时，⊙O 上只有 1 个点 C 是直线 l 的和谐点；
当直线 l 位于 l2 时，⊙O 上有 3 个点 C，C2，C3 都是直线 l 的和谐点，
∴ 满足条件的直线 l 应位于直线 l1 和 l2 之间．
设过点 C 且与 ⊙O 相切的直线为 lʹ，
直线 l1，l2，lʹ 分别与 x 轴，y 轴交于点 M1，N1，M2，N2，Mʹ，Nʹ．
连接 OC，则 OC⊥lʹ，OC=2．取 AB 中点 D，连接 CD，
则 CD=3，且 O，C，D 三点共线，
∴OD=2+3．
∵ 直线 l:y=3x+n 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，
∴M−33n,0，N0,n，
∴tan∠MNO=OMON=33，
∴∠MNO=30∘．
∴ 在 Rt△OCNʹ 和 Rt△ODN1 中，
ONʹ=2OC=4，ON1=2OD=4+23，
∴NʹN1=ON1−ONʹ=23，
由对称性得 NʹN2=23，即 N20,4−23．
∴n 的取值范围是 4−23 （3） r 的取值范围是 72≤r≤7．
【解析】详解如下：
∵y=3x+33，
∴N0,33，ON=33，∠ONM=30∘．
如图，设 A，B 在 ⊙O 上，P 是 MN 上的点，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，
设 AB 的中点为 D，则 O，P，D 三点共线，
∴r=OB=BD2+OD2，
又 OD=OP−PD（图 1），
或 OD=OP+PD（图 2），
而 BD=1，PD=3 为定值，
∴ 只需考虑 OP 的取值范围即可．
如图 3，当 OP⊥MN 时，OP 最小，此时 ⊙O 的半径最小．
∵ON=33，∠ONP=30∘，
∴OP=12ON=332．
又 ∵PD=3，
∴OD=OP−PD=32．
∴ 在 Rt△OBD 中，BD=1，OD=32，
∴r=OB=12+322=72．
如图 4，当 ⊙O 的和谐点恰好是 N 点（即 P 点与 N 点重合）时，OP 最大，此时 ⊙O 的半径最大，
∵ON=33，ND=3，
∴OD=43，又 BD=1，
∴r=OB=12+432=7．
综上，r 的取值范围是 72≤r≤7．