2020年北京市燕山区中考数学备考训练卷 附答案

2020年北京市燕山区中考数学备考训练卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（　　）
A．1.797×103 B．0.1797×104 C．1.797×104 D．17.97×102
2．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（　　）
A．B．C．D．
3．中华文化博大精深，其中汉字的书写更是极具美感，下列汉字可近似看成既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．天 B．佑 C．中 D．华
4．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是（　　）

A．a＜﹣b B．b﹣a＜0 C．a+b＞0 D．ab＞0
6．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），则“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为（　　）

A． B． C． D．
7．已知a2﹣5＝2a，代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为（　　）
A．﹣11 B．﹣1 C．1 D．11
8．如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P的坐标是（　　）

A．（26，0） B．（26，1） C．（27，1） D．（27，2）
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．
10．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝　 　．
11．写出一个能说明命题：“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例：　 　．
12．图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为　 　．

13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝85°，∠D＝110°，∠ABC的邻补角为71°，则∠C的度数是　 　．

14．如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1　 　S2（填＞，＜或＝号）．

15．若a﹣b＝2，则代数式（﹣b）•＝　 　．
16．已知：点A、点B在直线MN的两侧．（点A到直线MN的距离小于点B到直线MN的距离）．
如图，
（1）作点B关于直线MN的对称点C；
（2）以点C为圆心，的长为半径作⊙C，交BC于点E；
（3）过点A作⊙C的切线，交⊙C于点F，交直线MN于点P；
（4）连接PB、PC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①PE是⊙C的切线； ②PC平分；③PB＝PC＝PF； ④∠APN＝2∠BPN．
所有正确结论的序号是　 　．

三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．计算：（﹣3）0+|2﹣|+2sin45°
18．解不等式：﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）用尺规作∠ABC的角平分线交AC于D（不必写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下延长BC到E，使CE＝CD，连接DE，DM⊥BC垂足为M，求证：M为BE中点（按步骤画出图形后求证）

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．
（1）求证：四边形DCEB为菱形；
（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．

22．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B （6，n），与坐标轴分别交于点C和点 D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当S△ADP＝S△BOD时，求点P的坐标．

23．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AB＝5，tanB＝，求DE的长．

24．已知y1，y2均是x的函数，如表是y1，y2与x的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y1
…
﹣3
﹣3
﹣3
﹣3
﹣3
﹣2.5
﹣1
1.5
5
…
y2
…
﹣1.88
﹣2.4
﹣3.2
﹣4
0
4
3.2
2.4
1.88
…
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y1，y2与x之间的变化规律，分别对函数y1，y2的图象与性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：
①当x＝3.5时，对应的函数值y1约为　 　；
②写出函数y2的一条性质：　 　；
③当y1＞y2时，x的取值范围是　 　．

25．期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：
收集数据
（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有　 　．（只要填写序号即可）
①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．
整理数据
（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为　 　、　 　；
②估计全年级A、B类学生大约一共有　 　名．
成绩（单位：分）
频数
频率
A类（80～100）

0.5
B类（60～79）

0.25
C类（40～59）
16

D类（0～39）
8

分析数据
（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校
平均数（分）
极差（分）
方差
A、B类的频率和
第一中学
71
52
432
0.75
第二中学
71
80
497
0.82
你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．

26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标．

27．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；
（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．

28．如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG；
（3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长．












参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：1797＝1.797×103．
故选：A．
2．解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；
B、没有经过顶点B，不符合题意；
C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；
D、没有经过顶点B，不符合题意．
故选：A．
3．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
5．解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞b，a+b＜0，
A、a＜﹣b，正确；
B、b﹣a＞0，故此选项错误；
C、a+b＜0，故此选项错误；
D、ab＜0，故此选项错误；
故选：A．
6．解：在这两辆车牌中，共有14个字符，其中数字9出现3次，
∴“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为，
故选：B．
7．解：由题意可知：a2﹣2a＝5，
原式＝a2﹣4a+4+2a+2
＝a2﹣2a+6
＝5+6
＝11
故选：D．
8．解：观察图象，结合动点P第1次、第2次、第3次、第4次（1，2），（2，0），（3，1），（4，0）运动后的点的坐标特点，
可知各点的横坐标与运动次数相同，则经过第27次运动后，动点P的横坐标是27，故排除选项A和B；
由图象可得纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0；
∵27÷4＝6…3，
∴经过第27次运动后，动点P的纵坐标是1，
故经过第27次运动后，动点P的坐标是（27，1）．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：根据题意知3﹣2x≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
10．解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
11．解：（﹣2）2＞（﹣1）2，﹣2＜﹣1，
∴“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1．
12．解：由图形可列出关于x，y的方程组为，
故答案为：．
13．解：∵∠ABC的邻补角为71°，
∴∠ABC＝180°﹣71°＝109°，
∵四边形ABCD的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC＝360°﹣85°﹣110°﹣109°＝56°．
故答案为：56°．
14．解：∵l∥m，
∴S△ACD＝S△BCD，
∴S△ACD﹣S△OCD＝S△BCD﹣S△OCD，即S△AOC＝S△BOD，
∴S1＝S2，
故答案为：＝．
15．解：（﹣b）•
＝
＝
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝，
故答案为：．
16．解：由作图过程可知：
①CE⊥MN，CE是⊙C的半径，
所以PE是⊙C的切线，
所以①正确；
②如图，连接CF，

∵PF是⊙C的切线，PE是⊙C的切线，
∴根据切线长定理，∠FPC＝∠EPC，
∵∠CFP＝∠CEP＝90°，
∴∠FCP＝∠ECP，
∴PC平分．
所以②正确；
③∵PB＝PC，PE＝PF，
而PC＞PF，
∴PB＝PC≠PF，
所以③错误；
④∵PB＝PC，PE⊥BC，
∴∠ECP＝∠BPE，
∵∠FPC＝∠EPC，
∴∠FPC＝∠EPC＝∠BPE，
∴∠APN＝2∠BPN．
所以④正确．
所以正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．解：（﹣3）0+|2﹣|+2sin45°
＝1+2﹣+2×
＝1+2﹣+
＝3．
18．解：3（x+1）﹣（4x+1）≤6，
3x+3﹣4x﹣1≤6，
3x﹣4x≤6﹣3+1，
﹣x≤4，
x≥﹣4，
将它的解集表示在数轴上如下：

19．解：（1）如图所示：


（2）证明：设∠CBD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
∵DC＝DE，
∴∠CDE＝∠E＝x°，
∴∠CBD＝∠E，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DM⊥BE，
∴M是BE的中点．
20．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×2k＝（2k﹣1）2≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根；

（2）设方程的两个根分别是x1，x2，
解方程得x＝，
∴x1＝2k，x2＝1．
由题意可知2k＞2，即k＞1．
∴k的取值范围为k＞1．
21．（1）证明：∵O是BC边中点，
∴OC＝OB，
又∵OE＝OD，
∴四边形DCEB是平行四边形．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形DCEB为菱形；
（2）解：∵CD＝BD，∠DCB＝30°，
∴∠ABC＝∠DCB＝30°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，
∴AB＝12，BC＝．
∵D为AB中点，O是BC中点，
∴DO＝AC＝3，
∴S菱形DCEB＝BC•DO＝．
22．解：（1）把点A（m，3）、B （6，n）分别代入y＝得3m＝6，6n＝6，解得m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝8，则D（8，0），
∵S△OBD＝×8×1＝4，
∴S△ADP＝S△BOD＝6，
设P（t，0），
∴×|t﹣8|×3＝6，解得t＝4或t＝12，
∴点P的坐标为（4，0）或（12，0）．

23．（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C；
（2）连结AD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AB＝5，tanB＝，
∴BD＝3．
在Rt△ABC中，AB＝5，tanB＝，
∴BC＝，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝．
∴DE＝BE﹣BD＝．

24．解：（1）函数y1，y2的图象如图所示；
（2）①由图象知，当x＝3.5时，对应的函数值y1约为3.13；
②性质：当x＝﹣1时，y2有最小值﹣4；
③由图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是：﹣2.22＜x＜﹣0.45，或x＞3.24，
故答案为：3.13；当x＝﹣1时，y2有最小值﹣4；﹣2.22＜x＜﹣0.45，或x＞3.24．

25．解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，
故答案为：②、③；

（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；
②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．
故答案为：60°，30°，432；

（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．
第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．
26．解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）．

（2）作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，
∴tan∠MBA＝＝，
∵DE⊥x轴，D（1，4），
∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，
∵B（3，0），
∴BE＝2，
∴tan∠BDE＝，
∵∠MBA＝∠BDE，
∴，
当点M在x轴上方时，，
解得m＝﹣或3（舍去），
∴M（﹣，），
当点M在x轴下方时，，
解得m＝﹣或m＝3（舍去），
∴点M（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：连接AC，交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∠AOB＝90°，OB＝OD，OA＝OC，
∴△BEP∽△DEA，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵sin∠ABD＝＝＝，
∴OA＝2，
OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴＝，
解得：DE＝，
∴BE＝BD﹣DE＝8﹣＝，
∴S△DEA＝OA•DE＝×2×＝，
S△ABE＝OA•BE＝×2×＝＝S△BEC，
∴S△BEP＝S△DEA＝×＝，
∴S△PEC＝S△BEC﹣S△BEP＝﹣＝；
（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE，
当∠BAE＝90°时，则∠BCE＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：
则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴EF＝BF，
∴CF+CF＝BC＝10，
∴CF＝＝10（﹣1），
∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；
②由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，
∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，
∴∠CEP＝75°，
∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠ECP＝∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：
则△ABN是等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝AB＝5，
∵∠APB＝30°，
∴tan30°＝，即＝，
∴PN＝5，
∴BP＝BN+PN＝5+5，
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．



28．（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC，

∵，
∴∠AOB＝2∠AGB，
∵＝，
∴∠AOC＝2∠AGC，
∵GA平分∠BGC，
∴∠AGB＝∠AGC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴AB＝AC；
（2）证明：设∠AGB＝∠AGC＝x，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BAC＝180°﹣2x，
∵AD∥BG，
∴∠AGD＝∠DAG＝x，
∴∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，
∵∠AWB＝∠AGB+∠DBG，
∴∠DBG＝180°﹣3x﹣x＝180°﹣4x，
∴∠BDG＝180°﹣2x﹣（180°﹣4x）＝2x，
∴∠BGD＝∠BDG＝2x，
∴BD＝BG；
（3）解：如图2，延长GC，使CK＝BG＝16，连接AK．

∵AB＝AC，∠ACK＝∠ABG，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
∴∠K＝∠AGB＝∠AGC＝x，
∴AG＝AK，
过点A作AN⊥GK于点N，过点B作BH⊥DG于点H，
设HD＝GH＝a，
∵CD＝5，
∴GK＝2a+5+16＝2a+21，
∴，
∴DN＝NG﹣DG＝，
∵∠AND＝∠BHD，∠ADC＝∠BGD＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴，
∴，
∴a2+8a﹣84＝0，
解得a1＝6，a2＝﹣14（舍去），
∴AD＝12，
∴在Rt△AND中，，
在Rt△AGN中，AG＝＝＝6，
∵AD∥BG，
∴△AWD∽△BWG，
∴，
∴，
∴．