2020年北京市密云区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市密云区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 港珠澳大桥作为世界首例集桥梁、隧道和人工岛于一体的超级工程，创下了多项“世界之最”．它是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长 55000 米．其中海底隧道部分全长 6700 米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．其中，数字 6700 用科学记数法表示为
A. 67×102B. 6.7×103C. 6.7×104D. 0.67×104

2. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，小林利用圆规在线段 CE 上截取线段 CD，使 CD=AB．若点 D 恰好为 CE 的中点，则下列结论中错误的是
A. CD=DEB. AB=DEC. CE=12CDD. CE=2AB

4. 如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是
A. a+b2=a2+2ab+b2B. a+b2=a2+2ab−b2
C. a−b2=a2−2ab+b2D. a−b2=a2−2ab−b2

5. 如图，在数轴上，点 B 在点 A 的右侧．已知点 A 对应的数为 −1，点 B 对应的数为 m．若在 AB 之间有一点 C，点 C 到原点的距离为 2，且 AC−BC=2，则 m 的值为
A. 4B. 3C. 2D. 1

6. 如果 x2+2x−2=0，那么代数式 1x−2⋅x2−4x+4x−xx+2 的值为
A. −2B. −1C. 1D. 2

7. 新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产 100 万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：
抽检数量n/个205010020050010002000500010000合格数量m/个194693185459922184045959213口罩合格率
下面四个推断合理的是
A. 当抽检口罩的数量是 10000 个时，口罩合格的数量是 9213 个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是 0.921
B. 由于抽检口罩的数量分别是 50 和 2000 个时，口罩合格率均是 0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 0.920
C. 随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在 0.920 附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 0.920
D. 当抽检口罩的数量达到 20000 个时，“口罩合格”的概率一定是 0.921

8. 如图，点 C，A，M，N 在同一条直线 l 上．其中，△ABC 是等腰直角三角形，∠B=90∘，四边形 MNPQ 为正方形，且 AC=4，MN=2，将等腰 Rt△ABC 沿直线 l 向右平移．若起始位置为点 A 与点 M 重合，终止位置为点 C 与点 N 重合．设点 A 平移的距离为 x，两个图形重叠部分的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式：3ax2−12a= ．

10. 若 x−4 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

11. 如图，已知菱形 ABCD，通过测量、计算得菱形 ABCD 的面积约为 cm2（结果保留一位小数）．

12. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4 是五边形 ABCDE 的四个外角，若 ∠A=120∘，则 ∠1+∠2+∠3+∠4= ∘．

13. 已知“若 a>b，则 ac
14. 如图，小军在 A 时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是 60∘，当他在 B 时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是 30∘，若两次测得的影长之差 DE 为 4 m，则树的高度为 m．（结果精确到 0.1，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

15. 已知：点 A 、点 B 在直线 MN 的两侧（点 A 到直线 MN 的距离小于点 B 到直线 MN 的距离）．
如图．
（1）作点 B 关于直线 MN 的对称点 C；
（2）以点 C 为圆心，12BC 的长为半径作 ⊙C，交 BC 于点 E；
（3）过点 A 作 ⊙C 的切线，交 ⊙C 于点 F，交直线 MN 于点 P；
（4）连接 PB，PC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
① PE 是 ⊙C 的切线；
② PC 平分 EF；
③ PB=PC=PF；
④ ∠APN=2∠BPN．
所有正确结论的序号是 ．

16. 某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在 85 分以上（含 85 分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为 20 分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为 x 和 y，请用含 x 和 y 的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为 ；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：38−13−1+5−3−6tan30∘．

18. 解不等式组：5x−3≥2x,3x−12<4.

19. 在平行四边形 ABCD 中，DB=DC，∠C=70∘，AE⊥BD 于点 E，求 ∠DAE 的度数．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m−4=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求出此时方程的根．

21. 如图，在 △AOC 中，OA=OC，OD 是 AC 边中线．延长 AO 至点 B，作 ∠COB 的角平分线 OH，过点 C 作 CF⊥OH 于点 F．
（1）求证：四边形 CDOF 是矩形；
（2）连接 DF，若 csA=35，CF=8，求 DF 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=x+b 与反比例函数 y=4x 在第一象限内的图象交于点 A4,m．
（1）求 m，b 的值；
（2）点 B 在反比例函数的图象上，且点 B 的横坐标为 1．若在直线 l 上存在一点 P（点 P 不与点 A 重合），使得 AP≤AB，结合图象直接写出点 P 的横坐标 xP 的取值范围．

23. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 在 ⊙O 上，AC 平分 ∠BAD，过点 C 的切线交直径 AB 的延长线于点 E，连接 AD，BC．
（1）求证：∠BCE=∠CAD；
（2）若 AB=10，AD=6，求 CE 的长．

24. “垃圾分类就是新时尚”．树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下：
甲校学生样本成绩频数分布表（表 1）
成绩m分频数频率50≤m<60a0.1060≤m<70bc70≤m<8040.2080≤m<9070.3590≤m≤1002d合计201.0
乙校学生样本成绩扇形统计图（如图）
b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：（表 2）
学校平均分中位数众数方差甲76.77789150.2乙78.180n135.3
其中，乙校 20 名学生样本成绩的数据如下：5472629187698879806280849367878790716891
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）表 1 中 c= ；表 2 中的众数 n= ；
（2）乙校学生样本成绩扇形统计图（图 1）中，70≤m<80 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是 79 分，在他所属学校排在前 10 名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（4）若乙校 1000 名学生都参加此次测试，成绩 80 分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为 人．

25. 有这样一个问题：探究函数 y=12x3−4x+1 的图象与性质．
文文根据学习函数的经验，对函数 y=12x3−4x+1 的图象与性质进行了探究．
下面是文文的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=12x3−4x+1 的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值：
x⋯−3−2−23−1−1201213223⋯y⋯−12585169247161−1516m−5316−352⋯
则 m 的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程 12x3−4x=−1 的正数根约为 .（结果精确到 0.1）

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1:y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 B 的坐标为 3,0，将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，恰好经过 B，C 两点．
（1）求 k 的值和点 C 的坐标；
（2）求抛物线 C1 的表达式及顶点 D 的坐标；
（3）已知点 E 是点 D 关于原点的对称点，若抛物线 C2:y=ax2−2a≠0 与线段 AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．

27. 已知：MN 是经过点 A 的一条直线，点 C 是直线 MN 左侧的一个动点，且满足 60∘<∠CAN<120∘，连接 AC，将线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60∘，得到线段 CD，在直线 MN 上取一点 B，使 ∠DBN=60∘．
（1）若点 C 位置如图所示．
①依据题意补全下图；
②求证：∠CDB=∠MAC；
（2）连接 BC，写出一个 BC 的值，使得对于任意一点 C，总有 AB+BD=3，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 x1,y1，点 B 的坐标为 x2,y2，且 x1≠x2，y1=y2．给出如下定义：若平面上存在一点 P，使 △APB 是以线段 AB 为斜边的直角三角形，则称点 P 为点 A 、点 B 的“直角点”．
（1）已知点 A 的坐标为 1,0．
① 若点 B 的坐标为 5,0，在点 P14,3，P23,−2 和 P32,3 中，是点 A，点 B 的“直角点”的是 ；
② 点 B 在 x 轴的正半轴上，且 AB=22，当直线 y=−x+b 上存在点 A，点 B 的“直角点”时，求 b 的取值范围；
（2）⊙O 的半径为 r，点 D1,4 为点 E0,2 、点 Fm,n 的“直角点”，若使得 △DEF 与 ⊙O 有交点，直接写出半径 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C
4. A
5. B
6. A
7. C
8. D
第二部分
9. 3ax+2x−2
10. x≥4
11. 1.8±0.1
12. 300
13. −1（答案不唯一，负数即可）
14. 3.5
15. ①②④
16. 80x+60y=70−20（或 80x+60y=50），90
第三部分
17. 原式=2−3+5−3−6×33=2−3+5−3−23=4−33.
18. 由 ① 得：
x≥1.
由 ② 得：
x<3.
不等式组的解集：
1≤x<3.
19. ∵DB=DC，∠C=70∘，
∴∠DBC=∠C=70∘．
∵ 平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=70∘．
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90∘．
∴ 在 △AED 中，∠DAE=20∘．
20. （1） a=1，b=2，c=m−4，
∴Δ=b2−4ac=22−4m−4=20−4m.
∵ 一元二次方程 x2+2x+m−4=0 有两个实数根，
∴20−4m≥0，m≤5．
（2） 当 m=1 时，x2+2x−3=0．
解得 x1=1，x2=−3．（答案不唯一）
21. （1） ∵ 在 △AOC 中，OA=OC，OD 是 AC 边中线，
∴OD⊥AC，OD 平分 ∠AOC，
∴∠ODC=90∘，∠COD=12∠AOC，
∵OH 平分 ∠COB，
∴∠COF=12∠COB，
∵∠AOC+∠COB=180∘，
∴∠COD+∠COF=90∘，即 ∠DOF=90∘，
∵CF⊥OH，
∴∠CFO=90∘，
∴ 四边形 CDOF 是矩形．
（2） ∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵CD∥OF，
∴∠ACO=∠COF，
∴cs∠COF=csA=35，
∴OFOC=35，
∴ 设 OF=3x，OC=5x，则 CF=4x，
∵CF=8，
∴x=2，
∴OC=10，
∴ 在矩形 CDOF 中，DF=OC=10．
22. （1） ∵y=4x 经过点 A4,m，
∴m=1．
∴A4,1，
∵y=x+b 经过点 A4,1，
∴4+b=1，b=−3．
（2） 1≤xP≤7 且 xP≠4．
23. （1） 连接 OC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CE．
∴∠OCB+∠BCE=90∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴∠CAB+∠OBC=90∘．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠CAB=∠BCE．
∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB．
∴∠CAD=∠BCE．
（2） 连接 BD．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵AB=10，AD=6．
∴BD=8．
∵AC 平分 ∠DAB，
∴CD=BC．
∴OC⊥BD，DH=BH=4．
∴OH=3．
∵OC⊥CE，
∴BD∥CE．
∴△OHB∽△OCE．
∴OHOC=BHCE．
∴35=4CE．
∴CE=203．
24. （1） 0.25；87
（2） 54
（3） 甲；因为该学生的成绩是 79 分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数 77 分，符合该生的成绩在甲校排名是前 10 名的要求
（4） 550
25. （1） x 取任意实数
（2） m=−52
（3）
（4） 0.3 或 2.7
26. （1） ∵ 直线 y=kx+3 经过点 B3,0，
∴3k+3=0，k=−1．
∴y=−x+3 与 y 轴的交点，即为点 C0,3．
（2） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B3,0 和点 C0,3，
∴y=x2+bx+3．
∴9+3b+3=0，b=−4．
∴ 抛物线 C1 的函数表达式为 y=x2−4x+3．
∴y=x−22−1．
∴ 顶点 D 的坐标为 2,−1．
（3） ∵ 点 E 是点 D 关于原点的对称点，
∴ 点 E 的坐标为 −2,1．
当 y=ax2−2 经过点 E−2,1 时，a=34；
当 y=ax2−2 经过点 A1,0 时，a=2．
∴a 的取值范围是 34≤a<2．
27. （1） ①
② ∵∠C=60∘，∠DBN=60∘，
∴∠C=∠DBN，
∵∠DBN+∠ABD=180∘，
∴∠C+∠ABD=180∘，
在四边形 ACDB 中，∠CDB+∠BAC=180∘，
∵∠BAC+∠MAC=180∘，
∴∠CDB=∠MAC．
（2） BC=3 时，对于任意一点 C，总有 AB+BD=3．
证明：连接 BC，在直线 MN 上截取 AH=BD，连接 CH，
∵∠MAC=∠CDB，AC=CD，
∴△ACH≌△DCB，
∴∠ACH=∠DCB，CH=CB，
∵∠DCB+∠ACB=∠ACD=60∘，
∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60∘，
∴△HCB 是等边三角形，
∴BC=BH=BA+BD=3．
28. （1） ①P2，P3
②∵A1,0，AB=22，
∴ 线段 AB 的中点 C2+1,0，
∴ 点 A，B 的“直角点”在以点 C 为圆心，2 的长为半径的 ⊙C 上，
∴ 当直线 y=−x+b 与 ⊙C 相切于点 D，与两坐标轴相交于点 M，N 时，
∵∠M=45∘，CD=2，
∴CM=2，
∴OM=OC+CM=2+1+2=2+3，
∴ON=OM=2+3，
即 b=2+3，
同理：当直线 y=−x+b 与 ⊙C 相切于点 E 时，CH=2，
∴OH=OC−CH=2−1，
即 b=2−1，
综上所述，2−1≤b≤2+3．
（2） 2≤r≤29．