还剩12页未读，
继续阅读
2020年北京市西城区中考二模数学试卷
展开
这是一份2020年北京市西城区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是
A. B.
C. D.
2. 中国国家航天局 2020 年 4 月 24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约 5500 万千米，将 5500 用科学记数法表示为
A. 0.55×104B. 5.5×103C. 5.5×102D. 55×102
3. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是
A. B.
C. D.
4. 下列运算中，正确的是
A. a⋅a2=a3B. a6÷a2=a3C. 2a2−a2=2D. 3a22=6a4
5. 如图，实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. ∣a∣>3B. −1<−b<0C. a<−bD. a+b>0
6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠A=45∘，OC=2，则 BC 的长为
A. 2B. 22C. 23D. 4
7. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为 S（千米），所用时间为 t（分），S 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上 8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是
A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟
B. 汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9 点 5 分到达植物园
C. 加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时
D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
8. 张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：
① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表
时间10月11月12月1月2月3月时长单位:分钟520530550610650660
② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟
根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为
A. 550B. 580C. 610D. 630
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若代数式 1x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点，若 △ADE 的面积为 1，则 △ABC 的面积等于 ．
12. 如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点 F 在 AB 的延长线上，则 ∠CBF 的度数是 ．
13. 如图，双曲线 y=kx 与直线 y=mx 交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为 2,3，则点 B 的坐标为 ．
14. 如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为 50 cm 的大矩形，设每个小矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则可以列出的方程组是 ．
15. 某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图．
对于以下四种说法，你认为正确的是 （写出全部正确说法的序号）．
①在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上；
②在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的 13%；
③在当地互联网行业中，从事技术岗位的 90 后人数超过总人数的 20%；
④在当地互联网行业中，从事设计岗位的 90 后人数比 80 前人数少．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ．
（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有 个球．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12+π−20200−3tan30∘+3−1．
18. 解方程：xx−1+1=2x3x−3．
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2k+1x+2k=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于 2，求 k 的取值范围．
20. 下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．
求作：点 D，使得点 D 在 BC 边上，且到 AB，AC 边的距离相等．
作法：如图，
作 ∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D．
则点 D 即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：作 DE⊥AB 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴ = （ ）（填推理的依据）．
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 AB 的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）连接 DE，若 AC=23，BC=2．求证：△ADE 是等边三角形．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标 x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取 20 人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这 40 名被调查者中，
①指标 y 低于 0.4 的有 人；
②将 20 名患者的指标 x 的平均数记作 x1，方差记作 s12，20 名非患者的指标 x 的平均数记作 x2，方差记作 s22，则 x1 x2，s12 s22（填“>”，“=”或“<”）；
（2）来该院就诊的 500 名未患这种疾病的人中，估计指标 x 低于 0.3 的大约有 人；
（3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标 y 低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是 ．
23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上两点，且 CD=CB，连接 OC，BD，OD．
（1）求证：OC 垂直平分 BD；
（2）过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 AD，CD．
①依题意补全图形；
②若 AD=6，sin∠AEC=35，求 CD 的长．
24. 如图，在 △ABC 中，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E，D 是 AB 边上一动点，连接 CD 交 AE 于点 P，连接 BP．已知 AB=6 cm，设 B，D 两点间的距离为 x cm，B，P 两点间的距离为 y1 cm，A，P 两点间的距离为 y2 cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当 AP=2BD 时，AP 的长度约为 cm；
②当 BP 平分 ∠ABC 时，BD 的长度约为 cm．
25. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=mxx>0 的图象 G 与直线 l:y=kx−4k+1 交于点 A4,1，点 B1,n（n≥4，n 为整数）在直线 l 上．
（1）求 m 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 与直线 l 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 n=5 时，求 k 的值，并写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求 k 的取值范围．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，且 OB=2OD．
（1）当 b=2 时，
①写出抛物线的对称轴；
②求抛物线的表达式；
（2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．
27. 在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE>DE），AE，BD 交于点 F．
（1）如图，过点 F 作 GH⊥AE，分别交边 AD，BC 于点 G，H．求证：∠EAB=∠GHC；
（2）AE 的垂直平分线分别与 AD，AE，BD 交于点 P，M，N，连接 CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F，给出如下定义：若在图形 F 上存在一点 N，使得点 Q，点 P 关于直线 ON 对称，则称点 Q 是点 P 关于图形 F 的定向对称点．
（1）如图，A1,0，B1,1，P0,2．
①点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是 ；
②在点 C0,−2，D1,−3，E2,−1 中， 是点 P 关于线段 AB 的定向对称点．
（2）直线 l:y=33x+b 分别与 x 轴，y 轴交于点 G，H，⊙M 是以点 M2,0 为圆心，rr>0 为半径的圆．
①当 r=1 时，若 ⊙M 上存在点 K，使得它关于线段 GH 的定向对称点在线段 GH 上，求 b 的取值范围；
②对于 b>0，当 r=3 时，若线段 GH 上存在点 J，使得它关于 ⊙M 的定向对称点在 ⊙M 上，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
第二部分
9. x≠2
10. aa−1a+1
11. 4
12. 72∘
13. −2,−3
14. x+y=50,x=4y
15. ①③
16. 红，20
第三部分
17. 12+π−20200−3tan30∘+3−1=23+1−3×33+3−1=23.
18. 方程两边乘以 3x−1，得
3x+3x−1=2x.
解得
x=34.
检验：当 x=34 时，3x−1≠0．
∴ 原分式方程的解为 x=34．
19. （1） 依题意，得
Δ=−2k+12−4×1×2k=2k−12.
∵2k−12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式，得 x=2k+1±2k−122，
∴x1=2k，x2=1．
∵ 该方程有一个根大于 2，
∴2k>2．
∴k>1．
∴k 的取值范围是 k>1．
20. （1） 如图．
（2） DE；DF；角平分线上的点到角两边的距离相等．
21. （1） ∵AE∥DC，CE∥DA，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
∵ 在 Rt△ABC 中，D 为 AB 的中点，
∴AD=BD=CD=12AB．
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
（2） 在 Rt△ABC 中，AC=23，BC=2，
∴tan∠CAB=BCAC=33．
∴∠CAB=30∘．
∵ 四边形 ADCE 是菱形，
∴AE=AD，∠EAD=2∠CAB=60∘．
∴△ADE 是等边三角形．
22. （1） 9；<；>
（2） 100
（3） 0.25
23. （1） ∵CD=CB，
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，
∴OC 垂直平分 BD．
（2） ①补全图形，如图所示．
② ∵CE 是 ⊙O 切线，切点为 C，
∴OC⊥CE 于点 C．
记 OC 与 BD 交于点 F，
由（1）可知 OC 垂直 BD，
∴∠OCE=∠OFB=90∘．
∴DB∥CE．
∴∠AEC=∠ABD．
在 Rt△ABD 中，AD=6，sin∠AEC=sin∠ABD=35，
∴BD=8，AB=10．
∴OA=OB=OC=5．
由（1）可知 OC 平分 BD，即 DF=BF，
∴BF=DF=4．
∴OF=12AD=3，
∴CF=2．
在 Rt△CFD 中，CD=CF2+DF2=25．
24. （1）
x/cm0123456y1/cm y2/cm1.50
（2） 画出函数 y1 的图象；
（3） 1.93；3
25. （1） ∵ 点 A4,1 在函数 y=mxx>0 的图象 G 上，
∴m=4．
（2） ① y=kx−4k+1，经过点 B1,5，
∴k−4k+1=5．
解得 k=−43．
此时区域 W 内有 2 个整点．
② ∵ 直线 l:y=kx−4k+1 过定点 A4,1，
当区域 W 内有 4 个整点时，此时直线 l:y=kx−4k+1．经过点 B1,6，可得 k=−53．
当区域 W 内有 5 个整点时，此时直线 l:y=kx−4k+1 经过点 B1,7，可得 k=−2．
∴k 的取值范围是 −2≤k<−53．
26. （1） 当 b=2 时，y=x2+bx+c 化为 y=x2+2x+c．
① x=−1；
② ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴ 点 D 的坐标为 −1,0，OD=1．
∵OB=2OD，
∴OB=2．
∵ 点 A 、点 B 关于直线 x=−1 对称，
∴ 点 B 在点 D 的右侧．
∴ 点 B 的坐标为 2,0．
∵ 抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴交于点 B2,0，
∴4+4+c=0，解得 c=−8．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2+2x−8．
（2） 设直线 y=x+b+22 与 x 轴交点为点 E，
∴E−b+22,0．
抛物线的对称轴为 x=−b2，
∴ 点 D 的坐标为 −b2,0；
∴E−b+22,0．
①当 b>0 时，OD=b2．
∵OB=2OD，
∴OB=b．
∴ 点 A 的坐标为 −2b,0，点 B 的坐标为 b,0．
当 −2b<−b+22 时，存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，
解得 b>23．
②当 b<0 时，−b>0．
∴OD=−b2．
∵OB=2OD，
∴OB=−b．
∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，且 A 在 B 的左侧，
∴ 点 A 的坐标为 0,0，点 B 的坐标为 −b,0．
当 0<−b+22 时，存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，
解得 b<−2．
综上，b 的取值范围是 b<−2 或 b>23．
27. （1） 在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90∘，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
（2） ①补全图形，如图所示．
② AE=2CN．
证明：连接 AN，连接 EN 并延长，交 AB 边于点 Q．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 点 A，点 C 关于 BD 对称．
∴NA=NC，∠1=∠2．
∵PN 垂直平分 AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠3=∠4．
在正方形 ABCD 中，BA∥CE，∠BCD=90∘，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90∘．
∴∠ANE=∠ANQ=90∘．
在 Rt△ANE 中，
∴AE=2CN．
28. （1） 2,0；C，D
（2） ①由题意，b≠0．
若 b>0，
当直线 l 与以点 −2,0 为圆心，1 为半径的圆相切时，b=433；
当直线 l 经过点 −1,0 时，b=33．
∴33≤b≤433．
若 b<0，
当直线 l 经过点 1,0 时，b=−33；
当直线 l 与以点 0,0 为圆心，3 为半径的圆相切时，b=−23．
∴−23≤b≤−33．
综上，b 的取值范围是 −23≤b≤−33 或 33≤b≤433．
② 33≤b≤1033．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是
A. B.
C. D.
2. 中国国家航天局 2020 年 4 月 24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约 5500 万千米，将 5500 用科学记数法表示为
A. 0.55×104B. 5.5×103C. 5.5×102D. 55×102
3. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是
A. B.
C. D.
4. 下列运算中，正确的是
A. a⋅a2=a3B. a6÷a2=a3C. 2a2−a2=2D. 3a22=6a4
5. 如图，实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. ∣a∣>3B. −1<−b<0C. a<−bD. a+b>0
6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠A=45∘，OC=2，则 BC 的长为
A. 2B. 22C. 23D. 4
7. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为 S（千米），所用时间为 t（分），S 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上 8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是
A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟
B. 汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9 点 5 分到达植物园
C. 加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时
D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
8. 张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：
① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表
时间10月11月12月1月2月3月时长单位:分钟520530550610650660
② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟
根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为
A. 550B. 580C. 610D. 630
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若代数式 1x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点，若 △ADE 的面积为 1，则 △ABC 的面积等于 ．
12. 如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点 F 在 AB 的延长线上，则 ∠CBF 的度数是 ．
13. 如图，双曲线 y=kx 与直线 y=mx 交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为 2,3，则点 B 的坐标为 ．
14. 如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为 50 cm 的大矩形，设每个小矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则可以列出的方程组是 ．
15. 某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图．
对于以下四种说法，你认为正确的是 （写出全部正确说法的序号）．
①在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上；
②在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的 13%；
③在当地互联网行业中，从事技术岗位的 90 后人数超过总人数的 20%；
④在当地互联网行业中，从事设计岗位的 90 后人数比 80 前人数少．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ．
（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有 个球．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12+π−20200−3tan30∘+3−1．
18. 解方程：xx−1+1=2x3x−3．
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2k+1x+2k=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于 2，求 k 的取值范围．
20. 下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．
求作：点 D，使得点 D 在 BC 边上，且到 AB，AC 边的距离相等．
作法：如图，
作 ∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D．
则点 D 即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：作 DE⊥AB 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴ = （ ）（填推理的依据）．
21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 AB 的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）连接 DE，若 AC=23，BC=2．求证：△ADE 是等边三角形．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标 x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取 20 人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这 40 名被调查者中，
①指标 y 低于 0.4 的有 人；
②将 20 名患者的指标 x 的平均数记作 x1，方差记作 s12，20 名非患者的指标 x 的平均数记作 x2，方差记作 s22，则 x1 x2，s12 s22（填“>”，“=”或“<”）；
（2）来该院就诊的 500 名未患这种疾病的人中，估计指标 x 低于 0.3 的大约有 人；
（3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标 y 低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是 ．
23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上两点，且 CD=CB，连接 OC，BD，OD．
（1）求证：OC 垂直平分 BD；
（2）过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 AD，CD．
①依题意补全图形；
②若 AD=6，sin∠AEC=35，求 CD 的长．
24. 如图，在 △ABC 中，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E，D 是 AB 边上一动点，连接 CD 交 AE 于点 P，连接 BP．已知 AB=6 cm，设 B，D 两点间的距离为 x cm，B，P 两点间的距离为 y1 cm，A，P 两点间的距离为 y2 cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当 AP=2BD 时，AP 的长度约为 cm；
②当 BP 平分 ∠ABC 时，BD 的长度约为 cm．
25. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=mxx>0 的图象 G 与直线 l:y=kx−4k+1 交于点 A4,1，点 B1,n（n≥4，n 为整数）在直线 l 上．
（1）求 m 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 与直线 l 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 n=5 时，求 k 的值，并写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求 k 的取值范围．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，且 OB=2OD．
（1）当 b=2 时，
①写出抛物线的对称轴；
②求抛物线的表达式；
（2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．
27. 在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE>DE），AE，BD 交于点 F．
（1）如图，过点 F 作 GH⊥AE，分别交边 AD，BC 于点 G，H．求证：∠EAB=∠GHC；
（2）AE 的垂直平分线分别与 AD，AE，BD 交于点 P，M，N，连接 CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F，给出如下定义：若在图形 F 上存在一点 N，使得点 Q，点 P 关于直线 ON 对称，则称点 Q 是点 P 关于图形 F 的定向对称点．
（1）如图，A1,0，B1,1，P0,2．
①点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是 ；
②在点 C0,−2，D1,−3，E2,−1 中， 是点 P 关于线段 AB 的定向对称点．
（2）直线 l:y=33x+b 分别与 x 轴，y 轴交于点 G，H，⊙M 是以点 M2,0 为圆心，rr>0 为半径的圆．
①当 r=1 时，若 ⊙M 上存在点 K，使得它关于线段 GH 的定向对称点在线段 GH 上，求 b 的取值范围；
②对于 b>0，当 r=3 时，若线段 GH 上存在点 J，使得它关于 ⊙M 的定向对称点在 ⊙M 上，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
第二部分
9. x≠2
10. aa−1a+1
11. 4
12. 72∘
13. −2,−3
14. x+y=50,x=4y
15. ①③
16. 红，20
第三部分
17. 12+π−20200−3tan30∘+3−1=23+1−3×33+3−1=23.
18. 方程两边乘以 3x−1，得
3x+3x−1=2x.
解得
x=34.
检验：当 x=34 时，3x−1≠0．
∴ 原分式方程的解为 x=34．
19. （1） 依题意，得
Δ=−2k+12−4×1×2k=2k−12.
∵2k−12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式，得 x=2k+1±2k−122，
∴x1=2k，x2=1．
∵ 该方程有一个根大于 2，
∴2k>2．
∴k>1．
∴k 的取值范围是 k>1．
20. （1） 如图．
（2） DE；DF；角平分线上的点到角两边的距离相等．
21. （1） ∵AE∥DC，CE∥DA，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
∵ 在 Rt△ABC 中，D 为 AB 的中点，
∴AD=BD=CD=12AB．
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
（2） 在 Rt△ABC 中，AC=23，BC=2，
∴tan∠CAB=BCAC=33．
∴∠CAB=30∘．
∵ 四边形 ADCE 是菱形，
∴AE=AD，∠EAD=2∠CAB=60∘．
∴△ADE 是等边三角形．
22. （1） 9；<；>
（2） 100
（3） 0.25
23. （1） ∵CD=CB，
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，
∴OC 垂直平分 BD．
（2） ①补全图形，如图所示．
② ∵CE 是 ⊙O 切线，切点为 C，
∴OC⊥CE 于点 C．
记 OC 与 BD 交于点 F，
由（1）可知 OC 垂直 BD，
∴∠OCE=∠OFB=90∘．
∴DB∥CE．
∴∠AEC=∠ABD．
在 Rt△ABD 中，AD=6，sin∠AEC=sin∠ABD=35，
∴BD=8，AB=10．
∴OA=OB=OC=5．
由（1）可知 OC 平分 BD，即 DF=BF，
∴BF=DF=4．
∴OF=12AD=3，
∴CF=2．
在 Rt△CFD 中，CD=CF2+DF2=25．
24. （1）
x/cm0123456y1/cm y2/cm1.50
（2） 画出函数 y1 的图象；
（3） 1.93；3
25. （1） ∵ 点 A4,1 在函数 y=mxx>0 的图象 G 上，
∴m=4．
（2） ① y=kx−4k+1，经过点 B1,5，
∴k−4k+1=5．
解得 k=−43．
此时区域 W 内有 2 个整点．
② ∵ 直线 l:y=kx−4k+1 过定点 A4,1，
当区域 W 内有 4 个整点时，此时直线 l:y=kx−4k+1．经过点 B1,6，可得 k=−53．
当区域 W 内有 5 个整点时，此时直线 l:y=kx−4k+1 经过点 B1,7，可得 k=−2．
∴k 的取值范围是 −2≤k<−53．
26. （1） 当 b=2 时，y=x2+bx+c 化为 y=x2+2x+c．
① x=−1；
② ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴ 点 D 的坐标为 −1,0，OD=1．
∵OB=2OD，
∴OB=2．
∵ 点 A 、点 B 关于直线 x=−1 对称，
∴ 点 B 在点 D 的右侧．
∴ 点 B 的坐标为 2,0．
∵ 抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴交于点 B2,0，
∴4+4+c=0，解得 c=−8．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2+2x−8．
（2） 设直线 y=x+b+22 与 x 轴交点为点 E，
∴E−b+22,0．
抛物线的对称轴为 x=−b2，
∴ 点 D 的坐标为 −b2,0；
∴E−b+22,0．
①当 b>0 时，OD=b2．
∵OB=2OD，
∴OB=b．
∴ 点 A 的坐标为 −2b,0，点 B 的坐标为 b,0．
当 −2b<−b+22 时，存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，
解得 b>23．
②当 b<0 时，−b>0．
∴OD=−b2．
∵OB=2OD，
∴OB=−b．
∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，且 A 在 B 的左侧，
∴ 点 A 的坐标为 0,0，点 B 的坐标为 −b,0．
当 0<−b+22 时，存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l:y=x+b+22 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，
解得 b<−2．
综上，b 的取值范围是 b<−2 或 b>23．
27. （1） 在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90∘，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
（2） ①补全图形，如图所示．
② AE=2CN．
证明：连接 AN，连接 EN 并延长，交 AB 边于点 Q．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 点 A，点 C 关于 BD 对称．
∴NA=NC，∠1=∠2．
∵PN 垂直平分 AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠3=∠4．
在正方形 ABCD 中，BA∥CE，∠BCD=90∘，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90∘．
∴∠ANE=∠ANQ=90∘．
在 Rt△ANE 中，
∴AE=2CN．
28. （1） 2,0；C，D
（2） ①由题意，b≠0．
若 b>0，
当直线 l 与以点 −2,0 为圆心，1 为半径的圆相切时，b=433；
当直线 l 经过点 −1,0 时，b=33．
∴33≤b≤433．
若 b<0，
当直线 l 经过点 1,0 时，b=−33；
当直线 l 与以点 0,0 为圆心，3 为半径的圆相切时，b=−23．
∴−23≤b≤−33．
综上，b 的取值范围是 −23≤b≤−33 或 33≤b≤433．
② 33≤b≤1033．
相关试卷
2023年北京市西城区中考数学二模试卷(含解析）： 这是一份2023年北京市西城区中考数学二模试卷(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市西城区中考二模数学试卷（无答案）： 这是一份2023年北京市西城区中考二模数学试卷（无答案），共7页。试卷主要包含了未知，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市西城区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2022年北京市西城区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
