2019-2020学年天津市滨海新区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市滨海新区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=−2x−12+3 的顶点坐标是
A. −1,3B. 1,3C. 1,−3D. −1,−3

3. 某个事件发生的概率是 12，这意味着
A. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B. 在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C. 每次试验中事件发生的可能性是 50%
D. 在两次重复试验中该事件必有一次发生

4. 已知 △ABC∽△DEF 且对应中线之比为 9:16，则 △ABC 与 △DEF 的周长之比为
A. 4:3B. 3:4C. 16:9D. 9:16

5. 如图，在 6×6 的正方形网格中，连接两格点 A，B，点 C，D 是线段 AB 与网格线的交点，则 BC:CD:DA 为
A. 3:4:5B. 1:3:2C. 1:4:2D. 3:6:5

6. 如图，∠AOB=90∘，∠B=30∘，将 △AOB 绕点 O 顺时针旋转角度得到 △AʹOBʹ，旋转角为 α．若点 Aʹ 落在 AB 上，则旋转角 α 的大小是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 在半径为 12 的 ⊙O 中，150∘ 的圆心角所对的弧长是
A. 24πB. 12πC. 10πD. 5π

8. 若抛物线 y=x+12 先向下平移 2 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式是
A. y=x+22+2B. y=x2−2
C. y=x2+2D. y=x+22−2

9. 若点 −1,y1，2,y2，3,y3 在反比例函数 y=−5x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y1>y3>y2

10. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A=22.5∘，OC=4，CD 的长为
A. 22B. 4C. 42D. 8

11. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1 与 CD 交于点 O，则四边形 AB1OD 的面积是
A. 34B. 716C. 2−12D. 2−1

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，c<−1，其对称轴为直线 x=−1，与 x 轴的交点为 x1,0，x2,0，其中 00；② −3am2+bmm≠−1；其中，正确的结论个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 将二次函数 y=x2−4x+5 化成 y=ax−h2+k 的形式为 ．

14. 已知反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象经过点 P2,2，当 1
15. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE 交对角线 AC 于点 F，若 AF=2，则对角线 AC 长为 ．

16. 如图，△PQR 是 ⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则 ∠BOQ= ．

17. 如图，将直角 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 至 △AʹBʹC 的位置，已知 AB=10，BC=6，M 是 AʹBʹ 的中点，则 AM= ．

18. 如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上，D 为 AC 边上的一点．
（1）线段 AC 的值为 ；
（2）在如图所示的网格中，AM 是 △ABC 的角平分线，在 AM 上求一点 P，使 CP+DP 的值最小，请用无刻度的直尺，画出 AM 和点 P，并简要说明 AM 和点 P 的位置是如何找到的（不要求证明）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知图中的曲线是反比例函数 y=m−5x（m 为常数）图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数 m 的取值范围是什么?
（2）若该函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象在第一象限内的交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，当 △OAB 的面积为 4 时，求点 A 的坐标及反比例函数的关系式．

20. 一个不透明的布袋里装有 4 个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字 1，2，3，4，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的 3 个球中随机摸出第二个乒乓球．
（1）求小明第一次摸出的乒乓球所标数字是偶数的概率；
（2）请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．

21. 如图，四边形 ABCD 中 AB∥CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF∥CD 交 AD 于点 E，若 AB=6，EF=4，求 BG 的长．

22. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6．以 BC 为直径的 ⊙O 交 AC 于 D，E 是 AB 的中点，连接 ED 并延长交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）求 DB 的长．

23. 商城某种商品平均每天可销售 20 件，每件盈利 30 元，为庆元旦，决定进行促销活动，经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设该商品每件降价 x 元，请解答下列问题．
（1）用含 x 的代数式表示：
①降价后每售一件盈利 元；
②降价后平均每天售出 件；
（2）在此次促销活动中，商城若要获得最大盈利，每件商品应降价多少元?获得最大盈利多少元?

24. 已知 △ABC 中，AB=AC，D，E 是 BC 边上的点，将 △ABD 绕点 A 旋转，得到 △ACDʹ，连接 DʹE．
（1）如图 1，当 ∠BAC=120∘，∠DAE=60∘ 时，求 ∠DʹAE 的度数．
（2）如图 2，当 DE=DʹE 时，求证：∠DAE=12∠BAC．
（3）如图 3，在（2）的结论下，当 ∠BAC=90∘，BD 与 DE 满足怎样的数量关系时，△DʹEC 是等腰直角三角形?（直接写出结论，不必说明理由）

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A−4,0，B−1,0 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 D 的横坐标为 m，△ACD 的面积为量求出 S 与 m 的函数关系式，并确定 m 为何值时 S 有最大值，最大值是多少?
（3）若点 P 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 P 使得 ∠APC=90∘?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】∵ 抛物线的解析式为：y=−2x−12+3，
∴ 其顶点坐标为 1,3．
故选：B．
3. C【解析】∵ 某个事件发生的概率是 12，
∴ 根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是 50%，
故选：C．
4. D【解析】∵△ABC∽△DEF 且对应中线之比为 9:16，
∴△ABC 与 △DEF 的相似比为 9:16，
∴△ABC 与 △DEF 的周长之比为 9:16．
5. B
【解析】如图，
∵ BH∥CF∥DE，
∴ BC:CD:AD=FH:EF:AE=1:3:2，
故选：B．
6. C【解析】∵∠AOB=90∘，∠B=30∘，
∴∠A=60∘，
∵△AOB 绕点 O 顺时针旋转角度得到 △AʹOBʹ，
∴OA=OAʹ，∠AOAʹ=α，
∴△OAAʹ 是等边三角形，
∴∠AOAʹ=60∘，即旋转角 α 的大小可以是 60∘，
故选：C．
7. C【解析】解：根据弧长公式知，l=150×π×12180=10π．
8. D【解析】将抛物线 y=x+12 向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式是：
y=x+12−2，
再向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y=x+1+12−2，即 y=x+22−2．
9. D【解析】解：∵k=−5<0，
∴ 在每个象限内，y 随 x 值的增大而增大，
∴ 当 x=−1 时，y1>0，
∵2<3，
∴y2故选 D．
10. C
【解析】∵∠A=22.5∘，
∴∠BOC=2∠A=45∘，
∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，
∴ CE=DE，△OCE 为等腰三角形，
∴CE=22OC=22，
∴ CD=2CE=42．
11. D【解析】方法一：
连接 AC1，
∵ 四边形 AB1C1D1 是正方形，
∴∠C1AB1=12×90∘=45∘=∠AC1B1，
∵ 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 后得到正方形 AB1C1D1，
∴∠B1AB=45∘，
∴∠DAB1=90∘−45∘=45∘，
∴AC1 过 D 点，即 A，D，C1 三点共线，
∵ 正方形 ABCD 的边长是 1，
∴ 四边形 AB1C1D1 的边长是 1，
在 Rt△C1D1A 中，由勾股定理得：AC1=12+12=2，
则 DC1=2−1，
∵∠AC1B1=45∘，∠C1DO=90∘，
∴∠C1OD=45∘=∠DC1O，
∴DC1=OD=2−1，
∴S△ADO=12×OD⋅AD=2−12，
∴ 四边形 AB1OD 的面积是 =2×2−12=2−1．
方法二：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AC=2，∠OCB1=45∘，
∴CB1=OB1
∵AB1=1，
∴CB1=OB1=AC−AB1=2−1，
∴S△OB1C=12⋅OB1⋅CB1=122−12，
∵S△ADC=12AD⋅AC=12×1×1=12，
∴S四边形AB1OD=S△ADC−S△OB1C=12−122−12=2−1．
12. B【解析】抛物线开口向上，a>0，对称轴为 x=−1，
因此 a，b 同号，b>0，
而 c<−1，因此 abc<0，
故①不符合题意；
对称轴为 x=−1，与 x 轴的交点为 x1,0，x2,0，其中 0根据对称性得：−3因此②符合题意；
由对称性可知，当 x=0 与 x=−2 时，y 的值是相等的，
又 c<−1，因此 4a−2b+c<−1 是正确的，
故③符合题意；
当 x=−1 时，y最小=a−b+c，当 x=m 时，y=am2+bm+c，
因此 a−b+c故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有 2 个．
第二部分
13. y=x−22+1
【解析】y=x2−4x+5=x2−4x+4+1=x−22+1，
所以，y=x−22+1．
故答案为：y=x−22+1．
14. 2【解析】把 2,2 代入 y=kx（k 为常数，k≠0）得 k=2×2=4，
所以反比例函数解析式为 y=4x，
当 x=1 时，y=4；当 x=2 时，y=2；
所以当 115. 6
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵E 是 A 的中点，
∴AE=12AD=12BC，
∴AECB=AFCF=12，
∵AF=2，
∴CF=4，
∴AC=AF+CF=6．
16. 15∘
【解析】连接 OA，OD，
∵△PQR 是 ⊙O 的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=13×360∘=120∘，
∵BC∥QR，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90∘，
∴AP=DP，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=12×90∘=45∘，
∴∠AOQ=∠POQ−∠AOP=75∘．
∵∠AOB=90∘，
∴∠QOB=15∘．
17. 41
【解析】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6 ，
∴AC=8．
过 M 点作 AC 的垂线，垂足设为 N，那么 MN 平行于 AʹC，且 N 是 BʹC 的中点，
∴NC=12BʹC=12BC=3，MN=12AʹC=12AC=4．
∴AN=AC−NC=5．
在△AMN 中，∠ANM=90∘，MN=4，AN=5，
∴AM=MN2+AN2=41．
18. （1）5
（2）如图，取格点 E，连接 AE 交 BC 于 M，取格点 F，连接 DF 交 AM 于点 P，点 P 即为所求．
【解析】（1）AC=32+42=5，
故答案为 5．
第三部分
19. （1） 这个反比例函数图象的另一支在第三象限，
因为这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，
所以 m−5>0，解得 m>5，
即这个反比例函数图象的另一支在第三象限，常数 m 的取值范围是 m>5．
（2） 如图，由第一象限内的点 A 在正比例函数 y=2x 的图象上，
设点 A 的坐标为 x0,2x0x0>0，则点 B 的坐标为 x0,0，
因为 S△OAB=4，
所以 12x0⋅2x0=4，
解得 x0=2（负值舍去），
所以点 A 的坐标为 2,4，
又因为点 A 在反比例函数 y=m−5x 的图象上，
所以 4=m−52，即 m−5=8，
所以反比例函数的关系式为 y=8x．
20. （1） 第一次摸球共有四种结果，分别为：1，2，3，4 其中偶数有两种，
所以 P为偶数=24=12．
（2） 根据题意画树形图如下：
由以上可知共有 12 种可能结果分别为：1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3；
在以上 12 种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有 10 种，
所以 P积为偶数=1012=56．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2） 由（1）△CDF∽△BGF，
又 ∵F 是 BC 的中点，BF=FC，
∴△CDF≌△BGFAAS，
∴DF=GF，CD=BG，
∵AB∥DC∥EF，F 为 BC 中点，
∴E 为 AD 中点，
∴EF 是 △DAG 的中位线，
∴2EF=AG=AB+BG，
∴BG=2EF−AB=2×4−6=2，
∴BG=2．
22. （1） 连接 BD，DO，
∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∴∠CDB=90∘，
又 ∵E 为 AB 的中点，
∴DE=EB=EA，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90∘，
∴∠EDB+∠OBD=90∘，即 OD⊥DE．
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△ABC 中，AB=8，BC=6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，
∴BD=AB⋅BCAC=245．
23. （1） 30−x；20+2x
（2） 设获得最大利润 y 元，根据题意，得
y=30−x20+2x=−2x2+40x+600=−2x−102+800.
∵−2<0，
∴ 当 x=10 时，y 有最大值为 800．
答：每件商品应降价 10 元，获得最大盈利为 800 元．
24. （1） ∵△ABD 绕点 A 旋转得到 △ACDʹ，
∴AD=ADʹ，∠CADʹ=∠BAD，
∵∠BAC=120∘，∠DAE=60∘，
∴∠DʹAE=∠CADʹ+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC−∠DAE=120∘−60∘=60∘,
∴∠DʹAE=∠DAE=60∘．
（2） 在 △ADE 和 △ADʹE 中，
AD=ADʹ,AE=AE,DE=DʹE,
∴△ADE≌△ADʹESSS，
∴∠DAE=∠DʹAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠CADʹ+∠CAE=∠DʹAE=∠DAE，
∴∠DAE=12∠BAC．
（3） DE=2BD．
【解析】∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACDʹ=45∘，
∴∠DʹCE=45∘+45∘=90∘，
∵△DʹEC 是等腰直角三角形，
∴DʹE=2CDʹ，
由（2）DE=DʹE，
∵△ABD 绕点 A 旋转得到 △ACDʹ，
∴BD=CʹD，
∴DE=2BD．
25. （1） 将 A−4,0，B−1,0 代入 y=ax2+bx+3 得
16a−4b+3=0,a−b+3=0
解得 a=34b=154.
故抛物线得函数解析式为 y=34x2+154x+3；
（2） 令 x=0，则 y=3，
∴C0,3，
设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，
代入 A−4,0，C0,3 得 −4m+n=0,n=3
解得 m=34n=3
∴AC 的解析式为 y=34x+3；
过 D 作 DE∥y 轴，交 AC 于点 E，设 Dm,34m2+154m+3，Em,34m+3−4则 DE=34m+3−34m2+154m+3，
∴DE=−34m2−3m，
∴S=12DE×4=2−34m2−3m=−32m2−6m=−32m+22+6,
∴m=−2 时，S最大=6；
故 m 为 −2 时 S 有最大值，最大值是 6．
（3） 存在点 P 使得 ∠APC=90∘，
以 AC 为直径作圆交抛物线的对称轴于 P
∵A−4,0，C0,3，
∴AC 的中点 O 的坐标为 −2,32，AC=42+32=5，
∴OP=AC2=52，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A−4,0，B−1,0 两点，
∴ 对称轴 x=−4−12=−52，
设 P−52,y，
∴OP2=AC22，
−2+522+32−y2=522，
解得 y=32±6，
∴P 的坐标为 −52,3+262 或 −52,3−262．