2019-2020学年天津市河东区八上期末数学试卷
展开这是一份2019-2020学年天津市河东区八上期末数学试卷,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 有下列长度的三条线段,能组成三角形的是
A. 1 cm,2 cm,3 cmB. 1 cm,4 cm,2 cm
C. 2 cm,3 cm,4 cmD. 6 cm,2 cm,3 cm
3. 下列运算正确的是
A. −a32=−a6B. 2a2+3a2=6a2
C. 2a2⋅a3=2a6D. −b22a3=−b68a3
4. 若 x−2x+3=x2+ax+b,则 a,b 的值分别为
A. a=5,b=−6B. a=5,b=6C. a=1,b=6D. a=1,b=−6
5. 如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定 △ABE≌△ACD
A. ∠B=∠CB. BE=CDC. BD=CED. AD=AE
6. 如果把分式 x+2yx 中的 x 和 y 都扩大 5 倍,那么分式的值
A. 不变B. 缩小 5 倍C. 扩大 2 倍D. 扩大 5 倍
7. 若 x2−mx+4 是完全平方式,则 m 的值为
A. 2B. 4C. ±2D. ±4
8. 如图,从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是
A. a−b2=a2−2ab+b2B. aa−b=a2−ab
C. a−b2=a2−b2D. a2−b2=a+ba−b
9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边 OA,OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的到刻度分别与点 M,N 重合,过角尺顶点 C 作射线 OC 由此作法便可得 △NOC≌△MOC,其依据是
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
10. 如图,在 △ABC 中,AC=DC=DB,∠ACB=105∘,则 ∠B 的大小为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 40∘
11. 已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,A,B 两点在格点上,位置如图,点 C 也在格点上,且 △ABC 为等腰三角形,则点 C 的个数为
A. 7B. 8C. 9D. 10
12. 如图所示,在 △ABC 中,内角 ∠BAC 与外角 ∠CBE 的平分线相交于点 P,BE=BC,PG∥AD 交 BC 于 F,交 AB 于 G,连接 CP.下列结论:① ∠ACB=2∠APB;② S△PAC:S△PAB=PC:PB;③ BP 垂直平分 CE;④ ∠PCF=∠CPF.其中正确的有
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③
二、填空题(共6小题;共30分)
13. 计算 2x5⋅x 的结果等于 .
14. 当 x= 时,分式 x2−1x+1 的值为 0.
15. 在平面直角坐标系中点 P−2,3 关于 x 轴的对称点在第 象限.
16. 在数轴上点 A,B 对应的数分别为 2,x−5x+1,且点 A,B 到原点距离相等,求 x .
17. 如图,在 △ABC 中,∠ACB=90∘,BC 的垂直平分线交 AB 于点 D,垂足为 E,当 AB=10,∠B=30∘ 时,△ACD 的周长是 .
18. △ABC 中,AB=AC=12 厘米,∠B=∠C,BC=9 厘米,点 D 为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以 v 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动.若点 Q 的运动速度为 3 厘米/秒,则当 △BPD 与 △CQP 全等时,v 的值为 .
三、解答题(共7小题;共91分)
19. 计算题:
(1)x+12x−13;
(2)1x+1+2x2−1.
20. 如图所示的方格纸中,每个小方格的边长都是 1,点 A−4,1,B−3,3,C−1,2.
(1)作 △ABC 关于 y 轴对称的 △AʹBʹCʹ;
(2)在 x 轴上找出点 P,使 PA+PC 最小,并直接写出 P 点的坐标.
21. 因式分解.
(1)4a2−9;
(2)3ax2+6axy+3ay2.
22. 解方程:xx−1−1x2−x=1.
23. 在 △ABC 中,AB=AC,点 E,F 分别在 AB,AC 上,AE=AF,BF 与 CE 相交于点 P.
(1)求证:△ABF≌△ACE;
(2)求证:PB=PC.
24. 某校学生利用双休时间去距学校 10 km 的炎帝故里参观,一部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍,求骑车学生的速度和汽车的速度.
25. 如图 1,点 C 在线段 AB 上,(点 C 不与 A,B 重合),分别以 AC,BC 为边在 AB 同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE,连接 AE,BD 交于点 P.
(1)观察猜想:
①线段 AE 与 BD 的数量关系为 .
② ∠APC 的度数为 .
(2)数学思考:如图 2,当点 C 在线段 AB 外时,(1)中的结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展应用:如图 3,分别以 AC,BC 为边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE,其中 ∠ACD=∠BCE=90∘,CA=CD,CB=CE,连接 AE=BD 交于点 P,则线段 AE 与 BD 的关系为 .
答案
第一部分
1. A【解析】A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选:A.
2. C【解析】A、 1+2=3,不能构成三角形;
B、 1+2<4,不能构成三角形;
C、 2+3>4,能构成三角形;
D、 2+3<6,不能构成三角形.
故选:C.
3. D【解析】A.−a32=a6,此选项错误;
B.2a2+3a2=5a2,此选项错误;
C.2a2⋅a3=2a5,此选项错误;
D.−b22a3=−b68a3,此选项正确.
4. D【解析】已知等式整理得:x2+x−6=x2+ax+b,则 a=1,b=−6.
5. B
【解析】因为 AB=AC,∠A 为公共角,
A、如添加 ∠B=∠C,利用 ASA 即可证明 △ABE≌△ACD;
B、如添 BE=CD,因为 SSA,不能证明 △ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件;
C、如添 BD=CE,等量关系可得 AD=AE,利用 SAS 即可证明 △ABE≌△ACD;
D、如添 AD=AE,利用 SAS 即可证明 △ABE≌△ACD.
故选:B.
6. A【解析】根据题意,得
5x+5×2y5x=5x+2y5x=x+2yx.
∴ 分式的值不变.
7. D【解析】∵x2−mx+4 是完全平方式,
∴−mx=±2×x×2.
∴−m=±4,即 m=±4.
8. D【解析】第一个图形阴影部分的面积是 a2−b2,
第二个图形的面积是 a+ba−b.
则 a2−b2=a+ba−b.
9. A【解析】∵ 在 △ONC 和 △OMC 中,
ON=OM,CO=CO,NC=MC,
∴△MOC≌△NOCSSS,
∴∠BOC=∠AOC.
10. C
【解析】设 ∠B=x,
∵AC=DC=DB,
∴∠CAD=∠CDA=2x,
∴∠ACB=180∘−4x+x=105∘,
解得 x=25∘.
故选:C.
11. C【解析】①以 AB 为底边,符合点 C 的有 5 个;
②以 AB 为腰,符合点 C 的有 4 个.
∴ 符合条件的点 C 共有 9 个.
12. B【解析】∵PA 平分 ∠CAB,PB 平分 ∠CBE,
∴∠PAB=12∠CAB,∠PBE=12∠CBE,
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,
∠PBE=∠PAB+∠APB,
∴∠ACB=2∠APB,故①正确;
过 P 作 PM⊥AB 于 M,PN⊥AC 于 N,PS⊥BC 于 S,
∴PM=PN=PS,
∴PC 平分 ∠BCD,
∵S△PAC:S△PAB=12AC⋅PN:12AB⋅PM=AC:AB,故②不正确;
∵BE=BC,BP 平分 ∠CBE
∴BP 垂直平分 CE(三线合一),故③正确;
∵PG∥AD,
∴∠FPC=∠DCP
∵PC 平分 ∠DCB,
∴∠DCP=∠PCF,
∴∠PCF=∠CPF,故④正确.
本题正确的有:①③④.
第二部分
13. 2x6
【解析】2x5⋅x=2x6.
故答案为 2x6.
14. 1
【解析】由题意得:x2−1=0,且 x+1≠0,解得:x=1.
15. 三
【解析】点 P−2,3 满足点在第二象限的条件.关于 x 轴的对称点的横坐标与 P 点的横坐标相同,是 −2;纵坐标互为相反数,是 −3,则 P 关于 x 轴的对称点是 −2,−3,在第三象限.
故答案是:三.
16. =−7 或 1
【解析】根据题意得:x−5x+1=2 或 x−5x+1=−2.
分别去分母得:x−5=2x+2 或 x−5=−2x−2.
解得:x=−7 或 x=1.
经检验 x=−7 或 x=1 都是分式方程的解.
17. 15
【解析】∵DE 是线段 BC 的垂直平分线,∠ACB=90∘,
∴CD=BD,AD=BD.
又 ∵ 在 △ABC 中,∠ACB=90∘,∠B=30∘,
∴AC=12AB,
∴△ACD 的周长 =AC+AB=32AB=15,
故答案为:15.
18. 2.25 或 3
【解析】∵△ABC 中,AB=AC=12 厘米,点 D 为 AB 的中点,
∴BD=6 厘米,
若 △BPD≌△CPQ,
则需 BD=CQ=6 厘米,BP=CP=12BC=12×9=4.5(厘米),
∵ 点 Q 的运动速度为 3 厘米/秒,
∴ 点 Q 的运动时间为:6÷3=2s,
∴v=4.5÷2=2.25(厘米/秒);
若 △BPD≌△CQP,则需 CP=BD=6 厘米,BP=CQ,
∴9−vt=6,vt=3t, 解得:v=3.
∴v 的值为:2.25 或 3.
第三部分
19. (1) 原式=x2+12−13x−12⋅13=x2+16x−16.
(2) 原式=x−1x2−1+2x2−1=x+1x2−1=1x−1.
20. (1) 如图所示,△AʹBʹCʹ 即为所求.
(2) 作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʺ,再连接 AʺC 交 x 轴于点 P,其坐标为 −3,0.
21. (1) 原式=2a+32a−3.
(2) 原式=3ax2+2xy+y2=3ax+y2.
22. 去分母得:
x2−1=x2−x.
解得:
x=1.
经检验 x=1 是增根,分式方程无解.
23. (1) 在 △ABF 和 △ACE 中,
AE=AF,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABF≌△ACESAS.
(2) ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵△ABF≌△ACE,
∴∠ABF=∠ACE,
∴∠FBC=∠ECB,
∴BP=CP.
24. 设骑车学生的速度为 x 千米/小时,汽车的速度为 2x 千米/小时,
可得:
10x=102x+2060.
解得:
x=15.
经检验 x=15 是原方程的解,
2x=2×15=30,
答:骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时 15 km,30 km.
25. (1) ① AE=BD
② 60∘
【解析】①如图 1,设 AE 交 CD 于点 O,过点 C 作 CH⊥AE,CG⊥BD,
∵△ADC,△ECB 都是等边三角形,
∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60∘,CE=CB,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCBSAS,
∴AE=BD,∠CAO=∠ODP,S△ACE=S△BCD,
∵∠AOC=∠DOP,
∴∠DPO=∠ACO=60∘,
∴∠APB=120∘,
∵S△ACE=S△BCD,
∴12×AE×CH=12×BD×CG,
∴CH=CG,且 CH⊥AE,CG⊥BD,
∴CP 平分 ∠APB,
∴∠APC=60∘.
(2) ①成立,②不成立,
理由:设 AC 交 BD 于点 O.过点 C 作 CH⊥AE,CG⊥BD,
∵△ADC,△ECB 都是等边三角形,
∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60∘,CE=CB,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCBSAS,
∴AE=BD,∠PAO=∠ODC,
∵∠AOP=∠DOC,
∴∠APO=∠DCO=60∘,
∴∠DPE=120∘,
∵S△ACE=S△BCD,
∴12×AE×CH=12×BD×CG,
∴CH=CG,且 CH⊥AE,CG⊥BD,
∴CP 平分 ∠DPE,
∴∠DPC=60∘,
∴∠APC=120∘,
∴ ①成立,②不成立.
(3) AE=BD,AE⊥BD
【解析】设 AC 交 BD 于点 O,
∵∠ACD=∠BCE=90∘,CA=CD,CB=CE,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△AEC≌△DBCSAS,
∴AE=BD,∠CDB=∠CAE,
∵∠AOP=∠COD,∠CDB=∠CAE,
∴∠DCO=∠APO=90∘,
∴AE⊥BD.
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