人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算精练
展开空间向量数量积和垂直问题
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
- 若向量，满足条件，则x的值为_________
- 设向量，则____________
- 若向量，则__________
- 已知，若，且面ABC，则_________
- 已知向量，且，则________
- 如右图，三棱锥中，所有棱长都为2，点E、F分别是中点，则 ______ ．
|
- 理已知与的夹角为，则______．
- 已知向量，若，则实数x的值是______ ．
- 已知的夹角为，则 ______ ．
- 已知向量，若，则 ______ ．
- 已知空间三点、、，若直线AB上一点M，满足，则点M的坐标为______ ．
- 已知，若共面，则实数 ______ ．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
- 已知空间三点
求向量的夹角的余弦值，
若向量垂直，求实数k的值．
- 已知空间三点．
求；
求以为边的平行四边形的面积．
- 如图，正四棱柱中，设，若棱上存在唯一的一点P满足，求实数的值．
|
【空间向量垂直问题答案】
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
- 若向量，满足条件，则x的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】解：向量，
且，
，
解得，
的值为2．
故选：B．
根据空间向量的坐标运算，结合题意，求出x的值．
本题考查了空间向量的坐标运算以及数量积的应用问题，是基础题目．
- 设向量，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：向量，
．
故选：D．
，由此能求出结果．
本题考查空间向量的夹角的余弦值的求法，考查空间空间向量夹角余弦值公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
- 若向量，则
A. 3 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】解：向量，
．
故选：B．
利用公式求解．
本题考查空间向量的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量夹角余弦公式的合理运用．
- 已知，若，且面ABC，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
，解得，
，且面ABC，
，
解得，
．
故选：D．
利用向量垂直的性质求解．
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
- 已知向量，且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
即，
，
即，
，
解得，
故选：B．
根据空间向量的坐标公式，利用空间向量垂直转化为空间向量数量积之间的关系即可求解x．
本题主要考查空间向量数量积的计算，将空间向量垂直转化为空间数量积是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
- 如右图，三棱锥中，所有棱长都为2，点E、F分别是中点，则 ______ ．
|
【答案】1
【解析】解：三棱锥中，所有棱长都为2，点E、F分别是中点，
，且，
．
故答案为：1．
由已知得，且，由此利用向量数量积公式能求出的值．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四面体的性质的合理运用．
- 理已知与的夹角为，则______．
【答案】
【解析】解：．
与的夹角为，
，
化为，
．
故答案为：．
利用向量的夹角公式即可得出．
本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
- 已知向量，若，则实数x的值是______ ．
【答案】4或
【解析】解：因为向量，所以整理得到，解得或．
故答案为：4或．
根据向量垂直，数量积为0，得到关于x的方程解之即可．
本题考查了空间向量垂直的性质；向量垂直数量积为0．
- 已知的夹角为，则 ______ ．
【答案】
【解析】解：，
且的夹角为，
所以，
解得．
故答案为：
利用向量数量积公式，建立方程，即可求得k的值．
本题考查了向量数量积的定义与应用问题，是基础题目．
- 已知向量，若，则 ______ ．
【答案】0或2
【解析】解：，
，
解得或2，
故答案为：0或2．
由，可得，解出即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
- 已知空间三点、、，若直线AB上一点M，满足，则点M的坐标为______ ．
【答案】
【解析】解：设，则，
在直线AB上，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
设，则，由M在直线AB上，得，从而，再由能求出．
本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
- 已知，若共面，则实数 ______ ．
【答案】9
【解析】解：，
若共面，则存在实数，使得，
，
，
解得，
．
故答案为：9．
由若共面，则存在实数，使得，由此能求出实数．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
- 已知空间三点
求向量的夹角的余弦值，
若向量垂直，求实数k的值．
【答案】解：，
．
．
．
向量垂直，
，
，
解得 ．
【解析】，计算可得．
向量垂直，可得，即可得出．
本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
- 已知空间三点．
求；
求以为边的平行四边形的面积．
【答案】解：，
，
．
由知，
，
以为边的平行四边形的面积．
【解析】求出两向量的坐标，模长，数量积，代入夹角公式计算；
求出，则平行四边形的面积．
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
- 如图，正四棱柱中，设，若棱上存在唯一的一点P满足，求实数的值．
|
【答案】解：如图，以点D为原点分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，其中，
因为，
所以，即，
化简得，
由点的唯一性知方程只有唯一解，
所以，判别式，且，
解得．
【解析】以点D为原点分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数的值．
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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