数学选择性必修第一册1.4 空间向量的应用课堂检测

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这是一份数学选择性必修第一册1.4 空间向量的应用课堂检测，共7页。

【空间向量】异面直线所成角习题

如图，长方体中点E、F、G分别为、AB、的中点，则异面直线与GF所成角的余弦值为_______

如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______

如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______．

如图，在长方体中，．
求异面直线与所成的角为_________
直三棱柱的底面为等腰直角三角形，、F分别是BC、的中点求异面直线EF和所成角的大小______

如图所示，正四棱锥的底面面积为3，体积为为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________

【答案】

如图所示，正四棱锥的底面面积为3，体积为为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】解：连结AC、BD，交于点O，连结OP，则平面ABCD，
正四棱锥的底面面积为3，体积为，
，
，
解得，
以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设PA与BE所成的角为，
则，
．
与BE所成的角为．
故选：C．
连结AC、BD，交于点O，连结OP，则平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与BE所成的角．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．

长方体中点E、F、G分别为、AB、的中点，则异面直线与GF所成角的余弦值为

A.
B.
C. 1
D. 0

【答案】D

【解析】解：如图，
连结，因为分别为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，连结，在直角三角形中，由勾股定理求得，
同理求得，
所以，有，则．
即异面直线与GF所成角为．
其余弦值为0．
故选D．
连结，可证明，则或其补角为两条异面直线所成的角，在三角形中，根据边的关系可得异面直线与GF所成角为，从而答案可求．
本题考查了异面直线及其夹角，考查了学生的空间想象和思维能力，属于基础的计算题．

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

如图，E是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与CE所成成角的余弦值为______．

【答案】

【解析】解：连结，交于点O，连结OE，
是正方体的棱上的一点，
是正方形，是中点，
平面，
是正方体的棱的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
，
设异面直线与CE所成成角为，
．
异面直线与CE所成成角的余弦值为．
故答案为：．
连结，交于点O，连结OE，由平面，得到E是棱的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线与CE所成成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．

如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的大小是______结果用反三角函数表示

【答案】

【解析】解：在直三棱柱中，，
，
是异面直线与所成角，
，
，
．
．
异面直线与所成角的大小是．
故答案为：．
由，得是异面直线与所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线与所成角．
本题考查异面直线所成角的余弦值求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力和思维能力，考查函数与方程思想，属中档题．

如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______．

【答案】

【解析】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2．
则
则，
，
异面直线和所成角的余弦值等于，
故答案为：．
以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为则，则．
本题考查了向量法求异面直线夹角，属于中档题．

三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

如图，在长方体中，．
求异面直线与所成的角；
求三棱锥的体积．

【答案】解：在长方体中，，
是异面直线与所成的角或其补角分
．
在等腰中，
分
异面直线与所成的角分
分
分

【解析】求出是异面直线与所成的角或其补角，由此能求出异面直线与所成的角．
由，能求出三棱锥的体积．
本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

直三棱柱的底面为等腰直角三角形，、F分别是BC、的中点求：
Ⅰ与底面所成角的大小；
Ⅱ异面直线EF和所成角的大小．

【答案】解：Ⅰ连接FE，由已知可得平面ABC
即为FE与底面所成角
等腰直角三角形，为BC的中点
中
即FE与底面所成角
Ⅱ取AB的中点G，连接则可得
所以即为异面直线EF和所成角或补角
由Ⅰ可得，因为
所以可得
异面直线EF和所成角的大小为

【解析】Ⅰ由已知可得平面ABC，可得即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，为BC的中点可求AE，在中求解即可
Ⅱ由都为中点，考虑取AB的中点G，则可得，从而有即为异面直线EF和所成角或补角分别求解，从而可求
本题所考查的时立体几何中最为基本的类型的试题：直线与平面所成的角的求解与异面直线所成的角度的求解，解决此问题的关键是要能够做出所要求的角，然后再通过解三角形进行求解．

如图，在正四棱柱中，．
求异面直线与所成角的大小；用反三角函数形式表示
若E是线段上不包含线段的两端点的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成；并解答所提出的问题．

【答案】解：如图，连接AC、，由，
知是平行四边形，则，
所以为异面直线与所成角．
在中，，
则，
所以．

第一种：
提出问题：证明三棱锥的体积为定值．
问题解答：如图，因为平面，所以上任意一点到平面的距离相等，因此三棱锥与三棱锥同底等高，．
而，
所以三棱锥的体积为定值．
说明：若提出的问题为求三棱锥的体积，则根据上述解答相应给分．
若在侧面上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在侧面上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．

第二种：
提出问题：三棱锥的体积在E点从点D运动到过程中单调递增．
问题解答：因为，知为定值，
则三棱锥的体积与DE成正比，可知随着DE增大而增大，又因为，
即三棱锥的体积在E点从点D运动到过程中单调递增．
说明：若提出的问题是求三棱锥的体积范围，也可相应给分．
解答：因为，而，
则．

若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在底面上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似单调递减，
可相应给分．

【解析】连接AC、，易知为异面直线与所成角，在中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线与所成角的大小；
本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥的体积为定值，根据三棱锥与三棱锥同底等高可得结论．
第二种：提出问题：三棱锥的体积在E点从点D运动到过程中单调递增，根据三棱锥的体积与DE成正比，可知随着DE增大而增大可得结论．
本题主要考查了异面直线所成角，以及体积的度量，同时考查了空间想象能力，以及发散性思维，属于中档题．