高中数学第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程巩固练习

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 求圆的方程以点为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为 圆心在x轴上，半径长为，且过点的圆的方程为________已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为____点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，则该圆的圆心坐标为圆心为且与直线相切的圆的方程为圆的一条直径的两个端点是，时，则此圆的方程是 以为圆心，且与直线相切的圆的方程是______  与圆同圆心，且过的圆的方程是______ 已知，，以AB为直径的圆的标准方程为______ ．  圆的面积为______ ． 如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为______ ．  过，，圆心在x轴上的圆的标准方程为______． 圆关于y轴对称的圆的一般方程是______ ． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）分别根据下列条件，求圆的方程：
过两点，，且圆心在直线上；
半径为，且与直线切于点．






 根据下列条件求圆的方程：
求经过点，，圆心在直线 上的圆的方程；
求以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程．






 分别根据下列条件，求圆的方程：求经过点，，圆心在直线 上的圆的方程；
求以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程．过点，且与直线相切于点．






 
 求圆的方程问题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）以点为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为　　A.  B.
C.  D. 【答案】C【解析】解：以点为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是，
故选C．
由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程．
本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于中档题．
 圆心在x轴上，半径长为，且过点的圆的方程为    A.  B.
C.  D. 或【答案】D【解析】【分析】
本题考查圆的方程，考查方程思想，比较基础．
设圆心坐标为，则由题意知，
解得a，即可求出圆的方程．
【解答】
解：设圆心坐标为，
则由题意知，
解得或，
故圆的方程为或．
故选D．
 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为 (    )A.  B.
C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
对于直线，令，解得可得圆心设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线相切的充要条件可得本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】解：对于直线，令，解得．
圆心，
设圆的半径为r，
圆C与直线相切，
，
圆的标准方程为．
故选：A．
 点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，则该圆的圆心坐标为　　A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力，圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，即可求出k，即得解．
【解答】
解：圆的圆心坐标为，
由题意知，直线是弦MN的垂直平分线，
故圆心在直线上，
，得．
圆心坐标．
故选D．
 圆心为且与直线相切的圆的方程为　　A.  B.
C.  D. 【答案】B【解析】解：圆心到直线的距离，
则圆的标准方程为，
故选：B
根据直线和圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，结合圆的标准方程进行求解即可．
本题主要考查圆的标准方程的求解，根据直线和圆相切的位置关系求出圆的半径是解决本题的关键．
 圆的一条直径的两个端点是，时，则此圆的方程是　　A.  B.
C.  D. 【答案】B【解析】解：圆的圆心为线段的中点，半径为，
要求的圆的方程为，
故选：B．
由条件求得线段的中点的坐标，即为所求的圆心坐标，再求圆的半径，从而求得要求的圆的方程．
本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
 以为圆心，且与直线相切的圆的方程是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，关键是求出圆的半径．根据题意，分析可得圆心到直线就是圆的半径r，计算可得r的值，将圆心坐标以及半径r代入圆的标准方程即可得答案 
【解答】解：因为所求圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为该圆的半径r，即．所以所求圆的方程为：．故选A．
 与圆同圆心，且过的圆的方程是　　A.  B.
C.  D. 【答案】B【解析】解：由圆C：，得
，
圆C的圆心坐标为，
过，，
与圆同圆心，
且过的圆的方程是即．
故选：B．
化已知圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，由两点间的距离公式求出，代入圆的标准方程得答案．
本题考查圆的标准方程，考查了圆的一般方程与标准方程的互化，是基础题．
 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）已知，，以AB为直径的圆的标准方程为______ ．【答案】【解析】【分析】
此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设圆心为C，，，
圆心C的坐标为；
，即圆的半径，
则以线段AB为直径的圆的方程是．
故答案为．
 圆的面积为______ ．【答案】【解析】解：圆的方程即，表示以为圆心，半径等于2的圆，
故圆的面积为，
故答案为：．
把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，可得它的面积．
本题主要考查圆的标准方程，考查圆的面积，属于基础题．
 如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为______ ．【答案】【解析】解：将方程配方，得．
，，此时．
圆心为．
故答案为：．
把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标与半径，要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为0即时得到半径的平方最大，所以把代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．
本题以二次函数的最值问题为平台考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准方程找出圆心和半径，是一道基础题．
 过，，圆心在x轴上的圆的标准方程为______．【答案】【解析】解：圆的圆心在x轴上，设圆心为，由圆过点和，
即可得，即，求得，
可得圆心为，半径为，
故圆的方程为．
故答案为：．
设圆心为，由求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．
本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．
 圆关于y轴对称的圆的一般方程是______ ．【答案】【解析】解：根据题意，圆，即，由于圆心为，半径为2，
圆心关于于y轴对称的点为，
故圆关于y轴对称的圆的方程为，即，
故答案为：．
根据题意，将变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，分析可得圆心关于于y轴对称的点为，即可得要求圆的标准方程，将其化为一般方程即可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及直线和圆的位置关系，关键是求出圆心关于直线的对称点的坐标，属于基础题．
 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）分别根据下列条件，求圆的方程：
过两点，，且圆心在直线上；
半径为，且与直线切于点．【答案】解：由于圆心在直线上，可设圆心坐标为，
再根据圆过两点，，可得，
解得，可得圆心为，半径为，
故所求的圆的方程为；
设圆心坐标为，则，
，或，，
圆的方程为或．【解析】本题主要考查圆的标准方程的求法，求出圆心的坐标，是解题的关键，题目常规．由圆心在直线上，可设圆心坐标为，再根据圆心到两点、的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；
设圆心坐标为，利用半径为，且与直线切于点，建立方程组，求出圆心坐标，即可求得圆的方程．
 根据下列条件求圆的方程：
求经过点，，圆心在直线 上的圆的方程；
求以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程．【答案】解：，，
直线AB的斜率为，
直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：，
与直线联立解得：，，即所求圆的圆心M坐标为，
又所求圆的半径，
则所求圆的方程为 ；
设以，，为顶点的三角形OAB
外接圆的方程为，
，
解得，，，
三角形OAB外接圆的方程为．【解析】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，两点间的距离公式，以及两直线的交点坐标求法，其中根据垂径定理得出弦AB的垂直平分线过圆心是解本题的关键．
由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；
设以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程为，分别把点O，A，B代入，能求出三角形OAB外接圆的方程．
 分别根据下列条件，求圆的方程：求经过点，，圆心在直线 上的圆的方程；
求以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程．过点，且与直线相切于点．【答案】  解：，，
直线AB的斜率为，
直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：，     
与直线联立解得：，，
即所求圆的圆心M坐标为，       
又所求圆的半径，     
则所求圆的方程为    ．
设以，，为顶点的三角形OAB外接圆的方程为，
，         
解得，，，
三角形OAB外接圆的方程为
，
，
解得，，，
．【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于基础题．
直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为，     与直线联立解得，，，即可写出圆的标准方程．
设三角形OAB外接圆的方程为，列出方程组即可得解得，，．
，列出方程组即可得解得，，．