初中北师大版1 认识一元二次方程习题

2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.1认识一元二次方程》

一．选择题（共5小题）

1．（2021春•鼓楼区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B． C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x4+1＝x2

2．（2021春•西城区校级期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）

A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．

3．（2021春•鄞州区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0

4．（2021春•蜀山区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．y＝3x2﹣1 B．（x+2）（x+3）＝x2﹣1 

C．x2＝0 D．x2﹣＝3

5．（2021•梁溪区一模）若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）

A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1

二．填空题（共5小题）

6．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　   　．

7．（2021•平江县一模）若关于x2+ax﹣2＝0的方程有一个根是1，则a＝　 　．

8．（2021春•鄞州区期中）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　 　．

9．（2021•浦东新区校级二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有一个根为2，那么m＝　 　．

10．（2021•成都模拟）若关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根是x＝1，则m的值为　   　．

三．解答题（共5小题）

11．（2020秋•文山市期末）已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，求m2﹣2015m+的值．

12．（2020秋•邗江区期末）已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，求m的值．

13．（2020秋•泰州月考）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，求m的值．

14．（2020秋•海珠区校级期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，且a≠b，求的值．

15．（2020秋•马村区月考）若（a+1）x|2a﹣1|＝5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？

2021年新初三数学北师大新版新课预习《2.1认识一元二次方程》

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2021春•鼓楼区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B． C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x4+1＝x2

【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：A．属于一元一次方程，不符合题意；

B．属于分式方程，不符合题意；

C．属于一元二次方程，符合题意；

D．未知数的最高次数是4，不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．

2．（2021春•西城区校级期中）下列方程中，一元二次方程是（　　）

A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．

【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；符号意识．

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意；

B．属于二元二次方程，不符合题意；

C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；

D．属于分式方程，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

3．（2021春•鄞州区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0

【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；符号意识．

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．

【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、是分式方程，故此选项不符合题意；

D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

4．（2021春•蜀山区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．y＝3x2﹣1 B．（x+2）（x+3）＝x2﹣1 

C．x2＝0 D．x2﹣＝3

【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【专题】数感；运算能力．

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．整理后为5x+7＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C．是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．

5．（2021•梁溪区一模）若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（　　）

A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠1

【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；符号意识．

【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．

【解答】解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，

∴m﹣1≠0，

解得m≠1，

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．

二．填空题（共5小题）

6．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　﹣1　．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．

【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．

【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．

故答案为﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

7．（2021•平江县一模）若关于x2+ax﹣2＝0的方程有一个根是1，则a＝　1　．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程，然后解关于a的方程即可．

【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，

解得a＝1．

故答案为1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

8．（2021春•鄞州区期中）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　2　．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0得到关于p的一元一次方程，然后解此方程即可．

【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0，

解得p＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．

9．（2021•浦东新区校级二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有一个根为2，那么m＝　9　．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于m的方程，从而求得m的值．

【解答】解：把x＝2代入方程得：22﹣6×2+m﹣1＝0．

解得m＝9．

故答案是：9．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

10．（2021•成都模拟）若关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根是x＝1，则m的值为　﹣4　．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】把x＝1代入方程x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，然后解关于m的方程．

【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，解得m＝﹣4．

故答案为﹣4．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

三．解答题（共5小题）

11．（2020秋•文山市期末）已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，求m2﹣2015m+的值．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【分析】把x＝m代入方程x2﹣2016x+1＝0有m2﹣2016m+1＝0，变形得m2﹣2015m＝m﹣1，m2+1＝2016m，再将所求代数式m2﹣2015m+变形为﹣1，将＝2016代入，计算即可求出结果．

【解答】解：∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，

∴m2﹣2016m+1＝0，

∴m2﹣2015m＝m﹣1，m2+1＝2016m，

∴＝＝，

∴m2﹣2015m+＝m﹣1+＝﹣1＝2016﹣1＝2015．

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的式子，代入代数式化简求值．

12．（2020秋•邗江区期末）已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，求m的值．

【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据题意可得出1+6+m2﹣4m﹣4＝0，然后解出该方程的解即可．

【解答】解：∵方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，

∴1+6+m2﹣4m﹣4＝0，

∴m2﹣4m+3＝0，

∴m1＝1，m2＝3．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据题意得出1+6+m2﹣4m﹣4＝0，本题属于基础题型．

13．（2020秋•泰州月考）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，求m的值．

【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，

∴m﹣2≠0，m2﹣4＝0，

解得：m＝﹣2．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

14．（2020秋•海珠区校级期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，且a≠b，求的值．

【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．菁优网版权所有

【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．

【分析】根据x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，可以求得a+b的值，再根据a≠b，可以求出答案．

【解答】解：∵x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，

∴a+b﹣60＝0，

∴a+b＝60，

∴＝＝30．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解得含义．

15．（2020秋•马村区月考）若（a+1）x|2a﹣1|＝5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？

【考点】绝对值；一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【专题】一元二次方程及应用；模型思想．

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：由题意得：|2a﹣1|＝2且a+1≠0，

解得：a＝或a＝﹣．

当a＝时，该方程是x2＝5，此时x＝±．

当a＝﹣时，该方程是x2＝5，此时x＝±．

综上所述，a的值是或﹣；该方程的解为x＝±或x＝±．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

考点卡片

1．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

3．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

4．一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

5．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

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日期：2021/7/2 9:46:16；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867