北师大版九年级上册1 认识一元二次方程第2课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：先提出问题，学生思考后回答.

问题1：一元二次方程有哪些特点？

预设：①只含有一个未知数；

②未知数的最高次数是2；
③整式方程

问题2：一元二次方程的一般形式是什么？

预设：

ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项.

【填一填】

1.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______.

2.一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般形式是______.

3.近似数2.36≈_____(精确到0.1).

预设：(1)解

(2)2x2–x–7=0

(3)2.4

思考回答

独立完成

通过复习回顾一元二次方程的特点及一般形式和相应的练习，为本节课的学习做准备.

环节二探究新知

【合作探究】

教师活动：通过列表让学生直观的感受到方程的解满足的条件，从而引出一元二次方程的解，再通过延续上一节课的两个具体问题，引导学生估算一元二次方程的解，从而归纳得出用“两边法”求一元二次方程的基本步骤.

问题1：下面哪些数是方程x2–2x–8=0的解?

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4

预设：列表

归纳：像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根).

问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18，你能求出这个宽度吗？

(1)x可能小于0吗?说说你的理由．

预设：x不可能小于0，因为宽度不能为负.

追问：x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.

预设：x不可能大于4，(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0，

x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的宽，所以有5-2x>0.

(2)你能确定x的大致范围吗？

预设：由(1)可知：0<x<2.5

(3)填写下表：

预设：

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？

预设：由(3)列表可知，当x=1时，方程两边相等，所以地毯花边的宽1m.

你还有其他求解方法吗？

预设：教师鼓励学生尝试别的方法，可以考虑从运算的角度18等于6×3.

【做一做】

问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程72＋(x＋6)2＝102，也就是x2+12x-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？

(2)底端滑动的距离可能是2m吗？可能是

3m吗？为什么？

预设：(1)不正确，因为x=1时不满足方程.(2)不可能是2，因为x=2时不满足方程.不可能是3，因为x=3时不满足方程.

(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

预设：在(1)(2)基础上列表：

观察表格发现，当x=1时，x2+12x-15小于0，当x=2时，x2+12x-15大于0，所以猜测1<x<2，即滑动距离在1m到2m之间.

(4)由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？

预设：

下面是小亮的求解过程：

可知x取值的大致范围是:1<x<1.5.

进一步计算：

所以1.1＜x＜1.2，

因此x整数部分是1，十分位部分是1．

【归纳】

上述求解是利用了“两边夹”的思想，用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：

①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；

②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间；

③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；

④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.

列出表格，观察与思考

思考后回答问题

补全表格

回答问题

动手算一算，再举手说一说

分组填表，交流讨论，反馈结果

感受求解过程

熟悉估算一元二次方程的解的方法

通过列表找出规律，得出一元二次方程的解的概念.

通过具体问题，探究怎样求一元二次方程的近似解.

根据学生对估算方法的理解，通过具体的例子加深学生的印象.

明确用两边夹的思想解一元二次方程解的步骤.

环节三应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 请估算出一元二次方程x2-2x-1=0的正数根(精确到0.1).

分析：①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜x2-2x-1＜2，则正数根在2到3之间；②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜x2-2x-1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；③最后确定百分位部分，当x=2.45时，x2-2x-1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.40到2.45之间，若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可.

解：(1)列表.依次取x=0，1，2，3，…

由上表可发现，当2＜x＜3时，-1＜x2-2x-1＜2；

(2)继续列表，依次x=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…

由表发现，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜x2-2x-1＜0.25；

(3)取x=2.45，则x2-2x-1≈0.1025.

∴ 2.4＜x＜2.45，

∴ x≈2.4即正数根为2.4.

明确例题的做法

让学生在探究过程中进一步加深对一元二次方程解的估算，培养学生的估算意识.

环节四巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？

2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m.苗圃的长和宽各是多少？

3.有一条长为16m的绳子，你能否用它围出一个面积为15m2的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？

答案：

1.解:设第一个整数为x．

x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2．

3x2＋6x＋5＝2x2＋14x＋25．

x2－8x－20＝0．

列表：

所以x＝-2或10．

所以，这五个整数分别是10，11，12，13，14或-2，-1，0，1，2.

2.解：设苗圃的宽为xm，则长为(x+2)m，

根据题意得：x(x+2)=120.

即x2+2x-120=0.

列表：

所以，苗圃的宽为10m，长为12m．

3.解:能，设矩形的宽为xm，则长为(8-x)m，

依题意，得x(8-x)＝15．

即：x2-8x+15＝0．

列表：

所以，矩形的宽为3m，长为5m．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第35页

习题2.2第3题

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.