高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试精品随堂练习题

8．1 基本立体图形

第一课时　棱柱、棱锥、棱台

1．下列棱锥有6个面的是(　　)

A．三棱锥　　　　　　 B．四棱锥　

C．五棱锥   D．六棱锥

解析：选C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C.

2．下面多面体中，是棱柱的共有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选D　根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满足．故选D.

3．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

解析：选C　由棱台的结构特征知，两个底面平行且相似，侧面都是梯形．侧棱延长应交于一点．故选C.

4．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上)．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

解析：由多面体的结构特征可知，①②是多面体，而③④是旋转体．

答案：①②

5．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱．

答案：5　3

1．可以从以下几个方面理解棱柱

(1)棱柱的两个主要结构特征：

①有两个面互相平行；

②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．

通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．

(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．

(3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体．

(4)棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱．

注意：棱柱概念的推广

①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．

②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．

③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．

④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形．

⑤长方体：底面是矩形的直棱柱．

⑥正方体：棱长都相等的长方体．

2．棱锥的两个本质特征

(1)有一个面是多边形；

(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类．

3．正确认识棱台的结构特征

(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；

(2)侧面都是梯形；

(3)侧棱延长线必交于一点．

注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还可按底面多边形的边数进行分类．

[例1]　下列说法中，正确的是(　　)

A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

[解析]　A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征．故选D.

[答案]　D

棱柱结构特征问题的解题策略

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是平行四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．　　　　

[变式训练]

[多选]下列关于棱柱的说法正确的是(　　)

A．所有的棱柱两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

解析：选ABD　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D.

[例2]　下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中说法正确的序号是________．

[解析]　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

[答案]　①②

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法：

 [变式训练]

下列说法中，正确的是(　　)

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

A．①②　　　　　　　　　 B．①③

C．②③  D．②④

解析：选B　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．故选B.

[例3]　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)

(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？

[解析]　(1)由选项验证可知选A.

(2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

[答案]　(1)A　(2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．　　　　

[变式训练]

1．[变条件，变设问]将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)

A．1   B．9

C．快  D．乐

解析：选B　将图形折成正方体知选B.

2．[变条件，变设问]将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．

(1)该几何体是哪种几何体？

(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？

解：(1)该几何体是四棱台．

(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．

A级——学考合格性考试达标练

1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)

A．四条侧棱、四个顶点

B．八条侧棱、四个顶点

C．四条侧棱、八个顶点　

D．六条侧棱、八个顶点

解析：选C　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.

2．下面图形中，为棱锥的是(　　)

A．①③　　　　　　 B．①③④

C．①②④  D．①②

解析：选C　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.

3．[多选]下列关于棱柱的说法中不正确的是(　　)

A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形

B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

解析：选ABC　由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选A、B、C.

4.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是                                            (　　)

A．三棱锥   B．四棱锥

C．三棱柱  D．组合体

解析：选B　余下部分是四棱锥A′­BCC′B′.故选B.

5．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)

解析：选D　A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.

6．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．

解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．

答案：5　6　9

7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.

解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.

答案：12

8．下列说法正确的是________．

①一个棱锥至少有四个面；

②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；

③五棱锥只有五条棱；

④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．

解析：①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．

答案：①④

9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？

解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．

10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：

(1)由6个平行四边形围成的几何体；

(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；

(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．

解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．

(2)这是一个六棱锥．

(3)这是一个三棱台．

B级——面向全国卷高考高分练

1．下列说法中正确的是(　　)

A．所有的棱柱都有一个底面

B．棱柱的顶点至少有6个

C．棱柱的侧棱至少有4条

D．棱柱的棱至少有4条

解析：选B　棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数是6，三棱柱的侧棱数是3，三棱柱的棱数是9，所以C、D项不正确，B项正确．故选B.

2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　)

A．三棱锥   B．四棱锥

C．五棱锥  D．六棱锥

解析：选D　由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.

3．下列说法正确的是(　　)

A．多面体至少有3个面

B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

解析：选D　一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D.

4．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为(　　)

A．模块①②⑤   B．模块①③⑤

C．模块②④⑤  D．模块③④⑤

解析：选A　先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐．故选A.

5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)

①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．

解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．

答案：①②

6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.

答案：

7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？

(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？

解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．

(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，

S△DEF＝a2.

C级——拓展探索性题目应用练

长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．

解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：

(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝ ＝＝4 .

(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝ ＝＝3.

(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝ ＝.

相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.

第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体

1．下列几何体中不是旋转体的是(　　)

解析：选D　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．故选D.

2．圆锥的侧面展开图是(　　)

A．三角形　　　　　 B．长方形

C．正方形  D．扇形

解析：选D　利用圆锥的形成过程可得，圆锥的侧面展开图是扇形．故选D.

3．下列命题：

①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线相互平行．

其中正确的是(　　)

A．①②   B．②③

C．①③  D．②④

解析：选D　①③错误，②④正确．故选D.

4．日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　)

A．一个棱柱中挖去一个棱柱

B．一个棱柱中挖去一个圆柱

C．一个圆柱中挖去一个棱锥

D．一个棱台中挖去一个圆柱

解析：选B　如图，螺母是一个棱柱中挖去一个圆柱．故选B.

1．圆柱的结构特征

(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．

(4)过任意两条母线的截面是矩形．

2．圆锥的结构特征

(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．

(2)平行于底面的截面都是圆．

(3)过轴的截面是全等的等腰三角形．

(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．

3．圆台的结构特征

(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．

(2)平行于底面的截面是圆．

(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．

4．球的结构特征

(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．

(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.

5．简单组合体

由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：

①由简单几何体拼接而成；

②由简单几何体裁去或挖去一部分组成．

[例1]　判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

[解]　(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．

(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．

(3)正确．

(4)错．应为球面．

简单旋转体结构特征问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．

(2)解题时要注意明确两点：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．　　　　

[变式训练]

1．下列叙述中，正确的个数是(　　)

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．

A．0　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选B　①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；④正确．故选B.

2．下列命题中正确的是(　　)

①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；

②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；

③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；

④球面上任意三点可能在一条直线上；

⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．

A．①②③  B．②③④

C．②③⑤  D．①④⑤

解析：选C　任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确．故选C.

[例2]　如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

[解]　旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．

简单组合体的识别

1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．

2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．　　　　

[变式训练]

　描述下列几何体的结构特征．

解：图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.

[例3]　如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？

[解]　将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．

∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．

过点Q作QS⊥AA1于点S，

在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，

QS＝A1B1＝10π(cm)．

∴PQ＝ ＝10(cm)．

即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm.

求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；

(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

(3)结合已知条件求得结果．　　　　

[变式训练]

　如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)

解：∵△ABC为正三角形，∴BC＝6，

∴l＝2π×3＝6π，

根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：＝6π，

故n＝180°，则∠B′AC＝90°，

∴B′P＝＝3(m)，

∴小猫所经过的最短路程是3 m.

A级——学考合格性考试达标练

1．如图所示的图形中有(　　)

A．圆柱、圆锥、圆台和球　　 B．圆柱、球和圆锥

C．球、圆柱和圆台  D．棱柱、棱锥、圆锥和球

解析：选B　根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台．故选B.

2．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A．5  B．10

C．20  D．不确定

解析：选B　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.故选B.

3．用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)

A．圆柱  B．圆锥

C．球  D．圆台

解析：选C　由球的定义知选C.故选C.

4．有下列四个说法，其中正确的是(　　)

A．圆柱的母线与轴垂直

B．圆锥的母线长等于底面圆直径

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

解析：选D　A：圆柱的母线与轴平行；B：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C：圆台的母线延长线与轴相交．故选D.

5．若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是(　　)

解析：选D　结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．故选D.

6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________________．

解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．

答案：两个同底的圆锥组合体

7．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)．

解析：①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．

答案：①④

8．一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为________．

解析：h＝20cos 60°＝10.

答案：10

9．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．

解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．

图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

解：设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.

根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.

根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9.

所以圆台的母线长为9 cm.

B级——面向全国卷高考高分练

1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)

A．一个球体

B．一个球体中间挖出一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

解析：选B　圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱．故选B.

2．[多选]下列说法正确的是(　　)

A．由若干个平面多边形围成的几何体，称做多面体

B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面

C．旋转体的截面图形都是圆

D．圆锥的侧面展开图是一个扇形

解析：选ABD　A、B为定义，均正确；C错误，因为轴截面截圆柱、圆锥、圆台所得截图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；D沿母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确．故选A、B、D.

3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　　)

A．2  B．2π

C.或   D.或

解析：选C　如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.故选C.

4．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．0.5

解析：选B　如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.

∵球心到两个截面的距离d1＝ ，d2＝ ，

∴d1－d2＝ －＝1，∴R2＝9，∴R＝3.故选B.

5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．

①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．

解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．

答案：①②③⑤

6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．

解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出(4)．

答案：(1)(2)(3)

7．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.

(1)由勾股定理得h＝ ＝3(cm)．

(2)由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm)．

答：(1)圆台的高为3 cm；(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

C级——拓展探索性题目应用练

如右图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．

解析：如右图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB′，在圆台的轴截面中，

∵Rt△OPA∽Rt△OQB，

∴＝，∴＝.∴OA＝20(cm)．

设∠BOB′＝α，由扇形弧′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝2×OB×

π×，

即20π＝2×(20＋20)π×，

∴α＝90°.

∴在Rt△B′OM中，

B′M＝ ＝ ＝50(cm)．

即所求绳长的最小值为50 cm.

8．2 立体图形的直观图

1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(　　)

A．45°　　　　　　　　　　 B．135°

C．45°或135°  D．90°

解析：选C　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.故选C.

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)

A．原来相交的仍相交  B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行  D．原来共点的仍共点

解析：选B　由斜二测画法规则知，B选项错误．故选B.

3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　)

解析：选A　由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．故选A.

4.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．

解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9.

答案：9

1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读

“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；

“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．

斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．

2．在直观图中“变”的量与“不变”量

(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；

(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.

[例1]　画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．

[解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．

(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.

画平面图形的直观图的技巧

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．　　　　

[变式训练]

　用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．

解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

[例2]　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

[解]　画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．

(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．

画空间图形的直观图的原则

(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．

(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．

(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．

(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．　　　　

[变式训练]

　用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．

解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．

(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.

(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．

[例3]　(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B.

C．2  D．4

(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.

[解析]　(1)由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.

∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C.

[答案]　C

(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.

在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.

在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.

所以面积为S＝×2＝5.

1．直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

2．直观图与原图面积之间的关系

若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．　　　　

[变式训练]

1.[变条件]本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.

解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，

所以BE＝.

而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1.

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

所以原图形的面积为

S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.

2．[变条件，变设问]本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？

解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为a××＝a，

所以S△A′B′C′＝×a×a＝a2.

3．[变设问]本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？

解：由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝××＝1，

原图形面积为S△OAB＝2.

所以＝＝.

A级——学考合格性考试达标练

1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)

A．90°，90°　　　　 B．45°，90°

C．135°，90°  D．45°或135°，90°

解析：选D　根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D.

2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D．与z′轴成45°且大小为5 cm

解析：选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.

3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(　　)

A．①②  B．②③

C．②④  D．③④

解析：选D　原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别在∠x′O′y′成45°和135°的坐标系中的直观图．故选D.

4.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是(　　)

解析：选A　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.

5．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

解析：选C　因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.故选C.

6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

解析：画出直观图，

BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.

答案：

7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．

解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.

答案：36

8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.

解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．

答案：矩形　8

9.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．

解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．

(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.

(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．

10．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．

解：画法：(1)画轴．如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.

分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．

B级——面向全国卷高考高分练

1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．任意三角形

解析：选C　如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.

2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为(　　)

A．4 cm2  B．4 cm2

C．8 cm2  D．8 cm2

解析：选C　依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.

3．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)

A．2 cm  B．3 cm

C．2.5 cm  D．5 cm

解析：选D　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.

4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)

A.   B.

C．5   D.

解析：选A　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A.

5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.

解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．

答案：5

6.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．

解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.

答案：4

7.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．

解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，

在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.

C级——拓展探索性题目应用练

如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．

解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．

8．3 简单几何体的表面积与体积

8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1．棱长为3的正方体的表面积为(　　)

A．27　　　　　　　 B．64

C．54  D．36

解析：选C　根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.故选C.

2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48  B．64

C．16  D．96

解析：选B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4. ∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.

3．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为(　　)

A．4   B.

C．2   D.

解析：选D　三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为，所以此三棱锥的表面积为4×＝.故选D.

4．已知棱台的上、下底面积分别为4, 16，高为3，则棱台的体积为________．

解析：由棱台的体积公式可求得其体积为V＝(4＋＋16)×3＝28.

答案：28

1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．

(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．

2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识

(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．

(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.

(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．

[例1]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．

[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝2＋2＝＝＝64，

∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.

求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤

(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．

(2)求出其底面的面积．

(3)求和得到表面积．

注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．　　　　

[变式训练]

已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．

解析：如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，

在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，

故B1F＝ ＝2，

所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，

故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，

所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.

答案：80＋48

[例2]　(1)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．

第(1)题图　　　　　　第(2)题图

(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD­A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S ­ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．

(3)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

[解析]　(1)VA ­DED1＝VE­DD1A＝××1×1×1＝.

(2)V正方体＝23＝8，VS­ABCD＝×22×(5－2)＝4.

V＝V正方体＋VS ­ABCD＝12.

(3)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，

对角线长分别为6 cm和4 cm，

故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．

又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，

所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12

＝132(cm3)，

所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．

[答案]　(1)　(2)12　(3)118.8

求几何体体积的常用方法

 [变式训练]

1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm3.

解析：由三视图可知原几何体如图所示．

所以V＝VABC­A′B′C′－VM ­ABC

＝S△ABC·5－S△ABC·3

＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.

答案：24

2.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．

解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，

∴VABCD­A1B1C1D1＝VADD1A1­BCC1B1＝Sh.

而棱锥C ­A1DD1的底面积为S，高为h，

故三棱锥C ­A1DD1的体积为：

VC­A1DD1＝×S×h＝Sh，

余下部分体积为：Sh－Sh＝Sh.所以棱锥C ­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

A级——学考合格性考试达标练

1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为(　　)

A．27 cm3　　　　　　 B．60 cm3

C．64 cm3  D．125 cm3

解析：选B　长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 (cm)3.故选B.

2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　　)

A．12  B．48

C．64  D．72

解析：选D　该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D.

3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　)

A．13.25立方丈  B．26.5立方丈

C．53立方丈  D．106立方丈

解析：选B　由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.

4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)

A．6  B．12

C．24  D．48

解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝ ＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D.

5.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A.   B.

C.    D.

解析：选C　∵VC­A′B′C′＝VABC­A′B′C′＝，∴VC­AA′B′B＝1－＝.故选C.

6．若五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．

解析： S表＝S侧＋S两底，则S两底＝S表－S侧＝30－25＝5.

答案：5

7．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为________．

解析：由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝，所以VB1­ABC＝Sh＝××3＝.

答案：

8．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm和6 cm，侧棱长为5 cm，则它的侧面积为________cm2.

解析：侧面等腰梯形的高为＝2(cm)，所以侧面积S＝5×＝50(cm2)．

答案：50

9．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.

解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故VP­ABC＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.

10．长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体P­CDQ的体积．

解：设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.

由题意知PD＝c，S△CDQ＝CD·AD＝ab，

所以VP­CDQ＝S△CDQ·PD＝×ab×c＝abc＝V.

B级——面向全国卷高考高分练

1．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)

A．6   B.

C．3  D．2

解析：选B　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝.故选B.

2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2   B.a2

C.a2   D.a2

解析：选A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××2＝a2.故选A.

3.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为(　　)

A．12  B．8

C．20  D．18

解析：选A　设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1­AEF＝VF­A1AE＝S△A1AE·h＝×·h＝(AA1·AB)·h＝·S四边形ABB1A1·h＝VABCD­A1B1C1D1，所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.故选A.

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A．1∶1　　　　　 B．1∶

C．1∶　　　　　 D．1∶2

解析：选C　由题图可知，三棱锥D1­AB1C的各面均是正三角形. 其边长为正方体侧面对角线. 设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4×(a)2×＝2 a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.故选C.

5．棱台的体积为76 cm3，高为6 cm，一个底面面积为18 cm2，则另一个底面面积为__________．

解析：设另一个底面面积为x cm2，

则由V＝h(S＋＋S′)，得76＝×6×(18＋x＋)，解得x＝8，即另一个底面的面积为8 cm2.

答案：8 cm2

6．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则＝________.

解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE­ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.

答案：

7.三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B ­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－SC­A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4.

C级——拓展探索性题目应用练

　用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．

解：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于(　　)

A．15　　　　　　　　 B．15π

C．24π  D．30π

解析：选B　S侧＝πrl＝15π.故选B.

2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)