苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法巩固练习

这是一份苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法巩固练习，共16页。试卷主要包含了2一元二次方程的解法根的判别式等内容，欢迎下载使用。
 苏科版九年级数学上册靶向培优训练1.2一元二次方程的解法根的判别式一、选择题1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是A. 2 B. 1 C. 0 D. 2．在中，直角边为a、b，斜边为若把关于x的方程称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 一定有实数根3．已知关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是A.  B.  C.  D. 且4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 75．当时，关于x的一元二次方程的根的情况为A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法确定6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是      A. 7 B. 3 C. 或7 D. 任意实数二、填空题7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．8．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______．9．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限．10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．12．如图，的三个顶点分别为，，若函数在第一象限内的图象与有交点，则k的取值范围是______．      三、解答题13．已知关于x的两个一元二次方程：方程：；方程：．若方程有两个相等的实数根，求：k的值若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．若方程和有一个公共根a，求代数式的值．       14．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．        15．由两个全等的和构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．直接写出一个勾股方程．若勾股方程有两个相等的实数根，求的值．若是勾股方程的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积．   16．若关于x的一元二次方程b，c均为常数，且的根均为整数，称该方程为“理想方程”易得出任何一个“理想方程”的根的判别式一定是完全平方数．规定为该“理想方程”的“理想数”若另一“理想方程”q，r均为常数，且的“理想数”为，且满足，则称与互为“相对理想数”如：方程的两根均为整数，则称为“理想方程”，其判别式，其“理想数”为．求“理想方程”的“理想数”；若关于x的一元二次方程为整数，且是“理想方程”，求其“理想数”；若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“理想方程”，且其“理想数”互为“相对理想数”，求n的值． 17．已知关于x的方程求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；当k为何整数时，关于x的方程有两个整数根？           18．已知关于x的一元二次方程．求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；若方程有一个根的平方等于4，求m的值．          【参考答案】一、选择题1．C【解析】【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实数根，所以且，解得且，所以整数a的最大值为0．故选C．  2．D【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及勾股定理，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．由勾股定理可得出，根据“勾系一元二次方程”的定义结合根的判别式可得出，由此可得出“勾系一元二次方程”一定有实数根．【解答】解：在中，直角边为a、b，斜边为c，．在方程中，．，，即，这类“勾系一元二次方程”一定有实数根．故选D．     3．B【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：关于x的一元二次方程无实数根，，解得：．故选B．   4．C【解析】【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：，解得：，的两个根是，，，当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根，，解得：，此时两腰之和为4，，符合题意．的值为3或4．故选C．   5．A【解析】【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．【解答】解：，．．，，，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．故选A．   6．A【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则有，得到关于m的方程，再由二次项的系数不为0可得关于m的不等式，然后解之即可．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，故选A．    二、填空题7．且【解析】解：由题意可知：，，，且，故答案为：且；根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．   8．且【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，，，且，故答案为：且．由方程是一元二次方程得出，再由方程有实数根得出，即可得出结论．此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键．   9．一【解析】【分析】题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限． 【解答】解：  一元二次方程无实数根，，，，即，一次函数的图象不经过第一象限．故答案为一．    10．且【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得且，解得且．故答案为：且．   11．【解析】【分析】本题考查根的判别式及代数式的值，解题的关键是正确理解根的判别式与方程根的关系，本题属于基础题型．根据根的判别式得出，再整体代入化简后的代数式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，．故答案为：．   12．【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，过点的反比例函数解析式为，．随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过，的直线解析式为，，得根据，得，综上可知．故答案为．根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．   三、解答题13．解：方程有两个相等的实数根，，则，，则，，，，；，无论k为何值时，方程总有实数根，方程、只有一个方程有实数根，此时方程没有实数根．根据a是方程和的公共根，，，得：，得：，代数式．故代数式的值为5．【解析】由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于k的方程则可求得k的值；由方程的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程没有实数根；把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．   14．解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；根据题意得，即，所以为直角三角形；为等边三角形，，方程化为，解得，．【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．   15．解：若，，则，此时的勾股方程为答案不唯一由一元二次方程根的判别式，得，而，代入得，故，，即当时，若，则又，，解得．，，则，，解得，则，．【解析】本题考查的是根的判别式，新定义有关知识．根据新定义进行解答即可；利用根的判别式进行解答即可；当时，若，则，然后再结合三角形的面积计算即可．   16．解：根据“理想数”的公式可得；由题知：，又，，又此是完全平方数，或49或81，又为整数，，此方程为，解方程得  或，此方程的“理想数”；由得，设为整数，则，或2或或，或6或或，解得或，当时，此方程可变为，其“理想数”为，当时，此方程可变为，其“理想数”为，方程的理想数为：，当时，则有，整理，得，，此方程无实数根，当时，，整理得     ，．即n的值为0．【解析】本题主要考查的是根的判别式和完全平方数的知识，是一种阅读类型的题目，计算量较大，解答此题的关键是读懂题意，弄清“理想方程”、“理想数”和“相对理想数”的含义．根据题目中给的“理想数”的定义计算即可；首先得到，由可得，根据是完全平方数，可得或49或81，由m是整数确定m的值，代入方程，即可求解；由，求出m的值，得到方程的理想数，再由得理想数为，最后分别求出m取不同值时n的值．   17．解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；当时，方程为一元二次方程，，一元二次方程有两个实数根．综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；方程有两个整数根，方程为一元二次方程，即，，解得或，又k为整数，或，或2．【解析】分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可得出，此题得证；根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，有一个根为，另一根为，可得是1的约数，得k的值．此题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，此题难度较大，注意掌握一元二次方程的根与的关系，注意分类讨论思想的应用．   18．证明：，无论实数m取何值，方程总有两个实数根； 解：方程有一个根的平方等于4，是原方程的根，当时，．解得；当时，，解得．综上所述，m的值为0或．【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答时要分类讨论，这是此题的易错点．